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渝北中学2023-2024学年(下)高三2月月考质量监测
数学 试题
（全卷共四大题19小题 总分150分 考试时长120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.
3.请按照题号顺序在答题卡相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C．
D．
2．已知直线a，m，n，l，且m，n为异面直线， 平面 ， 平面 ．若l满足 ，
，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．
3．2023年11月30日，重庆市轨道交通新开通6个站点，包括5号线中段忠恕沱、红岩村、
歇台子3 个站点和10号线南湖、万寿路、兰花路3个站点，为广大市民的出行提供了更多
便利．某同学从中随机选择4个站点实地考察周边情况，则在红岩村被 选中的条件下，
10号线不少于2个站点的概率为（ ）
9 7 3 1
A． B． C． D．
10 10 5 10
4．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式： ，其中C为最大数据
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学科网（北京）股份有限公司传输速率，单位为 ；W为信道带宽，单位为 ； 为信噪比.香农公式在5G技术中
发挥着举足轻重的作用.当 ， 时，最大数据传输速率记为 ；当 ，
时，最大数据传输速率记为 ，则 =（ ）
A． B． C．
D．3
5．已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
6．过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则 （
）
A． B． C． D．
7．函数 在 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点 为抛物线 的焦点，过 的直线 与 交于 两点，则 的最
小值为（ ）
A． B．4 C．
D．6
二、多项选择题（本大题共 3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项
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学科网（北京）股份有限公司是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知复数 ， ，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 ， 的定义域为R，且 （ ）， ，
若
为奇函数，则下列说法正确的有（ ）
A． 的图象关于 对称 B． 为奇函数
C． D． 为偶函数
11．已知正项数列 满足 ， ，其中 ，则（
）
A． 为单调递减数列 B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知等差数列 满足 ，前 项和为 ，则 ．
13．已知向量 ， 为单位向量，且 ，向量 与⃗a+3⃗b共线，则 的最小值为
．
14．如图，已知正方体 的棱长为2，点 分别为
棱 ， ， ， 的中点，且点 都在球 的表面上，
点 是球 表面上的动点，当点 到平面 的距离最大时，异面
直线 与 所成角的余弦值的平方为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
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学科网（北京）股份有限公司15．（13分）设 为数列 的前 项和，已知 是首项为 、公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项积 ．
16．（15分）某面包店的面包师声称自己店里所出售的每个面包的质量均服从期望为 ，
标准差为 的正态分布．
(1)已知如下结论：若 ，从X的取值中随机抽取K（ ， ）个数据，
记这K个数据的平均值为Y，则随机变量 请利用该结论解决问题：假设面
包师的说法是真实的，那么从面包店里随机购买25个面包，记这25个面包质量的平均
值为Y，求 ；
(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其它都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中
黄色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黄色面包有3个，现随机挑选一箱，
然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黄色面包个数的分布列及数学期望．
附：随机变量 服从正态分布 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ．
17．（15分）如图，在四棱锥 中，底面是边长为2的正方形，
且 ，点 分别为棱 的中点，且 平面 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的大小．
18．（17分）已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点 在C上，点P
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学科网（北京）股份有限公司与C的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为 ．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点 的直线 与双曲线C交于E，F两点(异于点P)，过点F作平行于x轴的直
线 ，直线PE与 交于点D，且 ，求直线AB的斜率．
19．（17分）已知 （其中 为自然对数的底数）．
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学科网（北京）股份有限公司(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，判断 是否存在极值，并说明理由；
(3) ，求实数 的取值范围．
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