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2024 年高考押题预测卷 01【北京卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知复数 是纯虚数，则在复平面中，复数 的共轭复数 对应的点坐标是（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司5．已知角 的终边上有一点P的坐标是 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在数列 中， ，则 的前 项和 的最大值为（ ）
A．64 B．53 C．42 D．25
7．已知直线 与圆 相交于 ， 两点，且 为等腰直角三角形，则
实数 的值为（ ）
A． 或－1 B．－1 C．1或－1 D．1
8．设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
9．双曲线 的渐近线与圆 的位置关系为
A．相切 B．相交但不经过圆心C．相交且经过圆心 D．相离
10．已知 是定义在 上的增函数，其导函数 满足 ，则下列结论正确的是
A．对于任意 ， B．对于任意 ，
C．当且仅当 D．当且仅当
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．二项式 展开式的常数项是 ．
12．函数 则 .
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学科网（北京）股份有限公司|z|=
13．如图，在梯形 中， ， ， ， ， ，如果 ，
则 .
14．在 中，角 的对边分别为 ，若 ，且 的面积
则 的最小值为
15．平面直角坐标系中， ， ，若曲线 上存在一点 ，使 ，则称曲线 为“合作
曲线”，有下列曲线① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，
其中“合作曲线”是 ．（填写所有满足条件的序号）
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（14分）
在如图所示的直三棱柱 中， ， 分别是 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 为直角三角形， ， ，求直线 与平面 所成角的大小；
(3)若 为正三角形， ，问：在线段 上是否存在一点 ，使得二面角
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学科网（北京）股份有限公司的大小为 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，说明理由.
17．（13分）
已知函数 ，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已
知，使函数 存在.
条件①： ；
条件②：函数 在区间 上是增函数；
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计
分.
(1)求 的值；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值.
18．（13分）
某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据
并按分数段 ， ， ， ， ， 进行分组，假设同一组中的每个
数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．
(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估
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学科网（北京）股份有限公司计高一全年级中“体育良好”的学生人数；
(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体有成绩在 和 的样本学生中随机抽取2人，
求在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在 的概率；
(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在 ， ， 三组中，其
中a，b， ．当数据a，b，c的方差 最小时，写出a，b，c的值（结论不要求证明）
19．（15分）
设椭圆 （ ）的右焦点为 ，右顶点为 ，已知 ，其中 为原点，
为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交
于点 ，若 ，且 ，求直线的 斜率.
20．（15分）
已知函数
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，且不等式
恒成立，求实数 的取值范围.
21．（15分）
设有数列 ，若存在唯一的正整数 ，使得 ，则称 为“ 坠点数列”．记 的
前 项和为 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)判断： 是否为“ 坠点数列”，并说明理由；
(2)已知 满足 ， ，且是“5坠点数列”，若 ，求 的值；
(3)设数列 共有2022项且 ．已知 ， ．若 为“ 坠点
数列”且 为“ 坠点数列”，试用 ， 表示 ．
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