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2024年高考押题预测卷【全国卷02】
文科数学·全解全析
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 或 ，
则 ，又 ，
所以 .
故选：B
2．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 可得 ，
故虚部为 ，
故选：A
3．若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）
1
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学科网（北京）股份有限公司A． B．2 C． D．1
【答案】C
【详解】由约束条件 作出可行域如图，
联立 ，解得 ，则 ．
化目标函数 为 ．
由图可知，当直线 过 时，直线在 轴上的截距最小，
则 有最小值为 ．
故选：C．
4．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：B．
2
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学科网（北京）股份有限公司5．执行如图所示的程序框图，则输出的 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当 时，进入第一次循环，得 ；进入第二次循环，得 ；
进入第三次循环，得 ； ， ；
，此时因 ，退出循环，输出
，
而 .
故选：C.
6．某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况，随机抽取了100名学生进行中国传统文化知识考
试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图（分成 ，
， ， ， ， 六组），下列结论中不正确的是（ ）
3
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学科网（北京）股份有限公司A．图中的
B．若从成绩在 ， ， 内的学生中采用分层抽样抽取10名学生，则成绩在
内的有3人
C．这100名学生成绩的中位数约为65
D．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则这100名学生的平均成绩约为68.2
【答案】C
【详解】由 ，得 ，所以A正确；
这100名学生中成绩在 ， ， 内的频率分别为0.2，0.12，0.08，所以采用分层抽样抽
取的10名学生中成绩在 内的有 人，故B正确；
根据频率分布直方图，可知这100名学生成绩的中位数在 之间，设中位数为 ，则
，所以 ，故C错误；
根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得
，D正确．
故选：C
7．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ， ，
因为 ，可知 ，
又因为 ，所以 .
故选：D
8．已知函数 满足 ，且函数 为偶函数，若 ，则
（ ）
A．0 B．1012 C．2024 D．3036
【答案】B
【详解】由题意函数 为偶函数，所以 ， 的图象关于直线 对称，
所以 ，
所以函数 的周期为4，在 中，分别令 和1，
得 ， ，即 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
9．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，多见于亭阁式
建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图1，它的屋顶部分的轮廓可以近似看作如图2所示的正四棱
锥 ，其中底面边长和攒尖高的比值为 ，若点 是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的
正切值为（ ）
5
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接 ，设 为 的中点， ，
异面直线 与 所成角为 或其补角．
连接 ，
所以，在正四棱锥 中， ， ，
平面 ，
，设 ，则由题意得 ，
在 中， ．
故选：C．
6
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学科网（北京）股份有限公司10．已知点P为直线 与直线 的交点，点Q为圆
上的动点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为点 为直线 与直线 的交点，
所以由 可得 ，且 过定点 ， 过定点 ，
所以点 的轨迹是以点 与点 为直径端点的圆，圆心为 ，半径 .
而圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以两个圆心的距离 ，且 ，所以两圆相离，
所以 的最大值为： ， 的最小值为： ，
所以 的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据直线 垂直以及过定点得到点 的轨迹是圆，从而得解.
7
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学科网（北京）股份有限公司11．设等比数列 中， 使函数 在 时取得极值 ，则 的值是
（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】D
【详解】由题意知： ，
在 处取得极值 ， ，
解得： 或 ；
当 ， 时， ，
在 上单调递增，不合题意；
当 ， 时， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
是 的极小值点，满足题意；
，又 与 同号， .
故选：D.
12．已知抛物线 的准线方程为 ， ， ， 为 上两点，且
，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
8
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学科网（北京）股份有限公司C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【详解】由抛物线 的准线方程为 ，可得 ，解得 ，
所以抛物线 ，
设直线 ，且 ， ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，解得 ，且 ， ，
由 ，所以A正确；
由 ，所以B正确；
当 时，由 ，可得 ，
则 ， 或 ， ，所以 ，所以C错误；
由 ，
解得 ，所以 ，则 ，所以D正确．
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学科网（北京）股份有限公司故选：C
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知函数 （ 是 的导函数），则曲线 在 处的切线方程
为 ．
【答案】 ．
【详解】由题意设切点 ，因为 ，
令 ，得 ，
由导数几何意义知： ，
又 ，所以 ，
故曲线 在 处的切线方程为： ，
整理得： .
故答案为： .
14．已知 是双曲线 上任意一点，若 到 的两条渐近线的距离之积为 ，则 上的
点到焦点距离的最小值为 ．
【答案】
1
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0
学科网（北京）股份有限公司【详解】所求的双曲线方程为 ，则渐近线方程为 ，
设点 ，则 ，
点 到 的两条浙近线的距离之积为 ，
解得： ，故双曲线 方程为： ，
故 ，故双曲线 上的点到焦点距离的最小值为 ．
故答案为： ．
15．已知长方体 中，侧面 的面积为2，若在棱 上存在一点 ，使得 为
等边三角形，则四棱锥 外接球表面积的最小值为 .
【答案】
【详解】如图，由对称性可知，点 是 的中点，设 ，则 ， ，点 是 的中
点，
由底面矩形 的对角线的交点 作底面 的垂线，过等边三角形 的中心 作平面 的
垂线，两条垂线交于点 ，点 是四棱锥 外接球的球心，
， ，则
1
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1
学科网（北京）股份有限公司，
当 ，即 时，等号成立，则 的最小值为 ,
所以四棱锥 外接球表面积的最小值为 .
故答案为：
16．若 的内角 的对边分别为 ， ， ，点 在边 上，
且 的面积为 ，则 ．
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
因为点 在边 上， ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
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2
学科网（北京）股份有限公司所以 ，得 ，
在 中， ，
由余弦定理可得 ，
得 ．
故答案为： .
【点睛】方法点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中
若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注
意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外
语，“1”为首选科目．要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、
化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合．某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史
和物理的统计数据如下表所示：
历史 物理 合计
男生 1 24 25
女生 9 16 25
合计 10 40 50
附： ，其中 ．
0.100 0.050 0.01 0.005 0.001
1
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3
学科网（北京）股份有限公司0
6.63
2.706 3.841 7.879 10.828
5
(1)根据表中的数据，判断是否有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关；
(2)从选择物理类的40名学生中按照分层抽样，任意抽取5名同学成立学习小组，该小组设正、副组长各
一名，求正、副组长中至少有一名女同学的概率.
【详解】（1）
将表中的数据带入，得到
．..............................................................3分
所以有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关．..............................................................................5分
（2）
由题意知，抽取的5名同学中，男生有3名，设为A，B，C，女生2名，设为D，E，....................6分
从这5名同学中选取2名同学担任正副组长，所有的可能情况有：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共计10种基本情况，且每种情况的发生是等
可能的，..........................................................................................................................................................8分
其中至少有一名女生的情况有 ， ， ， ， ， ， ，共计有7种情况，.........10分
所以 （至少有一名女生） ．...........................................................................................................12分
18．设等差数列 的公差为 ，记 是数列 的前 项和，若 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【详解】（1）由 ， ，得 ，解得 ，.........................1分
由 ， ，所以 ，所以 或 ，...........................3分
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4
学科网（北京）股份有限公司当 时 ，此时 ；...................................................................4分
当 时 ，此时 ；....................................................................5分
综上可得数列 的通项公式为 或 ；.......................................................................6分
（2）因为 ，所以 ，则 ，...............................................................7分
则
，.............................................................................................9分
所以
.....................................................................................................12分
19．如图，四棱锥 中，底面ABCD为菱形， ，侧面 是边长为4的正三角形，
.
(1)证明：平面 平面ABCD；
(2)求点A到平面SBC的距离.
【详解】（1）证明：取CD中点E，连接SE，AE，BE，......................................................................1分
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学科网（北京）股份有限公司易得 ， ，因为 ， ，
所以 ， ， ，故 ，................................................................3分
又 ， ，
所以 ，故 ，.........................................................................................................4分
因为 平面ABCD， 平面ABCD， ，
所以 平面ABCD，又因为 平面SCD，
所以平面 平面ABCD..........................................................................................................................6分
（2）由（1）知 平面ABCD，且 ，
在 中， ，
所以 ，
故 ...............................................................................................8分
在 中， ， ，
所以SB边上的高 ，
所以 ..............................................................................................................10分
设点A到平面SBC的距离为d，
则 ，即 ，解得 ，
所以点A到平面SBC的距离为 .........................................................................................................12分
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学科网（北京）股份有限公司20．已知椭圆 的方程 ，右焦点为 ，且离心率为
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 是椭圆 的左、右顶点，过 的直线 交 于 两点（其中 点在 轴上方），求 与
的面积之比的取值范围.
【详解】（1）设椭圆焦距为 ，
由题意可得 ，............................................................................3分
故椭圆方程为 ..............................................................................................................................4分
（2）当 斜率不存在时，易知 ；............................................................................5分
②当 斜率存在时，设 ， , ， , ，
由 ，得 ，显然 ，
所以 ， ，.......................................................................................................7分
因为 ， ，
所以 ，.................................................................................................................9分
因为 ，
所以 ，
又 ，...................................................................................................10分
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ， ，解得 且 ，
所以 ，
综上可得 的取值范围为 ．........................................................................................................12分
21．已知函数 ，
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点 ，求 的最小值.
【详解】（1）因为 ，
所以 ,........................................................................................................1分
令 ，则 ，
因为 ，
当 时， ，则 ，即 ，
此时 在 上单调递增，.................................................................................................................3分
当 时， ，由 ，得 ，且 ，
当 或 时， ，即 ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即 ，
所以 在 , 上单调递增，在 上单调递减；..........................................................5分
综上，当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 , 上单调递增，在 上单调递减，
其中 ..........................................................................................................6分
（2）由（1）可知， 为 的两个极值点，且 ，
所以 ，且 是方程 的两不等正根，
此时 ， ， ，
所以 ， ，且有 ， ，............................................8分
则
.............................................................10分
令 ，则 ，令 ，
则 ，
当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 的最小值为 ...............................................................................................12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．已知在平面直角坐标系 中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为 ；在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参
数），点 的极坐标为 且点 在曲线 上.
(1)求曲线 的普通方程以及曲线 的极坐标方程；
(2)已知直线 与曲线 分别交于 ， 两点，其中 ， 异于原点 ，求 的面积.
【详解】（1）因为曲线 的极坐标方程为 ，所以 ，
由 ，得曲线 的直角坐标方程为 ；
由曲线 的参数方程为 （ 为参数），又 ，
得 ，..........................................................................................................................................2分
因为 ，所以 ，即 ，
即曲线 的极坐标方程为 .
2
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0
学科网（北京）股份有限公司又点 在曲线 上，所以 ，解得 ，
所以曲线 的极坐标方程为 ；.................................................................................................4分
（2）因为点 ，则 ，即点 的直角坐标为 ，.................................5分
由（1）得曲线 的直角坐标方程为 ，
联立 ，解得 或 ，所以 ，
联立 ，解得 或 ，所以 ，............................................................8分
则 ，
点 到直线 的距离 ，.................................................................9分
所以 .........................................................................................................................10分
选修4-5：不等式选讲
23．已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【详解】（1）当 时， 可化为 ......................................................................1分
2
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ................................................................................................4分
故当 时，不等式 的解集为 .......................................................................................5分
（2）因为 ，
所以 等价于 ........................................................................................7分
因为 ，当且仅当 时取等号，....................................8分
所以 的最小值为 ，所以 ，
解得 或 ，
故 的取值范围是 ..............................................................................................................10分
2
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2
学科网（北京）股份有限公司
