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渝北中学 2023-2024 学年（下）高三 2 月月考质量监测
数学 参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D B A D C
8.解：抛物线的焦点
数学答案第1页 共6页
F ( 1 , 0 ) ，
过 F ( 1 , 0 ) 的斜率为0的直线为y=0，直线y=0与抛物线 y 2 = 4 x 有且只有一个交点，
与条件矛盾，故直线l的斜率不为 0，故可设直线 l 的方程为 x = m y + 1 ，
y2 =4x
联立方程组 ，得y2−4my−4=0，方程
x=my+1
y 2 − 4 m y − 4 = 0 的判别式 = 1 6 m 2 + 1 6 0 ，
设 A
2 y
14 , y
1
, B
y
4
22
, y
2
，则 y
1
y
2
= − 4 ，
y 211 y
6
22
= 1 ，所以 y 22 =
1
y
6
21
，
由抛物线的性质得 A F =
2 y
14 + 1 , B F =
y
4
22
+ 1 =
4
2 y
1
+ 1 ，
A F + 2 B F =
2 y
14 + 1 +
8
2 y
1
+ 2 = 3 +
2 y
14 +
8
2 y
1
3 + 2
2 y
14
8
2 y
1
= 3 + 2 2 .
当且仅当
y
1
= 2
54
时，等号成立.
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 BC ACD ACD
11．解：对于AB，由已知得a = f (a )，令h(x)= f (x)−x=ln ( ex−1 ) −lnx−x，
n+1 n
定义域为 x ( 0 , + ) ， h ( x ) =
− e
x
x
( e
+
x
−
+
1
x)
，令g(x)=−ex++x， g ( x ) = − e x + ，
当 x ( 0 , + ) 时，此时g(x)0恒成立，故 g ( x ) 在(0,+)上单调递减，
g(x)g(0)=0，也可得ex−x−10，即 h ( x ) 0 ，
故h(x)在(0,+)上单调递减，h(x)h(0)，当x→0时，h(x)→0，则h(x)0，
故 f (x)x，则 f (a )a ，即a a ，故a 为单调递减数列，
n n n+1 n n
{#{QQABRYYUogiAABAAAQhCEwUqCAGQkAAACIoGgAAMMAABiQNABAA=}#}故A正确，显然a a ，故B错误，
2023 2024
1 对于C，欲证a a ，且由题意得
n+1 2 n
数学答案第2页 共6页
a
n + 1
= f ( a
n
) = ln ( e a n − 1 ) − ln a
n
，
即证 ln ( e a n − 1 ) − ln a
n
1
2
a
n
，即证 ln ( e a n
a
−
n
1 ) 1
2
a
n
，取指数得 ( e a n
a
−
n
1 ) e a n2 ，
又易知 a n 0 ，化简得 e a n − 1 − a
n
e a n2 0 ，故证明 ean −1−a e a 2 n 0 恒成立即可，
n
令h(x)=e2x−−xex，x(0,+)，而h(x)=ex(ex−x−)0，
故 h ( x ) 在 ( 0 , + ) 上单调递增，且
a
2
n 0 ，故 h
a
2
n
0 ，
即 e a n − 1 − a n e a n2 0 1 恒成立，故a a 得证，故 C正确， n+1 2 n
1 1 1 1 1 1 1
对于D，由C可知，a = ，a a = ，a a = ， ，a a = ，
1 2 2 2 1 4 3 2 2 8 n 2 n−1 2n
上式相加，得
a
1
+ a
2
+ a
3
+ + a
n
1
2
+ +
1
2 n
=
1
2
1 −
1 −
1
2
1
2
n
，
故 a
1
+ a
2
+ a
3
+ + a
n
1 −
1
2 n
得证，故D正确.
三、填空题
12． 12 13.
1
2
4
1
14．
2 +
4
2
14．解：因为点 E , F , G , H 分别为棱 A A
1
，AD ，AB ，
1 1 1 1
B C1
1
的中点，
且点 E , F , G , H 都在球O的表面上，
则球 O 是正方体ABCD−ABCD 的棱切球，球心为对角线
1 1 1 1
A C1 的中点，半径为 2 ，
取AD的中点O ，则点
1 1
P 为OO延长线与球O表面的交点时点
1
P 到平面ADDA的距离最大，
1 1
此时 O
1
P = 1 + 2 ，OE =1，
1
P E = O
1
E 2 + O
1
P 2 = 4 + 2 2 ．
连接OE，则OE//AC//GH ， P E O 就是异面直线PE与 G H 所成角，
因为OE=OP= 2，所以
2 2 2
PE + OE −OP 4+2 2 1
cosPEO= = = 2+ 2 ，
2 PE OE 2
2 4+2 2 2
2+ 2
所以异面直线PE与GH所成角的余弦值的平方为 .
4
{#{QQABRYYUogiAABAAAQhCEwUqCAGQkAAACIoGgAAMMAABiQNABAA=}#}四、解答题
15．（13分） 解：（1）由
数学答案第3页 共6页
n (
S
n
n+
1 )
是首项为 1
2
、公差为 1
3
的等差数列，
故 n(n S n +1) = 1 2 + 1 3 (n−1)= n 3 + 1 6 ，即S n = n 3 + 1 6 n(n+1)= n(2n+1 6 )(n+1) ，
当 n 2
n(2n−1)(n−1)
时，S = ，
n−1 6
n(2n+1)(n+1) n(2n−1)(n−1)
故S −S =a = −
n n−1 n 6 6
=
n ( 2 n 2 + 3 n + 1
6
− 2 n 2 + 3 n − 1 )
= n 2 ，
当 n = 1 时， a
1
= S
1
=
3
6
2
= 1 ，符合上式，故 a
n
= n 2 ；
（2）由 a
n
= n 2
n(2n+1)(n+1)
，S = ，故
n 6
b
n
=
( 2 n −
S
1
n
) a
n =
n
6
( 2
( 2
n
n
+
−
1
1
) (
)
n
n 2
+ 1 )
=
( 2
6
n
( 2
+
n
1
−
) (
1
n
) n
+ 1 )
，
则 T
n
= b b1
2
b
n
=
( 2
6
+
( 2
) 1
−
(1
) 1
+ 1 )
(
6
4
( 4
+
−
) 1
1
(
)
2
+
2
1 )
(
6
2 n
( 2
+
n
1
−
) (
1
n
) n
+ 1 )
=
( 2
6
n
n
+
(
1
2
)
−
(
1
n
)
+ 1 )
=
( 2 n +
6
1
n
) ( n + 1 )
．
16． (15分)解：（1）由题意 1 0 0 0 , 5 0 , K 2 5 , = = = 则
K
5 0
2 5
2
1 0 0
= = ，
所以 Y N (1 0 0 0 ,1 0 2 ) ，于是随机变量 Y 的期望为 1 0 0 0 = ，标准差为 1 0 = ，
因 P ( 9 8 0 Y 1 0 2 0 ) = 0 .9 5 4 5 ，故 P ( Y 9 8 0 ) =
1 − P ( 9 8 0
2
Y 1 0 2 0 )
=
1 − 0 .9
2
5 4 5
= 0 .0 2 2 7 5 ；
（2）设取出黄色面包个数为随机变量，则的可能取值为 0，1，2．
则 P ( 0 )
1
2
4
6
3
5
1
2
5
8
4
7 1
5
4
3
0
, = = + =
1 2 4 1 3 5 449
P(=1)= 2+ 2= ,
2 6 5 2 8 7 840
故随机变量的分布列为：
0 1 2
p
1
5
4
3
0
4
8
4
4
9
0
7 3
8 4 0
53 449 73 17
所以数学期望为：E()= 0+ 1+ 2= .
140 840 840 24
17．(15分)解：（1）取 P A 中点G，连接GQ,GD点Q为 P B 中点， G Q // A B , G Q =
1
2
A B .
底面是边长为2的正方形，O为CD中点， D O //
1
AB,DO= AB.
2
GQ // OD,GQ=OD四边形GQOD是平行四边形.
OQ // DG, OQ平面PAD,GD平面PAD,OQ //平面PAD；
P ( 2 )
1
2
2
6
1
5
1
2
3
8
2
7
7 3
8 4 0
. = = + =
{#{QQABRYYUogiAABAAAQhCEwUqCAGQkAAACIoGgAAMMAABiQNABAA=}#}（2）
数学答案第4页 共6页
D Q ⊥ 平面 P B C , B C 平面 P B C D Q ⊥ B C .
又 底面是边长为2的正方形， D C ⊥ B C , D Q D C = D ,
D Q 平面 D C Q ， D C 平面 D C Q ， B C ⊥ 平面 D C Q .
O Q 平面 D C Q , B C ⊥ O Q .又 C Q 平面 D C Q , B C ⊥ C Q .
P B = 2 6 , Q B = 6 , B C = 2 , Q C = 2 .
底面是边长为2的正方形， D B = 2 2 , D Q = 2 D Q = C Q ，
O 为CD中点， O Q ⊥ D C .
又 B C ⊥ O Q , D C B C = C , DC平面 A B C D ， B C 平面 A B C D ，OQ⊥平面 A B C D .
取 A B 中点 E ，以OE,OC,OQ所在直线分别为 x , y , z 轴建立如图的空间直角坐标系O−xyz，
则 O ( 0 , 0 , 0 ) , Q ( 0 , 0 ,1 ) , A ( 2 , − 1 , 0 ) , B ( 2 ,1 , 0 ) , D ( 0 , − 1 , 0 ) , P ( − 2 , − 1 , 2 ) ，
所以 A P = ( − 4 , 0 , 2 ) , A D = ( − 2 , 0 , 0 ) , A Q = ( − 2 ,1 ,1 ) ，
设平面 P A D 法向量为 m = ( x , y , z ) ，
则
m
m
A
A
P
D
=
=
−
−
4
2
x
x
+
=
2
0
z = 0
m = ( 0 ,1 , 0 )
设平面 Q A D 法向量为 n = ( x
1
, y
1
, z
1
) ，
则
n
n
A
A
Q
D
=
=
−
−
2
2
x
x
1
1
+
=
y
0
1
+ z
1
= 0
n = ( 0 ,1 , − 1 ) ， c o s m , n =
m
m
n
n
=
2
2
，
π
所以向量的夹角为 ，结合图形可知二面角P−AD−Q为锐角，
4
所以二面角P−AD−Q的大小为
π
4
．
y2 x2
18．(17分) 解：（1）由题意设双曲线C的方程为 − =1(a0,b0)，
a2 b2
由点 P ( 2 , 2 )
4 4
在C上，得 − =1．①
a2 b2
设C的上、下焦点分别为F (0,c)，F (0,−c)，则
1 2
2 −
2
c
2 +
2
c
= −
1
2
，解得c2 =6，
所以 a 2 + b 2 = 6
y2 x2
．②由①②得a2 =2，b2 =4，故双曲线C的标准方程为 − =1；
2 4
（2）由题意，直线EF的斜率不为 0，设直线EF的方程为 x = m ( y − 1 ) ( m 2 ) ，
E(x,y )，F(x ,y )，
1 1 2 2
{#{QQABRYYUogiAABAAAQhCEwUqCAGQkAAACIoGgAAMMAABiQNABAA=}#}x=m(y−1)
联立，得方程组 y2 x2 ,整理得
− =1
2 4
数学答案第5页 共6页
( m 2 − 2 ) y 2 − 2 m 2 y + m 2 + 4 = 0
所以 m 2 4 ， Δ = ( − 2 m 2 ) 2 − 4 ( m 2 − 2 ) ( m 2 + 4 ) 0 ，解得 m 2 4 ，
所以 y
1
+ y
2
=
m
2 m
2 −
2
2
， y
1
y
2
=
m
m
2
2
+
−
4
2
，则 3 ( y
1
+ y
2
) − 2 y
1
y
2
= 4 ．
2 10 10 当直线PE的斜率不存在时,E(2,−2),F− , ,D2, ,
7 7 7
B 6
7
, 1 0
7
,直线AB的斜率为 1
2
．
当直线PE的斜率存在时，直线PE的方程为 y =
y
x
1
1
−
−
2
2
( x − 2 ) + 2 ，所以点D的坐标为
(y −2)(x −2)
2 1 +2,y ，
y −2 2
1
由 x
1
= m ( y
1
− 1 ) ，可得
( y
2
− 2
y
1
) (
−
x
2
1
− 2 )
+ 2 =
( y
2
− 2 ) m
y
1
(
−
y
1
2
− 1 ) − 2
+ 2 =
m ( y
1
− 1 ) ( y
2
y
−
1
2
−
)
2
+ 2 ( y
1
− y
2
)
，
由 D F = 2 B F ，得点B为DF的中点，所以
x = 1 m(y 1 −1)(y 2 −2)+2(y 1 −y 2 ) +m(y −1) = m 2y 1 y 2 −3(y 1 +y 2 )+4 +2(y 1 −y 2 ) = y 1 −y 2 ，
B 2 y −2 2 2(y −2) y −2
1 1 1
则 B
y
1y
1
−
−
y
2
2 ,y
2
，所以
k
A B
=
y
1y
1
y
2
−
−
−y
2
2
1
− 0
=
( y
2
−
y
1
1
)
−
( y
y
1
2
− 2 )
=
y
1
y
2
−
y
y
1
1−
− 2
y
2
y
2
+ 2
3 1
(y +y )−2−y −2y +2 (y −y )
2 1 2 1 2 2 1 2 1．
= = =
y −y y −y 2
1 2 1 2
19．(17分)解：（1）当a=0时， f ( x ) = − 2 x e x ，可得 f(x)=−2(x+1)ex，
则 f ( 1 ) = − 4 e , f ( 1 ) = − 2 e ，
所以曲线 y = f ( x ) 在点 ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线方程为y+2e=−4e(x−1)，即 y = − 4 e x + 2 e ；
1 1
（2）当a= 时， f (x)= e2x −2xex，定义域为
2 2
R ，
可得 f(x)=e2x−2(x+1)ex =ex( ex−2x−2 )，令F(x)=ex−2x−2，则 F ( x ) = e x − 2 ，
当 x ( − , ln 2 ) 时，F(x)0；当 x ( ln 2 , + ) 时，F(x)0，
所以F(x)在(−,ln2)递减，在(ln2,+)上递增，
所以F(x) =F(ln2)=2−2ln2−2=−2ln20，
min
{#{QQABRYYUogiAABAAAQhCEwUqCAGQkAAACIoGgAAMMAABiQNABAA=}#}又由
数学答案第6页 共6页
F ( − 1 ) =
1
e
0 , F ( 2 ) = e 2 − 6 0 ，
存在 x
1
( − 1 , ln 2 ) 使得F(x )=0，存在
1
x
2
( ln 2 , 2 ) 使得 F ( x
2
) = 0 ，
当 x ( − , x
1
) 时，F(x)0, f(x)0, f (x)单调递增；
当 x ( x
1
, x
2
) 时， F ( x ) 0 , f ( x ) 0 , f ( x ) 单调递减；
当x(x,+)时，F(x)0, f(x)0, f (x)单调递增；
1
所以 a =
1
2
时， f ( x ) 有一个极大值，一个极小值；
（3）由 f ( x ) = a e 2 x − 2 x e x ，可得 f(x)=2ae2x−2(x+1)ex =2ex( aex−x−1 )，
由 x R , f ( x ) +
1
a
0
1 1 a2+1
，因为 f (0)+ =a+ = 0，可得
a a a
a < 0 ，
令 g ( x ) = a e x − x − 1 ，则 g ( x ) 在 R 上递减，
当 x 0 时，可得 e x ( 0 ,1 ) ，则 a e x ( a , 0 ) ，所以 g ( x ) = a e x − x − 1 a − x − 1 ，
则 g ( a − 1 ) a − ( a − 1 ) − 1 = 0 ，
又因为 g ( − 1 ) = a e − 1 0 ， x
0
( a − 1 , − 1 ) 使得 g ( x
0
) = 0 ，即 g ( x
0
) = a e x0 − x
0
− 1 = 0
且当 x ( − , x
0
) 时， g ( x ) 0 ，即 f ¢ ( x ) > 0 ；当 x
0
( x
0
, + ) 时， g ( x ) 0 ，即 f ( x ) 0 ，
所以 f ( x ) 在 ( − , x
0
) 递增，在 ( x
0
, + ) 递减，所以 f ( x )
m ax
= f ( x
0
) = a e 2 x0 − 2 x
0
e x0 ，
由 g ( x
0
) = a e x0 − x
0
− 1 = 0 ，可得 a =
x
0e
+
x0
1
，
由 f ( x )
m ax
+
1
a
0
ex0
，可得(x +1)ex0 −2x ex0 + 0，即
0 0 x +1
0
( 1 − x
0
)
x
(
0
1
+
+
1
x
0
) + 1
0 ，
由 x
0
+ 1 0 ，可得 x 20 − 1 1 ，所以 − 2 x
0
− 1 ，
x +1
因为a= 0 ，设
ex0
h ( x ) =
x +
x e
1
( − 2 x − 1 ) ，则 h ( x ) =
−
e
x
x
0 ，
可知 h ( x ) 在− 2,1 ) 上递增，h(x)h ( − 2 ) = 1− 2 = ( 1− 2 ) e 2且
e− 2
h ( x ) h ( − 1 ) = 0 ，
所以实数a的取值范围是(
1− 2
)
e 2,0
)
．
{#{QQABRYYUogiAABAAAQhCEwUqCAGQkAAACIoGgAAMMAABiQNABAA=}#}
