文档内容
2024年高考押题预测卷【全国卷】
数学·（理科01）全解全析
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B B D B B B D A D C A
1．【答案】C
【解析】由 ，故 ，故 ，
即 .
故选：C.
2．【答案】B
【解析】 ，
故选：B．
3．【答案】B
【解析】由题意可得 ， ，
所以
因为 ， ， ，所以 ，
所以 .
故选：B
4．【答案】D
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【解析】依题， 解得 ，则二项式 的所有项系数之和为
.
故选：D.
5．【答案】B
【解析】由题意可知， ， ，
则 ，解得 ，或 （舍），
所以 .
故选：B
6．【答案】B
【解析】由题意 ，设点 到平面 的距离为 ，
而
，
由 ，得 ，解得 ，
棱长为6的正方体的正方体的内切球的半径为 ，
棱长为6的正方体体对角线的长度为 ，
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以所求球形体积最大时即为棱长为6的正方体的正方体的内切球，
则该球形饰品的体积的最大值为 .
故选：B.
7．【答案】B
【解析】 ，所以 ，
，
又因为 ，
所以 ，即 .
故选：B.
8．【答案】D
【解析】由题意知 ，
所以 ，两边取以10为底的对数，得 ，
所以 ，
故选：D.
9．【答案】A
【解析】由题意得 ，抛物线 的准线方程为 ，
设 ，则 ， ，
故 ．
3
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，由 ，得 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
故当 ，即 时， 取得最小值 ．
故选：A．
10．【答案】D
【解析】法一：因为 是等比数列，设其公比为 ，由题意得 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
则 ， ．
设数列 的前 项和为 ，
则 ．
法二：设数列 的前 项和为 ，则 ，
则
，即 ．
故选：D．
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司11．【答案】C
【解析】解法一：由题可得，矩形 的宽为 ，则长为 ，
双曲线 以矩形长边中点为焦点，过顶点 ，如图所示，
则 ，代入双曲线 的方程，得 ，即 .
又因为 ，所以 ，即 ，
等式两边同时除以 得 .
设 ，则 ，即 ，
解得 或 （不合题意，舍去），即 ，
所以 .
故选：C.
解法二：连接 ，由题意知 ，则 ， ， ，
则由双曲线的定义知 ，即 ， ，
所以双曲线的离心率 .
5
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司故选：C.
12．【答案】A
【解析】由 可得 ，要使 恰有一个零点，只需函数 的图象与直线
相切.
设切点坐标为 .由 ，可得 ，则切线方程为 ，即
，
故需使 .
由 可得 ，解得 .
故选：A
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．【答案】
【解析】根据特殊元素“甲同学”分类讨论，
当 单位只有甲时，其余四人分配到 ，不同分配方案有 种；
当 单位不只有甲时，其余四人分配到 ，不同分配方案有 种；
合计有 种不同分配方案，
故答案为： .
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司14．【答案】
【解析】由 知 是奇函数， ，
设 ，则 ，
在 上单调递增，由 得 ，
即 ， ，得 的取值范围是 .
故答案为：
15．【答案】
【解析】依题意，点 的轨迹为直线 上，显然 ，要 最大，当且仅当
最大，
在 中， ，而正弦函数 在 上单调递增，
则只需 最大，即圆心 到点 的距离最小，因此 ，又圆心 ，
此时直线 的方程为 ，由 解得点 ，
于是圆心 关于点 对称的点的坐标为 ，所以圆 关于点 对称的圆的方程为 ．
故答案为：
16．【答案】 /
【解析】取 的中点E， 的中点F，连接EF， ， ，
7
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司则易得 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
同理： 平面AMN，又 平面 ，
所以平面 平面 ，又 平面AMN，
所以 平面 ，即点 在平面 与平面 的交线EF上，
当 时， 取最小值．
易知 ，故当 取最小值时，P为EF的中点，
此时 的面积 ，
则 ．
故答案为： .
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
【解析】（1）
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司由余弦定理可得 ，
化简为 ，解得 或 ，
当 时，因为 ，与 为锐角三角形不符合，
故 .
（2）作 垂直 于 ，设 ，
则 ，当
，四边形面积最大，最大面积为 .
18．（12分）
【解析】（1）当对接码中一个数字出现3次，另外两个数字各出现1次时，
种数为： ，
当对接的中两个数字各出现2次，另外一个数字出现1次时，
种数为： ，
所有满足条件的对接码的个数为150.
（2）随机变量 的取值为1，2，3，其分布为：
， ，
，
故 的分布列为：
1 2 3
9
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司故 .
19．（12分）
【解析】（1）存在， ；
理由如下：由 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
故 ，又 ， 平面 ，故 平面 ，
又 平面 ,故平面 平面 ，又平面 平面 ，
平面 ，作 ，则 平面 ，又 平面 ，
故平面 平面 ，由题意，不妨设 ，
则 中， 由等面积得 ，所以 ，
则 ，所以 .
（2）以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
由（1） ， ， , ，
， ,
设平面 的法向量为 ，
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司由 ，取 ，
易知平面PDE的法向量为 ，
设平面 和平面 的夹角为 ,故 .
20．（12分）
【解析】（1）设 ，由 ，得焦点 ，则 ．
由 ，得 ，解得 ，代入抛物线方程 ，得 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ， ， ， ， ．
联立 消去 整理得 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
11
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
即 ，
即 ，化简得 ．
因为 ，所以 ，此时 ，
所以
，
令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
因为 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 的最大值为 ．
21．（12分）
【解析】（1）由已知函数 的定义域为 ，又
当 时， ，函数 在 上是增函数；
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司当 时， 解得 或 （舍去），
所以当 时 ，函数 在 上是增函数；
当 时 ，函数 在 上是减函数；
综上所述：当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由已知 ，即 ，
可得 ，
函数 有两个极值点 ，即 在 上有两个不等实根，
令 ，只需 ，故 ，
又 ， ，
所以
，
要证 ，
即证 ， ，
只需证 ， ，
令 ，
则 ，
令 ，则 恒成立，
13
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递减，又 ，
由零点存在性定理得， 使得 ，即 ，
所以 时， 单调递增，
时， 单调递减，
则 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 得证.
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）
【解析】（1）将 代入直线 与曲线 的极坐标方程中，
得直线 的直角坐标方程为 ，
曲线 的直角坐标方程为 ，整理得 ．
易知曲线 的参数方程为 （ 为参数）．
（2）设点 的坐标为 ，
则 ，
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司所以当 时， 取得最小值 ，
当 时， 取得最大值 ，
故 的取值范围为 ．
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）
【解析】（1）由 ，
当且仅当 时取等号；
因为 的最小值为 ，所以 ，又 ，所以 ．
所以 即 ，
即 或 或 ，
解得 ，故不等式 的解集为 ．
（2）由 ，
作出函数 的图象及直线 ，如图所示，其中 ．
15
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司因为方程 有实数根，
所以 的图象与直线 有公共点．
因为 过定点 ，所以当直线 经过点 时，斜率 ，
即 时，直线 与 的图像有公共点，也就是方程 有实数根；
由图像知 ，直线 的斜率小于直线 的斜率时，得 ，
此时直线 与 的图像也有公共点，也就是方程 有实数根.
即实数 的取值范围是 ．
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
