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内蒙古包头市2018年中考数学真题试题
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项
1．（3.00分）计算﹣ ﹣|﹣3|的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5
2．（3.00分）如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的
数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3.00分）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞0 C．x≥1 D．x＞1
4．（3.00分）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．某个数的绝对值大于0
B．某个数的相反数等于它本身
C．任意一个五边形的外角和等于540°
D．长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形
5．（3.00分）如果2xa+1y与x2yb﹣1是同类项，那么 的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
6．（3.00分）一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和方差分别是（ ）
A．4，1 B．4，2 C．5，1 D．5，2
7．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交
BC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2﹣ B．2﹣ C．4﹣ D．4﹣
18．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，
AD=AE．若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为（ ）
A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°
9．（3.00分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程
的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．（3.00分）已知下列命题：
①若a3＞b3，则a2＞b2；
②若点A（x，y）和点B（x，y）在二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象上，且满足x＜x＜1，则y＞
1 1 2 2 1 2 1
y＞﹣2；
2
③在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c；
④周长相等的所有等腰直角三角形全等．
其中真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣ x+1与x轴，y轴分别交于点A和
1
点B，直线l：y=kx（k≠0）与直线l 在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（ ）
2 1
A． B． C． D．2
12．（3.00分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE
与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（ ）
2A． B． C． D．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．
13．（3.00分）若a﹣3b=2，3a﹣b=6，则b﹣a的值为 ．
14．（3.00分）不等式组 的非负整数解有 个．
15．（3.00分）从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率
是 ．
16．（3.00分）化简； ÷（ ﹣1）= ．
17．（3.00分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，
点E在 上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC= 度．
18．（3.00分）如图，在 ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相
▱
交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S =1，则S 的值为 ．
△AEF △ADF
19．（3.00分）以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y= （x＞0）经过点D，则
OB•BE的值为 ．
320．（3.00分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重
合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．
下列结论：
①△ACE≌△BCD；
②若∠BCD=25°，则∠AED=65°；
③DE2=2CF•CA；
④若AB=3 ，AD=2BD，则AF= ．
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共有6小题，共60分．请写出必要的文字说明、计算过程或推理过程
21．（8.00分）某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试，各项成
绩满分均为100分，然后再按笔试占60%、面试占40%计算候选人的综合成绩（满分为100分）．
他们的各项成绩如下表所示：
修造人 笔试成绩/分 面试成绩/分
甲 90 88
乙 84 92
丙 x 90
丁 88 86
（1）直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；
（2）现得知候选人丙的综合成绩为87.6分，求表中x的值；
（3）求出其余三名候选人的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选．
22．（8.00分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=AD，连接BD，点E在AB上，且
4∠BDE=15°，DE=4 ，DC=2 ．
（1）求BE的长；
（2）求四边形DEBC的面积．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
23．（10.00分）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为
2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30
件，销售额增加840元．
（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利
润是多少元？
24．（10.00分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点
D，BA的延长线交⊙A于点E，连接CE，CD，F是⊙A上一点，点F与点C位于BE两侧，且
∠FAB=∠ABC，连接BF．
（1）求证：∠BCD=∠BEC；
（2）若BC=2，BD=1，求CE的长及sin∠ABF的值．
25．（12.00 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，E 是 AD 上的一个动点．
5（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE=DE时，求AE的长；
（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当BE平分
∠ABC时，求BG的长；
（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点
D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1．
①求 的值；
②连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？请说明理由．
26．（12.00分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y= x2+ x﹣2与x轴交于A，B两点
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．
（1）求直线l的解析式；
（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当
OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP=∠BCO﹣
∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项
1．（3.00分）计算﹣ ﹣|﹣3|的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5
【分析】原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式=﹣2﹣3=﹣5，
故选：B．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3.00分）如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的
数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2
列只有前排2个正方形，据此可得．
【解答】解：由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，
第2列只有前排2个正方形，
所以其主视图为：
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．（3.00分）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞0 C．x≥1 D．x＞1
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0且x﹣1≠0，
7解得x＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．（3.00分）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．某个数的绝对值大于0
B．某个数的相反数等于它本身
C．任意一个五边形的外角和等于540°
D．长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形
【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分析得出答案．
【解答】解：A、某个数的绝对值大于0，是随机事件，故此选项错误；
B、某个数的相反数等于它本身，是随机事件，故此选项错误；
C、任意一个五边形的外角和等于540°，是不可能事件，故此选项正确；
D、长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形，是必然事件，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了随机事件以及确定事件，正确把握相关定义是解题关键．
5．（3.00分）如果2xa+1y与x2yb﹣1是同类项，那么 的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出a、b的值，然后代入
求值．
【解答】解：∵2xa+1y与x2yb﹣1是同类项，
∴a+1=2，b﹣1=1，
解得a=1，b=2．
∴ = ．
故选：A．
【点评】此题考查了同类项的知识，属于基础题，掌握同类项所含字母相同，并且相同字母的
8指数也相同，是解答本题的关键．
6．（3.00分）一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和方差分别是（ ）
A．4，1 B．4，2 C．5，1 D．5，2
【分析】根据题目中的数据可以直接写出众数，求出相应的平均数和方差，从而可以解答本题．
【解答】解：数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数是4，
，
则 =2，
故选：B．
【点评】本题考查方差和众数，解答本题的关键是明确众数的定义，会求一组数据的方差．
7．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交
BC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2﹣ B．2﹣ C．4﹣ D．4﹣
【分析】过A作AE⊥BC于E，依据AB=2，∠ABC=30°，即可得出AE= AB=1，再根据公式即可得
到，阴影部分的面积是 ×4×1﹣ =2﹣ ．
【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于E，
∵AB=2，∠ABC=30°，
∴AE= AB=1，
又∵BC=4，
∴阴影部分的面积是 ×4×1﹣ =2﹣ ，
故选：A．
9【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化
为规则图形的面积，常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．
8．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，
AD=AE．若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为（ ）
A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°
【分析】由 AB=AC 知∠B=∠C，据此得 2∠C+∠BAC=180°，结合∠C+∠BAC=145°可知
∠C=35°，根据∠DAE=90°、AD=AE知∠AED=45°，利用∠EDC=∠AED﹣∠C可得答案．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°，
又∵∠C+∠BAC=145°，
∴∠C=35°，
∵∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠AED=45°，
∴∠EDC=∠AED﹣∠C=10°，
故选：D．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和等腰三角形的
性质及三角形的内角和定理、外角的性质．
9．（3.00分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程
的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程的
根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论．
10【解答】解：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根
∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，
∴m≤3．
∵m为正整数，且该方程的根都是整数，
∴m=2或3．
∴2+3=5．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当△≥0时，方程有实数
根”是解题的关键．
10．（3.00分）已知下列命题：
①若a3＞b3，则a2＞b2；
②若点A（x，y）和点B（x，y）在二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象上，且满足x＜x＜1，则y＞
1 1 2 2 1 2 1
y＞﹣2；
2
③在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c；
④周长相等的所有等腰直角三角形全等．
其中真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】依据a，b的符号以及绝对值，即可得到a2＞b2不一定成立；依据二次函数y=x2﹣2x﹣
1图象的顶点坐标以及对称轴的位置，即可得y＞y＞﹣2；依据a∥b，b⊥c，即可得到a∥c；
1 2
依据周长相等的所有等腰直角三角形的边长对应相等，即可得到它们全等．
【解答】解：①若a3＞b3，则a2＞b2不一定成立，故错误；
②若点A（x，y）和点B（x，y）在二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象上，且满足x＜x＜1，则y＞
1 1 2 2 1 2 1
y＞﹣2，故正确；
2
③在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a⊥c，故错误；
④周长相等的所有等腰直角三角形全等，故正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一
般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
11．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣ x+1与x轴，y轴分别交于点A和
1
11点B，直线l：y=kx（k≠0）与直线l 在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（ ）
2 1
A． B． C． D．2
【分析】利用直线l：y=﹣ x+1，即可得到A（2 ，0）B（0，1），AB= =3，过C作
1
CD⊥OA于D，依据CD∥BO，可得OD= AO= ，CD= BO= ，进而得到C（ ， ），代入直
线l：y=kx，可得k= ．
2
【解答】解：直线l：y=﹣ x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=2 ，
1
即A（2 ，0）B（0，1），
∴Rt△AOB中，AB= =3，
如图，过C作CD⊥OA于D，
∵∠BOC=∠BCO，
∴CB=BO=1，AC=2，
∵CD∥BO，
∴OD= AO= ，CD= BO= ，
即C（ ， ），
把C（ ， ）代入直线l：y=kx，可得
2
= k，
即k= ，
故选：B．
12【点评】本题主要考查了两直线相交或平行问题，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相
对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
12．（3.00分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE
与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出
DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．
【解答】解：如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，
∴BD=2 ，
连接DE，
∵∠BDC=90°，点D是BC中点，
∴DE=BE=CE BC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
13∴ ，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2 ，
∴AB=3，
∴ ，
∴ ，
∴DF= BD= ×2 = ，
故选：D．
【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分
线的定义，判断出DE∥是解本题的关键．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．
13．（3.00分）若a﹣3b=2，3a﹣b=6，则b﹣a的值为 ﹣ 2 ．
【分析】将两方程相加可得4a﹣4b=8，再两边都除以2得出a﹣b的值，继而由相反数定义或
等式的性质即可得出答案．
【解答】解：由题意知 ，
①+②，得：4a﹣4b=8，
则a﹣b=2，
∴b﹣a=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握等式的基本性质的灵活运用及
两方程未知数系数与待求代数式间的特点．
14．（3.00分）不等式组 的非负整数解有 4 个．
14【分析】首先正确解不等式组，根据它的解集写出其非负整数解．
【解答】解：解不等式2x+7＞3（x+1），得：x＜4，
解不等式 x﹣ ≤ ，得：x≤8，
则不等式组的解集为x＜4，
所以该不等式组的非负整数解为0、1、2、3这4个，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大
取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．（3.00分）从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率
是 ．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于﹣4小于2的结果数，根据概率公式计
算可得．
【解答】解：列表如下：
﹣2 ﹣1 1 2
﹣2 2 ﹣2 ﹣4
﹣1 2 ﹣1 ﹣2
1 ﹣2 ﹣1 2
2 ﹣4 ﹣2 2
由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于﹣4小于2的有6种结果，
∴积为大于﹣4小于2的概率为 = ，
故答案为： ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识
点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．（3.00分）化简； ÷（ ﹣1）= ﹣ ．
【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得．
15【解答】解：原式= ÷（ ﹣ ）
= ÷
= •
=﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
17．（3.00分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，
点E在 上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC= 11 5 度．
【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案．
【解答】解：
连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=40°，
∴∠COB=∠D+∠DCO=130°，
∴ 的度数是130°，
∴ 的度数是360°﹣130°=230°，
∴∠BEC= =115°，
故答案为：115．
【点评】本题考查了圆周角定理和切线的性质，能根据切线的性质求出∠DCO的度数是解此题
16的关键．
18．（3.00分）如图，在 ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相
▱
交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S =1，则S 的值为 ．
△AEF △ADF
【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a，根据EF∥BC得 =（ ）2= ，结合S =1知
△AEF
S =S = ，再由 = = 知 = ，继而根据S = S 可得答案．
△ADC △ABC △ADF △ADC
【解答】解：∵3AE=2EB，
∴可设AE=2a、BE=3a，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ =（ ）2=（ ）2= ，
∵S =1，
△AEF
∴S = ，
△ABC
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S =S = ，
△ADC △ABC
∵EF∥BC，
∴ = = = ，
∴ = = ，
17∴S = S = × = ，
△ADF △ADC
故答案为： ．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定及性
质、平行线分线段成比例定理及平行四边形的性质．
19．（3.00分）以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y= （x＞0）经过点D，则
OB•BE的值为 3 ．
【分析】由双曲线y= （x＞0）经过点D知S = k= ，由矩形性质知S =2S = ，据此
△ODF △AOB △ODF
可得OA•BE=3，根据OA=OB可得答案．
【解答】解：如图，
∵双曲线y= （x＞0）经过点D，
∴S = k= ，
△ODF
则S =2S = ，即 OA•BE= ，
△AOB △ODF
18∴OA•BE=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴OB•BE=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数系
数k的几何意义及矩形的性质．
20．（3.00分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重
合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．
下列结论：
①△ACE≌△BCD；
②若∠BCD=25°，则∠AED=65°；
③DE2=2CF•CA；
④若AB=3 ，AD=2BD，则AF= ．
其中正确的结论是 ①②③ ．（填写所有正确结论的序号）
【分析】先判断出∠BCD=∠ACE，即可判断出①正确；
先求出∠BDC=110°，进而得出∠AEC=110°，即可判断出②正确；
先判断出∠CAE=∠CEF，进而得出△CEF∽△CAE，即可得出CE2=CF•AC，最后用勾股定理即可
得出③正确；
先求出BC=AC=3，再求出BD= ，进而求出CE=CD= ，求出CF= ，即可判断出④错误．
【解答】解：∵∠ACB=90°，
由旋转知，CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中， ，
19∴△BCD≌△ACE，故①正确；
∵∠ACB=90°，BC=AC，
∴∠B=45°
∵∠BCD=25°，
∴∠BDC=180°﹣45°﹣25°=110°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠AEC=∠BDC=110°，
∵∠DCE=90°，CD=CE，
∴∠CED=45°，
则∠AED=∠AEC﹣∠CED=65°，故②正确；
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠CBD=45°=∠CEF，
∵∠ECF=∠ACE，
∴△CEF∽△CAE，
∴ ，
∴CE2=CF•AC，
在等腰直角三角形CDE中，DE2=2CE2=2CF•AC，故③正确；
如图，过点D作DG⊥BC于G，
∵AB=3 ，
∴AC=BC=3，
∵AD=2BD，
∴BD= AB= ，
∴DG=BG=1，
∴CG=BC﹣BG=3﹣1=2，
在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD= = ，
∵△BCD≌△ACE，
∴CE= ，
20∵CE2=CF•AC，
∴CF= = ，
∴AF=AC﹣CF=3﹣ = ，故④错误，
故答案为：①②③．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形
的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△BCD≌△ACE是解本题的关键．
三、解答题：本大题共有6小题，共60分．请写出必要的文字说明、计算过程或推理过程
21．（8.00分）某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试，各项成
绩满分均为100分，然后再按笔试占60%、面试占40%计算候选人的综合成绩（满分为100分）．
他们的各项成绩如下表所示：
修造人 笔试成绩/分 面试成绩/分
甲 90 88
乙 84 92
丙 x 90
丁 88 86
（1）直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；
（2）现得知候选人丙的综合成绩为87.6分，求表中x的值；
（3）求出其余三名候选人的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选．
【分析】（1）根据中位数的概念计算；
（2）根据题意列出方程，解方程即可；
（3）根据加权平均数的计算公式分别求出余三名候选人的综合成绩，比较即可．
【解答】解：（1）这四名候选人面试成绩的中位数为： =89（分）；
（2）由题意得，x×60%+90×40%=87.6
解得，x=86，
答：表中x的值为86；
21（3）甲候选人的综合成绩为：90×60%+88×40%=89.2（分），
乙候选人的综合成绩为：84×60%+92×40%=87.2（分），
丁候选人的综合成绩为：88×60%+86×40%=87.2（分），
∴以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选是甲和丙．
【点评】本题考查的是中位线、加权平均数，掌握中位数的概念、加权平均数的计算公式是解
题的关键．
22．（8.00分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=AD，连接BD，点E在AB上，且
∠BDE=15°，DE=4 ，DC=2 ．
（1）求BE的长；
（2）求四边形DEBC的面积．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【分析】（1）解直角三角形求出AD、AE即可解决问题；
（2）作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，解直角三角形求出CF，即可解决问题；
【解答】解：（1）在四边形ABCD中，∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BDE=15°，
∴∠ADE=30°，
在Rt△ADE中，AE=DE×sin30=2 ，AD=DE•cos30°=6，
∴AB=AD=6，
∴BE=6﹣2 ．
（2）作DF⊥BC于F．则四边形ABFD是矩形，
22∴BF=AD=6，DF=AB=6，
在Rt△DFC中，FC= =4 ，
∴BC=6+4 ，
∴S =S +S = ×（6﹣2 ）×6+ （6+4 ）×6=36+6 ．
四边形DEBC △DEB △BCD
【点评】本题考查矩形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用
辅助线，构造直角三角形解决问题．
23．（10.00分）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为
2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30
件，销售额增加840元．
（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利
润是多少元？
【分析】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，根
据数量=总价÷单价结合4月份比3月份多销售30件，即可得出关于x的分式方程，解之经
检验即可得出结论；
（2）设该商品的进价为y元，根据销售利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元
一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润=每件的利润×销售数量，即可
求出结论．
【解答】解：（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，
根据题意得： = ﹣30，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解．
答：该商店3月份这种商品的售价是40元．
（2）设该商品的进价为y元，
23根据题意得：（40﹣a）× =900，
解得：a=25，
∴（40×0.9﹣25）× =990（元）．
答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24．（10.00分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点
D，BA的延长线交⊙A于点E，连接CE，CD，F是⊙A上一点，点F与点C位于BE两侧，且
∠FAB=∠ABC，连接BF．
（1）求证：∠BCD=∠BEC；
（2）若BC=2，BD=1，求CE的长及sin∠ABF的值．
【分析】（1）先利用等角的余角相等即可得出结论；
（2）先判断出△BDC∽△BCE得出比例式求出BE=4，DE=3，利用勾股定理求出CD，CE，再判断
出△AFM∽△BAC，进而判断出四边形FNCA是矩形，求出FN，NC，即：BN，再用勾股定理求出
BF，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵DE是⊙A的直径，
∴∠DCE=90°，
∴∠BEC+∠CDE=90°，
∵AD=AC，
∴∠CDE=∠ACD，
∴∠BCD=∠BEC，
（2）∵∠BCD=∠BEC，∠EBC=∠EBC，
24∴△BDC∽△BCE，
∴ ，
∵BC=2，BD=1，
∴BE=4，EC=2CD，
∴DE=BE﹣BD=3，
在Rt△DCE中，DE2=CD2+CE2=9，
∴CD= ，CE= ，
过点F作FM⊥AB于M，
∵∠FAB=∠ABC，∠FMA=∠ACB=90°，
∴△AFM∽△BAC，
∴ ，
∵DE=3，
∴AD=AF=AC= ，AB= ，
∴FM= ，
过点F作FN⊥BC于N，
∴∠FNC=90°，
∵∠FAB=∠ABC，
∴FA∥BC，
∴∠FAC=∠ACB=90°，
∴四边形FNCA是矩形，
∴FN=AC= ，NC=AF= ，
∴BN= ，
在Rt△FBN中，BF= ，
在Rt△FBM中，sin∠ABF= ．
25【点评】此题主要考查了圆的有关性质，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定
理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．
25．（12.00 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，E 是 AD 上的一个动点．
（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE=DE时，求AE的长；
（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当BE平分
∠ABC时，求BG的长；
（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点
D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1．
①求 的值；
②连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？请说明理由．
【分析】（1）先求出BD，进而求出OD=OB=OA，再判断出△ODE∽△ADO，即可得出结论；
（2）先判断出△AEF≌△DCE，进而求出BF=1，再判断出△CHG∽△CBF，进而求出BK=GK= ，最
后用勾股定理即可得出结论；
（3）①先求出EC=5，再求出D'C=1，根据勾股定理求出DH= ，CH= ，再判断出△EMN∽△EHD，
的粗 ，△ED'M∽△ECH，得出 ，进而得出 ，即可得出结论；
26②先判断出∠MD'H=∠NED'，进而判断出∠MD'H=∠ECB，即可得出 ，即可．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，在矩形ABCD中，CD=AB=3，AD=BC=5，∠BAD=90°
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD= ，
∵O是BD中点，
∴OD=OB=OA= ，
∴∠OAD=∠ODA，
∵OE=DE，
∴∠EOD=∠ODE，
∴∠EOD=∠ODE=∠OAD，
∴△ODE∽△ADO，
∴ ，∴
DO2=DE•DA，
∴设AE=x，
∴DE=5﹣x，
∴（ ）2=5（5﹣x），
∴x= ，
即：AE= ；
（2）如图2，在矩形ABCD中，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴AE=CD=3，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
27∴∠AEF+∠CED=90°，
∵∠A=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠CED=∠AFE，
∵∠D=∠A=90°，
∴△AEF≌△DCE，
∴AF=DE=2，
∴BF=AB﹣AF=1，
过点G作GK⊥BC于K，
∴∠EBC=∠BGK=45°，
∴BK=GK，∠ABC=∠GKC=90°，
∵∠KCG=∠BCF，
∴△CHG∽△CBF，
∴ ，
设BK=GK=y，
∴CK=5﹣y，
∴y= ，
∴BK=GK= ，
在Rt△GKB中，BG= ；
（3）①在矩形ABCD中，∠D=90°，
∵AE=1，AD=5，
∴DE=4，
∵DC=3，
∴EC=5，
由折叠知，ED'=ED=4，D'H=DH，∠ED'H=∠D=90°，
∴D'C=1，
设D'H=DH=z，
∴HC=3﹣z，
28根据勾股定理得，（3﹣z）2=1+z2，
∴z= ，
∴DH= ，CH= ，
∵D'N⊥AD，
∴∠AND'=∠D=90°，
∴D'N∥DC，
∴△EMN∽△EHD，
∴ ，
∵D'N∥DC，
∴∠ED'M=∠ECH，
∵∠MED'=∠HEC，
∴△ED'M∽△ECH，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②相似，理由：由折叠知，∠EHD'=∠EHD，∠ED'H=∠D=90°，
∴∠MD'H+∠ED'N=90°，
∵∠END'=90°，
∴∠ED'N+∠NED'=90°，
∴∠MD'H=∠NED'，
∵D'N∥DC，
∴∠EHD=∠D'MH，
∴∠EHD'=∠D'MH，
∴D'M=D'H，
29∵AD∥BC，
∴∠NED'=∠ECB，
∴∠MD'H=∠ECB，
∵CE=CB=5，
∴ ，
∴△D'MH∽△CBE．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，
角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键．
26．（12.00分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y= x2+ x﹣2与x轴交于A，B两点
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．
（1）求直线l的解析式；
（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当
OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP=∠BCO﹣
∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
30【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标，从而可以求得直线l的函
数解析式；
（2）根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题；
（3）根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB，然后根据题目
中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题．
【解答】解：（1）∵抛物线y= x2+ x﹣2，
∴当y=0时，得x=1，x=﹣4，当x=0时，y=﹣2，
1 2
∵抛物线y= x2+ x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴点A的坐标为（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），
∵直线l经过A，C两点，设直线l的函数解析式为y=kx+b，
，得 ，
即直线l的函数解析式为y= ；
（2）直线ED与x轴交于点F，如右图1所示，
由（1）可得，
AO=4，OC=2，∠AOC=90°，
∴AC=2 ，
∴OD= ，
∵OD⊥AC，OA⊥OC，∠OAD=∠CAO，
∴△AOD∽△ACO，
∴ ，
即 ，得AD= ，
∵EF⊥x轴，∠ADC=90°，
∴EF∥OC，
∴△ADF∽△ACO，
∴ ，
31解得，AF= ，DF= ，
∴OF=4﹣ = ，
∴m=﹣ ，
当m=﹣ 时，y= ×（ ）2+ ×（﹣ ）﹣2=﹣ ，
∴EF= ，
∴DE=EF﹣FD= ；
（3）存在点P，使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，
理由：作GM⊥AC于点M，作PN⊥x轴于点N，如右图2所示，
∵点A（﹣4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），
∴OA=4，OB=1，OC=2，
∴tan∠OAC= ，tan∠OCB= ，AC=2 ，
∴∠OAC=∠OCB，
∵∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，∠GAM=∠OAC﹣∠BAG，
∴∠BAP=∠GAM，
∵点G（0，﹣1），AC=2 ，OA=4，
∴OG=1，GC=1，
∴AG= ， ，即 ，
解得，GM= ，
∴AM= = = ，
∴tan∠GAM= = ，
∴tan∠PAN= ，
32设点P的坐标为（n， n2+ n﹣2），
∴AN=4+n，PN= n2+ n﹣2，
∴ ，
解得，n= ，n=﹣4（舍去），
1 2
当n= 时， n2+ n﹣2= ，
∴点P的坐标为（ ， ），
即存在点P（ ， ），使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG．
【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出
所求问题需要的条件，利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的性质解答．
33
