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2024年高考押题预测卷03【全国卷】
数学（文科）·全解全析
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B C A A C D B B B C B
1．【答案】B
【详解】依题意， ，若 ，解得 （ 时不满足集合的互异性，舍去），
若 ，解得 （ 时不满足集合的互异性，舍去），
综上所述， 或 .
故选：B
2．【答案】B
【详解】 ，则 ，
故 .
故选：B.
3．【答案】C
【详解】因为 ，所以 为线段 上靠近 的三等分点，如下图所示：
故 ．
故选：C．
4．【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可得 ，
即 恒成立，即 ，即 .
故选：A.
5．【答案】A
【详解】 ，且 ，所以 ，又 ，所以 ，充分性满足，
如图：满足 ， ，但 不成立，故必要性不满足，
所以“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
6．【答案】C
【详解】记汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼这6类场景分别为A，B，
C，D，E，F，
从6类场景中选2类场景进行拍摄的基本事件有
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，共15种，
设事件M为“汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中”，
则事件M包含的基本事件有 ， ， ， ， ，
， ， ， ，共9种，
故所求概率 ，
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司7．【答案】D
【详解】由题意将该三棱锥补充为一个正方体，如图所示，
该三棱锥为 ，其外接球与它所在正方体外接球是同一个，
设其外接球的半径为 ，则有 ，
此几何体的外接球的表面积为 .
故选：D.
8．【答案】B
【详解】如图，过P作圆O的切线 ，连接 ，
在 中， ，
所以 .
当点Q运动到点A时， 最大，即 ，
所以 .
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司9．【答案】B
【详解】由题意知直线 为函数 图象的一条对称轴， 为函数 图象的一个对称中心，
故 ，则 ， ，
又 在 上单调递减，则 ，
即得 ，结合 ，即 ，
故当 时， ；当 时， ；
取其它值时，不合题意，
故 的最大值为 ，
故选：B．
10．【答案】B
【详解】因为 ，由余弦定理可得 ，解得 ，
又因为 ，由正弦定理可得 ，且 ，即 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
11．【答案】C
【详解】设双曲线的右焦点 ，过第一象限的渐近线方程为 ，
当 时， ，即 ，又 ，
因为M是线段 的中点，所以 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
所以C的渐近线方程为 .
故选：C.
12．【答案】B
【详解】对 ，因为 ，则 ，即函数 在 单调递减，
且 时， ，则 ，即 ，所以 ，
因为 且 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：B
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．【答案】
【详解】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 ，平移直线 ，数形结合可知当直线
经过点 时， 取得最小值．
由 得 ，故 ， ．
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司14．【答案】 /
【详解】由 ，则有 ，
即 ，
由 ，故 ，
故 ，即 .
故答案为： .
15．【答案】1
【详解】依题意，设正 的边长为2，则圆锥 的底面圆半径为1，高为 ，母线长为2，
因此 ， ，
球 半径即为正 的边心距 ，因此 ， ，
所以 .
故答案为：1
16．【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
设 ， ，由抛物线定义可知 ， ，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 的最大值为 .
故答案为： .
三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17．（12分）
【详解】（1）平均数 ，
由 ， ，
故中位数位于 ，设中位数为 ，则有 ，解得 ,
即平均数 ，中位数 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2） ，
故有99.5%的把握认为能否获得“亚运达人”称号与性别有关.
18．（12分）
【详解】（1）因为 成等比数列，且 ，
所以 ，由 ，解得 ，
所以 .
（2）由 ，
得 ，
由 ，有 ，所以 ，得 .
19．（12分）
【详解】（1）在等腰梯形 中，因为 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ．
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
又 平面 ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）如图，过点 作 于点 ，由（1）可知平面 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司又平面 平面 平面 ，所以 平面 ，故 ．
在 中， ，所以 ．
在 中， ，所以 ．
又 ，所以 ，即四棱锥 的高为1．
由题意知，梯形 的高为 ，所以梯形 的面积为 ，
所以四棱锥 的体积为 ．
20．（12分）
【详解】（1）由 可得 ，
则 ，所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
又因为 ，所以切线方程为： ，即 .
所以 .
（2）要证明 ，只要证 ，
设 ，则 ，
令 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
所以 ，所以 .
21．（12分）
【详解】（1）由题意知 ，
所以 的方程为
直线 的倾斜角为 ，过点 直线 的方程为
设 ，联立 ，
得
与 互相垂直 的倾斜角为 由对称性可知
（2）方法一：由题意可知 的斜率存在且不为0，设 的方程分别为 由
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学科网（北京）股份有限公司互相垂直可得 ①
联立 得 ②
联立 ，
整理得
是 的中点 ③
由②③得 ，即 ④
同理联立 得 ⑤
由①④⑤得
⑥
联立 ，
得
取 中点 ，所以 ⑦
由⑥⑦得 与 重合，即 是 中点.
方法二：由题意可知 的斜率存在且不为0，设 的方程分别为
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学科网（北京）股份有限公司由 互相垂直可得
设 的坐标分别为
联立 ，
得 ，又
是 的中点
整理可得的 中点
又 直线 恒过定点 ，
，
同理
三点共线
所以 的中点 在 上，又 上的点 在 上
所以 与 重合，即 是 中点
方法三：由题意可知 的斜率存在且不为0，设 的方程分别为
由 互相垂直可得 ①
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学科网（北京）股份有限公司联立 得 ，所以 ②
设 的坐标分别为 ，代入 得
两式相减得 ，
变形为 ，即 ③
由②③得 ，即 ④
同理联立 得 ，
所以 ⑤
由①④⑤得 ，
所以 ⑥
取 中点 ，同理可证 ⑦
由⑥⑦得 .
结合 均在直线 上，所以 与 重合，即 是 中点.
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学科网（北京）股份有限公司（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做。则按所做的第一题记分.
22．（10分）
【详解】（1）由题设曲线 的参数方程，消参得 ，
由 ，且 得， ，化简得
，
C的普通方程为 ，l直角坐标方程为 .
（2）当 时， ，易知 ，设 ，
可得 ， （a
是参数），
消参得方程为 且 ，
则圆心距离 得 ，
则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组 ，
解得 或 ，故坐标为 .
23．（10分）
【详解】（1）不存在 ， ， ，使得 .理由如下：
因为 ， ， 都是正数，且 ，所以 ，
所以
，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时取等号，
即 的最小值为 ，
所以不存在 ， ， ，使得 .
（2）因为
，当且仅当 时等号成立，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司
