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2024年高考押题预测卷01【北京卷】
数学·参考答案
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
9 10
1 2 3 4 5 6 7 8
A B
A A A A D B C D
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． 15 12． 13． 14． 3 15．①③④
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（14分）
【详解】（1）取 中点 ，连接 ，
因为 为 的中点，所以 ，
又因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
1
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学科网（北京）股份有限公司（2）取 中点 ，连接 ，
因为四边形 为矩形，且 为 的中点，
所以 ，
所以四边形 为平行四边形，所以
因为几何体为直三棱柱，
所以 平面 ，所以 平面 ，
所以直线 与平面 所成角即为 ，
因为 为 中点，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的大小为 ；
（3）设存在 满足条件，
连接 ，因为 为正三角形，所以 也是正三角形，
因为 为 中点，所以 ，
因为几何体为直三棱柱，所以 平面 ，
2
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学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
以 为原点，以 方向为 轴正方向，在平面 内过点 垂直于 方向为 轴，建立如图
所示空间直角坐标系，
则 ，设 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ，
取平面 的一个法向量 ，
所以 ,
解得 或 （舍去），
3
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学科网（北京）股份有限公司此时由图可知，二面角 的平面角为钝角，
所以当 为 中点时，二面角 的大小为 .
17．（13分）
【详解】（1）由题意得：
.
当选条件①： ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 时，即得： ，即 .
当选条件②：
从而得：当 时， 单调递增，
化简得：当 时， 单调递增，
又因为函数 在区间 上是增函数，
所以得： ，解之得： ，
当 时，得 ，与已知条件 矛盾，故条件②不能使函数 存在.
故：若选条件②， 不存在.
当选条件③：
由 ， ，
4
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学科网（北京）股份有限公司得当 时， ，又因为 ，
所以得 ，得 .
（2）当选条件①：
由（1）知： ，则得： ，
又因为 ，所以 ，
所以当 时， 有最大值 ；
所以当 时， 有最小值 ；
当选条件③：
由（1）知： ，则得： ，
又因为 ，所以 ，
所以当 时， 有最大值 ；
所以当 时， 有最小 ；
18．（13分）
【详解】（1）由折线图，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有 人，
所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生人数大约为 人；
（2）成绩在 有2名学生，设为 ； 有2名学生，设为 ，
故抽取2名学生的情况有： ，共6种情况，
其中恰有1人体育成绩在 的情况有： ，共4种情况，
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学科网（北京）股份有限公司故在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在 的概率为 ；
（3）甲､乙､丙三人的体育成绩分别为 ，且分别在 ， 三组中，其中 ，
要想数据 的方差 最小，则 三个数据的差的绝对值越小越好，故 ，
则甲､乙､丙三人的体育成绩平均值为 ，
故方差
，
对称轴为 ，
故当 或85时， 取得最小值，
的值为79，84，90或79，85，90.
19．（15分）
【详解】解：（Ⅰ）设 ，由 ，即 ，
可得 ，又 ，
所以 ，因此 ，所以椭圆的方程为 .
（Ⅱ）设 ，直线的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
由方程组 消去 ，整理得 ，
解得 或 ，
由题意得 ，从而 ，
6
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学科网（北京）股份有限公司设 ，由（1）知 ， 有 ， ，
由 ，得 ，
所以 ，解得 ，
因此直线 的方程为 ，
设 ，由方程组 消去 ，得 ，
在 中， ，
即 ，化简得 ，即 ，
解得 或 ，
所以直线 的斜率为 或 .
20．（15分）
【详解】解：（1）因为 ，
所以 ，
所以切线斜率 ，又 ，
故曲线 在点 处的切线方程为：
，即 .
（2）因为 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为函数 有两个极值点 ， ，
则 有两个不同的正根，即 有两个不同的正根，
则 ，
不等式 恒成立等价于
恒成立，
又
，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 .
所以实数 的取值范围为： .
21．（15分）
【详解】（1）解：对于 ，由于 ， ， ， ， ，
则存在 ， ，不满足定义，故 不是坠点数列．
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学科网（北京）股份有限公司对于 ，容易发现 ， ， ， ，
即在前4项中只有 ．而对于 起，
由于 ，即 对于 是恒成立的．
故 是“3坠点数列”．
（2）解：由绝对值定义， ．
又因为 是“5坠点数列”，则 中只存在 且 ．
则当且仅当 时， ，其余均为
故可分类列举：
当 时， ， ， ， ，
当 时， ， ， ，
分组求和知：
当 时， ，则 ，
当 时， ，
则当 时， ，
则 ，
（3）解：结论： ，理由如下：
经过分析研究发现： ，
下利用反证法予以证明．不妨设 ，首先研究 ．
由于 为“ 坠点数列”，则只存在 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司而对于 且 ，则有 ，即 ，
故在 中有且仅有一项 ，其余项均大于0，
又因为 为“ 坠点数列”，则有且仅有 ，
同时， ， ，
这与 是矛盾的，则 且 ，
则 ，
故 ．
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