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2024年高考押题预测卷【全国卷】
数学·（理科）参考答案
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B B D B B B D A D C A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13． 14． 15． 16． /
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为
必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
答案：(1) (2)
【详解】（1）
由余弦定理可得 ，
化简为 ，解得 或 ，......................................................3
分
当 时，因为 ，与 为锐角
1
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学科网（北京）股份有限公司三角形不符合，故 ........................................................................................................5
分
（2）作 垂直 于 ，设 ，..................................................................6
分
则
，......................................................................................................................................................9
分
当 ，四边形面积最大，最大面积为
.........................................................................................................................12分
18．（12分）
答案：(1)150；(2)分布列见解析， .
【详解】（1）当对接码中一个数字出现3次，另外两个数字各出现1次时，
种数为： ，...............................................................................2分
当对接的中两个数字各出现2次，另外一个数字出现1次时，
种数为： ，.............................................................................4分
所有满足条件的对接码的个数为150....................................................................................5分
（2）随机变量 的取值为1，2，3，其分布为：.............................................................6分
， ，
，............................................................................................................9分
故 的分布列为：
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 2 3
故 ...........................................................................................12分
19．（12分）
答案：(1)存在， (2)
【详解】（1）存在， ；..............................................................................................1分
理由如下：由 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，.........................................................................................................2分
又 平面 ，
故 ，又 ， 平面 ，故 平面 ，....3分
又 平面 ,故平面 平面 ，又平面 平面 ，
平面 ，作 ，则 平面 ，又 平面 ，
故平面 平面 ，....................................................................................................5分
由题意，不妨设 ，
则 中， 由等面积得 ，所以 ，
则 ，所以 ............................................................................6分
3
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学科网（北京）股份有限公司（2）以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
由（1） ， ， , ，
， , ..........................................................................................8分
设平面 的法向量为 ，
由 ，取 ，
易知平面PDE的法向量为 ，
设平面 和平面 的夹角为 ,故 ...........................12
分
20．（12分）
答案：(1) (2)
【详解】（1）设 ，由 ，得焦点 ，则 ．.......................1分
由 ，得 ，解得 ，代入抛物线方程 ，得 ，
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！即 ，.......................................................................................................................3分
所以 ，即 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ．....................................................................................5分
（2）设直线 的方程为 ， ， ， ， ．
联立 消去 整理得 ，
所以 ．............................................................................8分
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ， ，
即 ，.........................................................9分
即 ，化简得 ．
因为 ，所以 ，此时 ，
所以
，.........................11分
令 ，则 ，
5
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时，等号成立．
因为 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 的最大值为 ．..........................................................................................12分
21．（12分）
【详解】（1）由已知函数 的定义域为 ，又 ..............2
分
当 时， ，函数 在 上是增函数；
当 时， 解得 或 （舍去），......................................................3
分
所以当 时 ，函数 在 上是增函数；
当 时 ，函数 在 上是减函数；
综上所述：当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.............................5
分
（2）由已知 ，即 ，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！可得 ，........................................................................................6分
函数 有两个极值点 ，即 在 上有两个不等实根，
令 ，只需 ，故 ，
又 ， ，
所以
，
要证 ，
即证 ， ，
只需证 ， ，................................................................................8分
令 ，
则 ，
令 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递减，又 ，
由零点存在性定理得， 使得 ，即 ，...................................10分
所以 时， 单调递增，
时， 单调递减，
则 ，
7
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学科网（北京）股份有限公司令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 得证......................................................................12
分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）
答案：(1) ， （ 为参数）(2)
【详解】（1）将 代入直线 与曲线 的极坐标方程中，
得直线 的直角坐标方程为 ，.................................................................2分
曲线 的直角坐标方程为 ，整理得 ．........................................4分
易知曲线 的参数方程为 （ 为参数）．......................................................5分
（2）设点 的坐标为 ，.........................................................6分
则 ，
所以当 时， 取得最小值 ，............................................................8分
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！当 时， 取得最大值 ，
故 的取值范围为 ．................................................................................10分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）
答案：(1) .(2) .
【详解】（1）由 ，........................................1分
当且仅当 时取等号；....................................................................................2分
因为 的最小值为 ，所以 ，又 ，所以 ．
所以 即 ，.........................................................................................3分
即 或 或 ，
解得 ，故不等式 的解集为 ．.............................................................5分
（2）由 ，....................................................................6分
作出函数 的图象及直线 ，如图所示，其中 ．
9
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学科网（北京）股份有限公司因为方程 有实数根，
所以 的图象与直线 有公共点．..................................................................8分
因为 过定点 ，所以当直线 经过点 时，斜率 ，
即 时，直线 与 的图像有公共点，也就是方程 有实数根；
由图像知 ，直线 的斜率小于直线 的斜率时，得 ，
此时直线 与 的图像也有公共点，也就是方程 有实数根.
即实数 的取值范围是 ．...................................................................10分
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