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绝密★启用前
2024 年高考押题预测卷【新高考卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1. 定义差集 且 ，已知集合 ， ，则 （
）
A. B. C. D.
2.已知函数 的最小正周期为 ，下列结论中正确的是（ ）
A. 函数 的图象关于 对称
B. 函数 的对称中心是
C. 函数 在区间 上单调递增
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D. 函数 的图象可以由 的图象向右平移 个单位长度得到
3.2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在
对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球
社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至
少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选
同一个村，则不同的选法种数是（ ）
A. 18 B. 36 C. 54 D. 72
4.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔 设计的，图中每个
扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿
人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法错误的是（ ）
A. 2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加
B. 2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多
的
C. 2015年至2022年，知识付费用户数量 逐年增加量逐年递增
D. 2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍
5. 在 中， 为边 上一点， ，且 的面积为 ，则
（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A. B. C. D.
6.已知正项数列 的前 项和为 ，若 ，且 恒成立，
则实数 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
7. 设方程 的两根为 ， ，则（ ）
A. ， B.
C. D.
8.在棱长为2的正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，平面
截正方体 外接球所得的截面面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知 是 的共轭复数，则（ ）
A. 若 ，则
B. 若 为纯虚数，则
C. 若 ，则
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D. 若 ，则集合 所构成区域的面积为
10.已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，向量 ，且 与 夹角 ，则向量 可
以为（ ）
A. B. C. D.
11.已知抛物线 的焦点为 为抛物线 上的任意三点
（异于坐标原点 ）， ，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 若 ，则
C. 设 到直线 的距离分别为 ，则
D. 若直线 的斜率分别为 ，则
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 展开式中 项系数为___________.
13. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P是C上一点，且 ，H
是线段 上靠近 的三等分点，且 ，则C的离心率为___________.
14.随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为
了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现
梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用 作为激活函数，
为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输 的 满足 则提示“可能
出现梯度消失”，满足 则提示“可能出现梯度爆炸”，其中 表示梯度消失阈值， 表示梯度
爆炸间值.给出下列四个结论：
① 是 上的增函数；
②当 时， ，输入 会提示“可能出现梯度爆炸”；
③当 时， ，输入 会提示“可能出现梯度消失”；
④ ，输入 会提示“可能出现梯度消失”.
其中所有正确结论的序号是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分） 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若直线 与曲线 相切，求 的值．
16．（15分）短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查
某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南
方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.
（1）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值 的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅
游是否与收看短视颍有关联：单位：人
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司短视频
游客 合计
收看 未看
南方游
客
北方游
客
合计
（2）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人
之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.
（i）求经过 次传递后球回到甲的概率；
（ii）记前 次传递中球传到乙的次数为 ，求 的数学期望.
参考公式： ，其中 ；
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．（15分） 如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 是正三角形，且平面
平面 ， ， 为棱 的中点，四棱锥 的体积为 .
（1）若 为棱 的中点，求证： 平面 ；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成夹角的余弦值为 ？若存在，求出线
段 的长度；若不存在，请说明理由.
18．（17 分）已知动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比为常数 ．其中
，且 ，记点 的轨迹为曲线 ．
（1）求 的方程，并说明轨迹的形状；
（2）设点 ，若曲线 上两动点 均在 轴上方， ，且 与 相交于点 ．
①当 时，求证： 的值及 的周长均为定值；
②当 时，记 的面积为 ，其内切圆半径为 ，试探究是否存在常数 ，使得 恒成立？
若存在，求 （用 表示）；若不存在，请说明理由．
19．（17分）在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 ， ， ， 为常数），将点
变换为点 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可
由 ， ， ， 组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英
文字母 ， ，…表示．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 得到点 （到原点距离不变），
求点 的坐标；
（2）如图，在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到原
点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
（3）向量 （称为行向量形式），也可以写成 ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐
标公式①可以表示为： ，则称 是二阶矩阵 与向量 的乘积，设 是一
个二阶矩阵， ， 是平面上的任意两个向量，求证： ．
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