文档内容
鞍山市普通高中 2023—2024 学年度高三第二次质量监测
数学试题卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工
整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿
纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱。不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
鞍山市普通高中 2023—2024 学年度高三第二次质量监测
数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知复数 为纯虚数，则实数 的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
2．已知直线 ，点 在圆 上运动，那么点 到直线 的距离的最大值为（
）
A． B． C． D．
3．已知非零向量 ， 满足 ，向量 在向量 方向上的投影向量是 ，则 与 夹角的余弦值
为（ ）
A． B． C． D．
4．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，若 ， ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结
果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级
的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．数列 的通项公式为 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．8
7．校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查．其中被调查的男女生人数相同．
男生选学生物学的人数占男生人数的 ，女生选学生物学的人数占女生人数 ．若有 的把握认为选学
生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（ ）人．
A．20 B．30 C．35 D．40
附表：
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中， ．
8．已知 ， 均为锐角， ，则 取得最大值时， 的值为
（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知 在 上是单调函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．当 时， 的取值范围是
B．当 时， 的取值范围是C．当 时， 的取值范围是
D．当 时， 的取值范围是
10．如图，正方体 的棱长为2， ， ， ， 分别是棱 ， ， ， 的
中点，点 满足 ，其中 ，则下列结论正确的是（ ）
A．过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面图形有可能为正六边形
B．三棱锥 的体积为定值
C．当 时， 平面
D．当 时，三棱锥 外接球的表面积为
11．在平面直角坐标系中，定义 为点 到点 的“折线距离”．
点 是坐标原点，点 在直线 上，点 在圆 上，点 在抛物线 上．
下列结论中正确的结论为（ ）
A． 的最小值为2 B． 的最大值为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知圆锥的底面半径为2，母线与底面所成的角为 ，则该圆锥的表面积为______．
13． 的极大值为______．14．已知双曲线 的右焦点为 ，左、右顶点分别为 ， ， 轴于点
，且 ．当 最大时，点 恰好在双曲线 上，则双曲线 的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分12分）
鞍山市普通高中某次高三质量监测考试后，将化学成绩按赋分规则转换为等级分数（赋分后学生的分数全部
介于30至100之间）．某校为做好本次考试的评价工作，从本校学生中随机抽取了50名学生的化学等级分
数，经统计，将分数按照 ， ， ， ， ， ， 分成7
组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中 的值，并估计这50名学生分数的中位数；
（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从分数在 ， ， 的三组中抽取了11人，再
从这11人中随机抽取3人，记 为3人中分数在 的人数，求 的分布列和数学期望．
16．（本小题满分15分）
如图1，在平面五边形 中， ，且 ， ， ，
，将 沿 折起，使点 到 的位置，且 ，得到如图2所示的四棱锥
．（1）求证； 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
已知函数 ， ．
（1）若曲线 在 处的切线与 轴垂直，求实数 的值；
（2）讨论函数 的单调性．
18．（本小题满分17分）
焦点在 轴上的椭圆 的左顶点为 ， ， ， 为椭圆上不同三点，
且当 时，直线 和直线 的斜率之积为 ．
（1）求 的值；
（2）若 的面积为1，求 和 的值；
（3）在（2）的条件下，设 的中点为 ，求 的最大值．
19．（本小题满分17分）
设数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ．
（1）证明： 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数
的取值范围；（3）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为
高斯函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ，设 ，
数列 的前 项和为 ，求 除以16的余数．
