文档内容
渝北中学 2023-2024 学年(下)高三 2 月月考质量监测
数学 试题
（全卷共四大题19小题 总分150分 考试时长120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.
3.请按照题号顺序在答题卡相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效.
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合
数学试卷第1页 共6页
A = ∣x y = lo g
2
( 2 − x ) , B = ∣y y = 2 x − 2 ，则 A B = （ ）
A．(0,2) B． 0 , 2 C．(0,+) D．(−,2
2．已知直线a，m，n，l，且m，n为异面直线， m ⊥ 平面，n⊥平面．若 l满足 l ⊥ m ，
l ⊥ n ，则下列说法中正确的是（ ）
A． l ∥ B．l⊥
C．若 a = ，则 a ∥ l D． ⊥
3．2023 年 11 月 30 日，重庆市轨道交通新开通 6 个站点，包括 5 号线中段忠恕沱、红岩村、
歇台子3 个站点和10号线南湖、万寿路、兰花路 3个站点，为广大市民的出行提供了更
多便利．某同学从中随机选择 4 个站点实地考察周边情况，则在红岩村被 选中的条件下，
10号线不少于2个站点的概率为（ ）
9 7 3 1
A． B． C． D．
10 10 5 10
S
4．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C=Wlog 1+ ，其中 C为最大数据
2 N
传输速率，单位为 b it / s ；W为信道带宽，单位为 H z
S
； 为信噪比.香农公式在 5G技术中
N
S
发挥着举足轻重的作用.当 =99，
N
W = 2 0 0 0 H z 时，最大数据传输速率记为 C
1
S
；当 =9999，
N
C
W=3000Hz时，最大数据传输速率记为C ，则 2 =（ ）
2 C
1
1 5 15
A． B． C． D．3
3 2 4
{#{QQABRYYUogiAABAAAQhCEwUqCAGQkAAACIoGgAAMMAABiQNABAA=}#}5．已知
数学试卷第2页 共6页
c o s
π
6
s in
4
3
−
+ = ，则 s i n
5 π
6
−
的值是（ ）
3
A．− B．
4
−
1
4
1
C． D．
4 4
3
6．过点 P ( 0 , − 2 ) 作圆 x 2 + y 2 − 4 x − 1 = 0 的两条切线，切点分别为 A , B ，则 c o s A P B = （ ）
A． −
1
4
B．
1
4
5
C．
1
4
D．
1
4
0
5sinx
7．函数 f (x)= +xcosx在
ex
2 , 2 − 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点 F 为抛物线 C : y 2 = 4 x 的焦点，过 F 的直线 l 与 C 交于 A , B 两点，则 A F + 2 B F 的最
小值为（ ）
A．2 2 B．4 C．3+2 2 D．6
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9．已知复数z ，
1
z
2
，则下列结论正确的有（ ）
A．z2 =z2 B．
1 1
z
1
z
2
= z
1
z
2
C． z
1
z
2
= z
1
z
2
D． z
1
+ z
2
= z
1
+ z
2
10．已知函数 f (x)， g ( x ) 的定义域为R，且 f (x)+g(1−x)=a（a0）， g ( 1 + x ) = g ( 1 − x ) ，若
f ( x + 2 ) 为奇函数，则下列说法正确的有（ ）
A．g(x)的图象关于 x = 1 对称 B．g(x)为奇函数
C． f (2)=0 D． f ( x ) 为偶函数
11．已知正项数列a 满足
n
a
1
=
1
2
，a = f (a )，其中 f (x)=ln ( ex−1 ) −lnx，则（ ）
n+1 n
A．a 为单调递减数列 B．a a
n 2023 2024
1 1
C．a a D．a +a +a ++a 1−
n+1 2 n 1 2 3 n 2n
{#{QQABRYYUogiAABAAAQhCEwUqCAGQkAAACIoGgAAMMAABiQNABAA=}#}三、填空题（本大题共 3 小题，每小题5分，共 15分）
12．已知等差数列
数学试卷第3页 共6页
a
n
满足 a
2
+ a
5
+ a
8
= 4 ，前 n 项和为 S
n
，则 S
9
= ．
13．已知向量 a ，b 为单位向量，且 a b = −
1
2
，向量 c 与𝑎⃗+3𝑏⃗⃗共线，则 | b + c | 的最小值为 ．
14．如图，已知正方体ABCD−ABCD 的棱长为 2，点E,F,G,H分别为
1 1 1 1
棱AA ，AD ，AB ，
1 1 1 1 1
B C1
1
的中点，且点 E , F , G , H 都在球 O 的表面上，
点 P 是球O表面上的动点，当点 P 到平面 A D D
1
A
1
的距离最大时，异面
直线 P E 与GH所成角的余弦值的平方为 ． ．．
四、解答题（本大题共 5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）设 S
n
为数列 a
n
的前 n S 项和，已知 n 是首项为
n(n+1)
1
2
、公差为 1
3
的等差数列．
(1)求 a
n
的通项公式；
(2)令 b
n
=
( 2 n −
S
1
n
) a
n ，求数列 b
n
的前 n 项积 T
n
．
16．（15 分）某面包店的面包师声称自己店里所出售的每个面包的质量均服从期望为 1 0 0 0 g ，
标准差为50g的正态分布．
(1)已知如下结论：若 X ~ N ( , 2 ) ，从X的取值中随机抽取 K（ K N * ，K2）个数据，
2
记这K个数据的平均值为 Y，则随机变量Y ~ N, ,请利用该结论解决问题：假设面
K
包师的说法是真实的，那么从面包店里随机购买 25个面包，记这25个面包质量的平均
值为Y，求P(Y 980)；
{#{QQABRYYUogiAABAAAQhCEwUqCAGQkAAACIoGgAAMMAABiQNABAA=}#}(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其它都一样），已知第一箱中共装有 6个面包，其中
黄色面包有2个；第二箱中共装有 8个面包，其中黄色面包有 3个，现随机挑选一箱，
然后从该箱中随机取出 2个面包，求取出黄色面包个数的分布列及数学期望．
附：随机变量服从正态分布N ( ,2)，则P(−+)=0.6827，
数学试卷第4页 共6页
P ( 2 2 ) 0 .9 5 4 5 − + = ， P ( 3 3 ) 0 .9 9 7 3 − + = ．
17．（15分）如图，在四棱锥 P A B C D − 中，底面是边长为 2的正方形，
且 P B = 6 B C ，点 O , Q 分别为棱 C D , P B 的中点，且 D Q ⊥ 平面 P B C ．
(1)证明： O Q // 平面PAD；
(2)求二面角 P − A D − Q 的大小．
{#{QQABRYYUogiAABAAAQhCEwUqCAGQkAAACIoGgAAMMAABiQNABAA=}#}18．（17分）已知双曲线 C的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点
数学试卷第5页 共6页
P ( 2 , 2 ) 在C上，点P与
C的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为 −
1
2
．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点 A ( 0 ,1 ) 的直线 l1 与双曲线C交于E，F两点(异于点P)，过点F作平行于 x轴的直
线l ，直线PE与l 交于点 D，且
2 2
D F = 2 B F
，求直线 AB的斜率．
{#{QQABRYYUogiAABAAAQhCEwUqCAGQkAAACIoGgAAMMAABiQNABAA=}#}19．（17分）已知
数学试卷第6页 共6页
f ( x ) = a e 2 x − 2 x e x （其中 e = 2 .7 1 8 2 8 为自然对数的底数）．
(1)当 a = 0 时，求曲线y= f (x)在点 ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线方程；
(2)当 a =
1
2
时，判断 f ( x ) 是否存在极值，并说明理由；
(3) x R , f ( x ) +
1
a
0 ，求实数 a 的取值范围．
{#{QQABRYYUogiAABAAAQhCEwUqCAGQkAAACIoGgAAMMAABiQNABAA=}#}
