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渝北中学2023-2024学年（下）高三2月月考质量监测
数学 参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D B A D C
8.解：抛物线的焦点 ，
过 的斜率为0的直线为 ，直线 与抛物线 有且只有一个交点，
与条件矛盾，故直线 的斜率不为0，故可设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，得 ，方程 的判别式 ，
设 ，则 ， ，所以 ，
由抛物线的性质得 ，
.
当且仅当 时，等号成立.
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 BC ACD ACD
11．解：对于AB，由已知得 ，令 ，
定义域为 ， ，令 ， ，
当 时，此时 恒成立，故 在 上单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司，也可得 ，即 ，
故 在 上单调递减， ，当 时， ，则 ，
故 ，则 ，即 ，故 为单调递减数列，
故A正确，显然 ，故B错误，
对于C，欲证 ，且由题意得 ，
即证 ，即证 ，取指数得 ，
又易知 ，化简得 ，故证明 恒成立即可，
令 ， ，而 ，
故 在 上单调递增，且 ，故 ，
即 恒成立，故 得证，故C正确，
对于D，由C可知， ， ， ， ， ，
上式相加，得 ，
故 得证，故D正确.
三、填空题
12． 12 13. 14．
14．解：因为点 分别为棱 ， ， ， 的中点，
且点 都在球 的表面上，
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学科网（北京）股份有限公司则球 是正方体 的棱切球，球心为对角线 的中点，半径为 ，
取 的中点 ，则点 为 延长线与球O表面的交点时点 到平面 的距离最大，
此时 ， ， ．
连接OE，则 ， 就是异面直线 与 所成角，
因为 ，所以
，
所以异面直线 与 所成角的余弦值的平方为 .
四、解答题
15．（13分） 解：（1）由 是首项为 、公差为 的等差数列，
故 ，即 ，
当 时， ，
故 ，
当 时， ，符合上式，故 ；
（2）由 ， ，故 ，
则 ．
16． (15分)解：（1）由题意 则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，于是随机变量 的期望为 ，标准差为 ，
因 ，故 ；
（2）设取出黄色面包个数为随机变量 ，则 的可能取值为0，1，2．
则
故随机变量 的分布列为：
0 1 2
p
所以数学期望为：
17．(15分)解：（1）取 中点 ，连接 点 为 中点， .
底面是边长为2的正方形， 为 中点， .
四边形 是平行四边形.
, 平面 平面 平面 ；
（2） 平面 平面 .
又 底面是边长为2的正方形，
平面 ， 平面 ， 平面 .
平面 .又 平面 .
.
底面是边长为2的正方形， ，
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学科网（北京）股份有限公司为 中点， .
又 平面 ， 平面 ， 平面 .
取 中点 ，以 所在直线分别为 轴建立如图的空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 ，
设平面 法向量为 ，
则
设平面 法向量为 ，
则 ， ，
所以向量的夹角为 ，结合图形可知二面角 为锐角，
所以二面角 的大小为 ．
18．(17分) 解：（1）由题意设双曲线C的方程为 ( )，
由点 在C上，得 ．①
设C的上、下焦点分别为 ， ，则 ，解得 ，
所以 ．②由①②得 ， ，故双曲线C的标准方程为 ；
（2）由题意，直线EF的斜率不为0，设直线EF的方程为 ，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司联立，得方程组 整理得
所以 ， ，解得 ，
所以 ， ，则 ．
当直线PE的斜率不存在时, , , , ,直线AB的斜率为 ．
当直线PE的斜率存在时，直线PE的方程为 ，所以点D的坐标为
，
由 ，可得 ，
由 ，得点B为DF的中点，所以
，
则 ，所以
．
19．(17分)解：（1）当 时， ，可得 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）当 时， ，定义域为 ，
可得 ，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 递减，在 上递增，
所以 ，
又由 ，
存在 使得 ，存在 使得 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
所以 时， 有一个极大值，一个极小值；
（3）由 ，可得 ，
由 ，因为 ，可得 ，
令 ，则 在 上递减，
当 时，可得 ，则 ，所以 ，
则 ，
又因为 ， 使得 ，即
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学科网（北京）股份有限公司且当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
所以 在 递增，在 递减，所以 ，
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，即 ，
由 ，可得 ，所以 ，
因为 ，设 ，则 ，
可知 在 上递增， 且 ，
所以实数 的取值范围是 ．
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