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2024年高考押题预测卷【新高考卷】
数学·参考答案
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B D B C A B C D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AB AD BD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13． 14． 15．①③④
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【解析】（1） 的定义域为R， ,
当 时， , 单调递减;
当 时，令 ，得 , （3分）
当 时， ， 单调递减;
当 时， ， 单调递增.
1
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司综上，当 时， 在R 上单调递减；
当 时， 在 单调递减; 在 上单调递增. (7分）
（2）由（1）知， ，
设切点 为，则 ，
易知 ，故 . （10分）
又 ，即 ，将 代入，得 .
设 ，则 .
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，
综上， . （15分）
16．（15分）
【解析】（1）将所给数据进行整理，得到如下列联表：
短视频
游客 合计
收看 未看
南方游
200 100 300
客
北方游
80 120 200
客
2
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司合计 280 220 500
零假设 ：南北方游客来此景点旅游与短视频无关联． （4分）
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 （7分）
（2）（i）设经过 次传递后回到甲的概率为 ，
， ，
又 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 . (10分）
（ii）（方法一）
设第 次传递时甲接到球的次数为 ，则 服从两点分布， ，
设前 次传递中球传到甲的次数为 ，
，
3
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为 ，所以 . （15分）
（方法二）
设第 次传递时，乙接到球的概率和次数分别为 与 ，则 服从两点分布，
，由题可知 ， ，
又 ，所以 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
， ，
，
故 . （15分）
17．（15分）
【解析】（1）取 中点 ，连接 分别为 的中点，
， 底面四边形 是矩形， 为棱 的中点，
，
故四边形 是平行四边形， ，
又 平面 平面 ， //平面 . （6分）
4
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）假设在棱 上存在点 满足题意，如图：连接 ， ， ，
在等边 中， 为 的中点，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
平面 ，则 是四棱锥 的高，
设 ，则 ，
∴ ，所以 ， （9分）
以点 为原点， 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
故 ，
设 ，
5
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司．
设平面 的一个法向量为 ，
则 所以可取 .
易知平面 的一个法向量为 ， （12分）
， ，
故存在点 满足题意. （15分）
18．（17分）
【解析】（1）设点 ，由题意可知 ，
即 ，经化简，得 的方程为 ，
当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆；
当 时，曲线 是焦点在 轴上的双曲线． （3分）
（2）设点 ，其中 且 ，
（ⅰ）由（1）可知 的方程为 ，
因为 ，所以 ，
6
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因此， 三点共线，且 ， （6
分）
（法一）设直线 的方程为 ，联立 的方程，得 ，
则 ，
由（1）可知 ，
所以
，
所以 为定值1； （9分）
（法二）设 ，则有 ，解得 ，
同理由 ，解得 ，
所以 ，
所以 为定值1； （12分）
7
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由椭圆定义 ，得 ，
，
解得 ，同理可得 ，
所以
．
因为 ，所以 的周长为定值 ． （9分）
（ⅱ）当 时，曲线 的方程为 ，轨迹为双曲线，
根据（ⅰ）的证明，同理可得 三点共线，且 ，
（法一）设直线 的方程为 ，联立 的方程，
得 ，
8
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，（*）
因为 ，
所以
，
将（*）代入上式，化简得 ， （13分）
（法二）设 ，依条件有 ，解得 ，
同理由 ，解得 ，
所以 ． （13分）
由双曲线的定义 ，得 ，
9
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司根据 ，解得 ，
同理根据 ，解得 ，
所以
，
由内切圆性质可知， ，
当 时， （常数）．
因此，存在常数 使得 恒成立，且 ． （17分）
19．（17分）【解析】（1）可求得 ，设 ，则 ， ，
设点 ， ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故
.
所以
（7分）
（2）设 ， ，则 ， ， ，
故
所以坐标变换公式为 ，
该变换所对应的二阶矩阵为 （9分）
（3）设矩阵 ，向量 ， ，则 ．
，
对应变换公式为： ，
，
所以
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故对应变换公式同样为
所以 得证. （17分）
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