数学（九省新高考新结构卷01）（参考答案）_2024高考押题卷_62024学科网全系列_24学科网高考押题预测卷_2024年高考数学押题预测卷

2024 年高考押题预测卷 01【新九省卷】 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A D A B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB BCD AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 13． 14． 15． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1， 日均阅读时间的平均数为： （分钟） （2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人 的可能取值为：0，1，2 则 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司所以 的分布列为： 0 1 2 16．（本小题满分15分） 【解】（1）取棱 中点D，连接 ，因为 ，所以 因为三棱柱 ，所以 ， 所以 ，所以 因为 ，所以 ， ； 因为 ， ，所以 ，所以 ， 同理 ， 因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以平面 平面 ； （2） 取 中点O，连接 ，取 中点P，连接 ，则 ， 由（1）知 平面 ，所以 平面 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ， 平面 ， 所以 ， ， 因为 ，则 以O为坐标原点， ， ， 所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， 可设点 ， ， ， ， ， 设面 的法向量为 ，得 ， 取 ，则 ， ，所以 设直线 与平面 所成角为 ， 则 若 ，则 ， 若 ，则 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值 . 17．（本小题满分15分） 【解】（1）当 时， 定义域为 ， 又 ， 所以 ， 由 ，解得 ，此时 单调递增； 由 ，解得 ，此时 单调递减， 所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . （2）函数 的定义域为 ， 由题意知， ， 当 时， ，所以 在 上单调递增， 即 极值点的个数为 个； 当 时，易知 ， 故解关于 的方程 得， ， ， 所以 ， 又 ， ， 所以当 时， ，即 在 上单调递增， 当 时， ，即 在 上单调递减， 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司即 极值点的个数为 个. 综上，当 时， 极值点的个数为 个；当 时， 极值点的个数为 个. 18．（本小题满分17分） 【解】（1）由题意，当直线 垂直于 轴时， ，代入抛物线方程得 ，则 ，所以 ，即 ，所以抛物线 . （2）（i）设 ， ，直线 ， 与抛物线 联立，得 ，因此 ， . 设直线 ，与抛物线 联立，得 ， 因此 ， ，则 .同理可得 . 所以 . 因此直线 ，由对称性知，定点在 轴上， 令 得， ， 所以直线 过定点 . （ii）因为 ， 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司， 所以 ， 当且仅当 时取到最小值 . 19．（本小题满分17分） 【解】（1）对于集合A：因为 ，所以集合A不是规范数集； 对于集合B：因为 ， 又 ， ， ， ， ， ， 所以B相伴数集 ，即 ，故集合B是规范数集. （2）不妨设集合S中的元素为 ，即 ， 因为S为规范数集，则 ，则 ，且 ，使得 ， 当 时， 则 ， 当且仅当 且 时，等号成立； 当 时， 则 ， 当且仅当 且 时，等号成立； 当 时， 则 ， 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时，等号成立； 综上所述： . （3）法一： 不妨设 ， 因为S为规范数集，则 ，则 ，且 ，使得 ， 当 时， 则当 时，可得 ， 当且仅当 时，等号成立， 则范数 ， 当且仅当 时，等号成立， 又 ， 当且仅当 时，等号成立， 故 ，即范数 的最小值 ； 当 时， 则当 时，可得 ， 当且仅当 时，等号成立，则 ， 则范数 ， 当且仅当 时，等号成立， 又 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司， 当且仅当 时，等号成立， 故 ，即范数 的最小值 ； 当 ，使得 ，且 ， 当 ，即 ，即 时， 则当 时，可得 ， 当且仅当 时，等号成立， 则当 时，可得 ， 当且仅当 时，等号成立， 则范数 ； 对于 ，其开口向上，对称轴为 ， 所以 ， 所以范数 的最小值为 ； 当 ，即 ，即 时， 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司则当 时，可得 ， 当且仅当 时，等号成立， 则当 时，可得 ， 当且仅当 时，等号成立， 则范数 ； 对于 ，其开口向上，对称轴为 ， 所以 ， 所以范数 ； 综上所述：范数 的最小值 . 法二：不妨设 ， 因为S为规范数集，则 ，则 ，且 ，使得 ， 所以对于 ，同样有 ，则 ， 由（2）的证明过程与结论 可得， ，当且仅当 9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司时，等号成立， 即 ， ，…… ， 所以范数 ， 当且仅当 时，等号成立， 所以范数 的最小值 . 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司