文档内容
2024 年高考押题预测卷 01【新高考卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设数列 的前 项之积为 ，满足 （ ），则 （ ）
A． B． C． D．
3．某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改
良工艺前的废水中含有的污染物数量为 ，首次改良工艺后废水中含有的污染物数量为 ，
第n次改良工艺后废水中含有的污染物数量 满足函数模型 （ ， ），其
中 为改良工艺前的废水中含有的污染物数量， 为首次改良工艺后的废水中含有的污染物数量，n为改
良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水
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学科网（北京）股份有限公司符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据： ， ）
A．12 B．13 C．14 D．15
4．已知点 在抛物线 上，抛物线 的准线与 轴交于点 ，线段 的中点 也在抛物线 上，
抛物线 的焦点为 ，则线段 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．设等差数列 的公差为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 的导函数 ，若函数 有一极大值点为 ，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数 ，则下列命题一定成立的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． D．
10．已知 ，下列结论正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．若 的最小正周期为 ，则
B．若 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称，则
C．若 在 上恰有4个极值点，则 的取值范围为
D．存在 ，使得 在 上单调递减
11．六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，
有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如
图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若
相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ）
A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为
C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 的展开式中 的系数为 ．
13．已知高为2的圆锥内接于球O，球O的体积为 ，设圆锥顶点为P，平面 为经过圆锥顶点的平面，
且与直线 所成角为 ，设平面 截球O和圆锥所得的截面面积分别为 ， ，则 .
14．已知双曲线 的左右顶点分别为 ，点 是双曲线 上在第一象限内的点，直线
的倾斜角分别为 ，则 ；当 取最小值时， 的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
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学科网（北京）股份有限公司如图，在平面四边形ABCD中， ， ．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ， ，求四边形ABCD的面积．
16．（15分）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在 上的最大值和最小值；
(2)讨论函数 的单调性．
17．（15分）
2023年12月2日，中央广播电视总台甲辰龙年春晚的主标识正式发布，中央广播电视总台《2024年春节联
欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想＋艺术＋技术”融合传播，与全球华人相约除夕，
共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴．为了解大家对“龘”这个字的认知情况，某网站进
行了调查，并对每一类情况赋予相应的认知度分值，得到如下表格：
A类：不会读不会 B类：会读不会 C类：会读且会写但不理 D类：会读、会写且理
认知情况
写 写 解 解
人数/万人 10 30 5 5
认知度分
50 70 90 100
值
(1)求参与调查的人员认知度分值的平均数与方差；
(2)为了帮助大家记住这个主题，该网站设计了一个有奖游戏，参与者点击游戏按钮，“龙行龘龘，欣欣家
国”这8个字将进行随机排列，若相同的字分别相邻（即龘与龘相邻，欣与欣相邻），则这个参与者可以获
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学科网（北京）股份有限公司得奖励，已知每个参与者是否获得奖励互不影响，若2人同时参与游戏，求恰好有1人获得奖励的概率；
(3)若从参与调查的人员中按照分层抽样的方法抽取20人进行座谈，再从这20人中随机选取3人赠送小礼品，
这3人中属于D类的人数记为X，求X的分布列及数学期望．
18．（17分）
已知四棱柱 如图所示，底面 为平行四边形，其中点 在平面 内的投影为点
，且 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)已知点 在线段 上（不含端点位置），且平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求 的
值．
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学科网（北京）股份有限公司19．（17分）
类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆
球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测
量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，
这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直
角坐标系下，椭球面 ，这说明椭球完全包含在由平面
所围成的长方体内，其中 按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．
某椭球面与坐标面 的截痕是椭圆 .
(1)已知椭圆 在其上一点 处的切线方程为 ．过椭圆 的左焦点
作直线 与椭圆 相交于 两点，过点 分别作椭圆的切线，两切线交于点 ，求 面积的最小
值．
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学科网（北京）股份有限公司(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理
用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果
截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当 时，椭球面 围成的椭球是一个旋
转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积．
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