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2024 年高考押题预测卷 03【全国卷】
数 学（文科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合 ， ，则满足 的实数a的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知复数 的共轭复数为 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．2
3．在 中， 则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知 是偶函数，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
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学科网（北京）股份有限公司5．设 是两个不同的平面， 是两条直线，且 .则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．随着国潮的兴起，消费者对汉服的接受度日渐提高，数据显示，目前中国大众穿汉服的场景主要有汉
服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼6类，某自媒体博主准备从这6类场景
中选2类拍摄中国大众穿汉服的照片，则汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的概率
为（ ）
A． B． C． D．
7．已知一个三棱锥的三视图如图，正视图为边长为3的正方形，侧视图和俯视图均为等腰直角三角形，则
此几何体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点 ，点Q在圆 上运动，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 ，若直线 为函数 图象的一条对称轴， 为函数
图象的一个对称中心，且 在 上单调递减，则 的最大值为（ ）
2
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
10．我国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂，
并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，
开平方得积.”把以上文字写成公式，即 （其中S为面积，a，b，c为
的三个内角A，B，C所对的边）.若 ，且 ，则利用“三
斜求积”公式可得 的面积 （ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线 ： 的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线 ，M，N分别是
与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段 的中点，则C的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数 满足 ，则 的最小值为 ．
14．设 ，向量 ， ，若 ，则 ．
15．已知圆锥 的轴截面 为正三角形，球 与圆锥 的底面和侧面都相切.设圆锥 的体积､表
面积分别为 ，球 的体积､表面积分别为 ，则 .
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学科网（北京）股份有限公司16．抛物线 的焦点F，点A，B在抛物线上，且 ，弦AB的中点M在准线上的射影为N，
则 的最大值为 ．
三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17．（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在我国杭州举行，这是继北京亚运会后，我国第二次举
办这一亚洲最大的体育盛会.为迎接这一体育盛会，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲
好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了 100人，统计他们的竞赛成绩（满分
100分，每名参赛大学生至少得60分），并将成绩分成4组： ， ， ，
（单位：分），得到如下的频率分布直方图.
(1)试用样本估计总体的思想，估计这次竞赛中参赛大学生成绩的平均数及中位数；（同一组数据用该
组数据的区间中点值作代表）
(2)现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“亚运达人”，成绩低于90分的学生称为“非亚运达人”.这
100名参赛大学生的情况统计如下.
亚运达
非亚运达人 总计
人
男生 15 30 45
女生 5 50 55
判断是否有99.5%的把握认为能否获得“亚运达人”称号与性别有关.
附： （其中 ）.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
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学科网（北京）股份有限公司18．（12分）已知数列 是公差 不为零的等差数列，其前 项和为 ，若 成等比数列，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求证： .
19．（12分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 为等腰梯形，
，且 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若点 到平面 的距离为 ，求四棱锥 的体积．
20．（12分）已知 ，曲线 在 处的切线方程为 ．
(1)求 ；
(2)证明 ．
21．（12分）已知双曲线 的右焦点 ，离心率为 ，过F的直线 交 于点
两点，过 与 垂直的直线 交 于 两点.
(1)当直线 的倾斜角为 时，求由 四点围成的四边形的面积；
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学科网（北京）股份有限公司(2)直线 分别交 于点 ，若 为 的中点，证明： 为 的中点.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做。则按所做的第一题记分.
22．（10分）在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为
极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
(1)求 的普通方程和 的直角坐标方程；
(2)设直线 与 轴相交于点 ，动点 在 上，点 满足 ，点 的轨迹为 ，试判断曲线
与曲线 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.
23．（10分）已知 ， ， 均为正数，且 .
(1)是否存在 ， ， ，使得 ，说明理由；
(2)证明： .
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