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2022 年广西桂林市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符
合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（3分）在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义相反．若把向东走2km记
做“+2km”，那么向西走1km应记做（ ）
A．﹣2km B．﹣1km C．1km D．+2km
2．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3 B． C．0 D．﹣3
3．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
4．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．圆
C.正五边形 D．扇形
5．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．了解全国中学生的睡眠时间
B．了解某河流的水质情况
C．调查全班同学的视力情况
第1页（共22页）
学科网（北京）股份有限公司D．了解一批灯泡的使用寿命
6．（3分）2022年6月5日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号 F运载
火箭成功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨．据报道，长征二号 F运载火箭的重量大约
是500000kg．将数据500000用科学记数法表示，结果是（ ）
A．5×105 B．5×106 C．0.5×105 D．0.5×106
7．（3分）把不等式x﹣1＜2的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）化简 的结果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
9．（3分）桂林作为国际旅游名城，每年吸引着大量游客前来观光．现有一批游客分别乘坐
甲乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲大巴因故停留一段时间
后继续驶向景点，乙大巴全程匀速驶向景点．两辆大巴的行程 s（km）随时间t（h）变化
的图象（全程）如图所示．依据图中信息，下列说法错误的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．甲大巴比乙大巴先到达景点
B．甲大巴中途停留了0.5h
C．甲大巴停留后用1.5h追上乙大巴
D．甲大巴停留前的平均速度是60km/h
10．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是（
）
A． B．1+ C．2 D．2+
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上）
11．（3分）如图，直线l ，l 相交于点O，∠1＝70°，则∠2＝ °．
1 2
12．（3分）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ cm．
13．（3分）因式分解：a2+3a＝ ．
14．（3 分）当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊
（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币 24000次，正面朝上的次数是 12012次，频率约为
0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 ．
15．（3分）如图，点A在反比例函数y＝ 的图象上，且点A的横坐标为a（a＜0），AB⊥y
轴于点B，若△AOB的面积是3，则k的值是 ．
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学科网（北京）股份有限公司第15题图 第16题图
16．（3分）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．
已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP
是 米．
三、解答题（本大题共9题，共72分，请将解答过程写在答题卡上）
17．（4分）计算：（﹣2）×0+5．
18．（6分）计算：tan45°﹣3﹣1．
19．（6分）解二元一次方程组： ．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是
A（2，3），B（1，0），C（0，3）．
（1）画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；
（2）画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；
（3）所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）
第4页（共22页）
学科网（北京）股份有限公司21．（8分）如图，在 ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．
（1）求证：BE＝DF；
▱
（2）求证：△ABE≌△CDF．
22．（9分）某校将举办的“壮乡三月三”民族运动会中共有四个项目：A跳长绳，B抛绣球，
C拔河，D跳竹竿舞．该校学生会围绕“你最喜欢的项目是什么？”在全校学生中进行随
机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整
的统计图表：
项目 内容 百分比
A 跳长绳 25%
B 抛绣球 35%
C 拔河 30%
D 跳竹竿 a
舞
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ；
（2）本次调查的学生总人数是多少？
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）李红同学准备从抛绣球和跳竹竿舞两个项目中选择一项参加，但她拿不定主意，请
你结合调查统计结果给她一些合理化建议进行选择．
23．（9分）今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍
为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多 10元，用
500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．
第5页（共22页）
学科网（北京）股份有限公司（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，
请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
24．（10分）如图，AB是 O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交 O于
点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．
⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；
⊙
（3）在（2）的条件下，求 的值．
25．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），
与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的
上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）求CP+PQ+QB的最小值；
（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．
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学科网（北京）股份有限公司第7页（共22页）
学科网（北京）股份有限公司2022 年广西桂林市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符
合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．【考点】正数和负数．菁优网版权所有
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：若把向东走2km记做“+2km”，那么向西走1km应记做﹣1km．
故选：B．
【点评】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．
2．【考点】绝对值．菁优网版权所有
【分析】利用绝对值的意义解答即可．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，正确利用绝对值的意义是解题的关键．
3．【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据平行线的性质可以得到∠1＝∠2，然后根据∠1的度数，即可得到∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确两直线平行，同位角相等．
4．【考点】中心对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转
180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这
个点叫做对称中心．
【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原
图形完全重合，所以不是中心对称图形，
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学科网（北京）股份有限公司选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180度后和原图形完全重合，所以是中
心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转
180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
5．【考点】全面调查与抽样调查．菁优网版权所有
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查
得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A．了解全国中学生的睡眠时间，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
B．了解某河流的水质情况，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
C．调查全班同学的视力情况，适合进行全面调查，故本选项符合题意；
D．了解一批灯泡的使用寿命，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考
查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意
义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普
查．
6．【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值
时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：数据500000用科学记数法表示为5×105．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【分析】先移项，合并同类项，把不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：移项得，x＜1+2，
得，x＜3．
在数轴上表示为：
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学科网（北京）股份有限公司故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等
式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．
8．【考点】算术平方根．菁优网版权所有
【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2
．
【解答】解： ＝2 ，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行
化简．
9．【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本
题．
【解答】解：由图象可得，
甲大巴比乙大巴先到达景点，故选项A正确，不符合题意；
甲大巴中途停留了1﹣0.5＝0.5（h），故选项B正确，不符合题意；
甲大巴停留后用1.5﹣1＝0.5h追上乙大巴，故选项C错误，符合题意；
甲大巴停留前的平均速度是30÷0.5＝60（km/h），故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．
10．【考点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】如图，过点 A 作 AD⊥AC 于 A，交 BC 于 D，过点 A 作 AE⊥BC 于 E，先证明
△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝ AC＝2 ，再证明AD
＝BD，计算AE和BC的长，根据三角形的面积公式可解答．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，
第10页（共22页）
学科网（北京）股份有限公司∵∠C＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝ AC＝2 ，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，
∴∠DAB＝22.5°，
∴∠B＝∠DAB，
∴AD＝BD＝2，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴AE＝ CD＝ ，
∴△ABC的面积＝ •BC•AE＝ × ×（2+2 ）＝2+ ．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰
三角形的性质是解本题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上）
11．【考点】对顶角、邻补角．菁优网版权所有
【分析】根据对顶角的性质解答即可．
【解答】解：∵∠1和∠2是一对顶角，
∴∠2＝∠1＝70°．
故答案为：70．
【点评】本题主要考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解答本题的关键．
12．【考点】两点间的距离．菁优网版权所有
【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．
【解答】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，
第11页（共22页）
学科网（北京）股份有限公司故答案为：4．
【点评】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．
13．【考点】因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【分析】直接提取公因式a，进而得出答案．
【解答】解：a2+3a＝a（a+3）．
故答案为：a（a+3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
14．【考点】利用频率估计概率；数学常识．菁优网版权所有
【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可．
【解答】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右，
∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5．
故答案为：0.5．
【点评】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以
表示概率是解答本题的关键．
15．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权
所有
【分析】根据题意和反比例函数的性质，可以得到k的值．
【解答】解：设点A的坐标为（a， ），
∵△AOB的面积是3，
∴ ＝3，
解得k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答
本题的关键是找出k与三角形面积的关系．
16．【考点】解直角三角形的应用；勾股定理；切线的性质．菁优网版权所有
【分析】先证OB是 F的切线，切点为E，当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，
由直角三角形的性质可求解．
⊙
【解答】解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作 F，
第12页（共22页） ⊙
学科网（北京）股份有限公司∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点，
∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，
∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，
∴EF＝20m，OE＝ EF＝20 m，
∴EF＝MF，
又∵EF⊥OB，
∴OB是 F的切线，切点为E，
∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，
⊙
此时OP＝20 m，
故答案为：20 ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，切线的判定，直角三角形的性质，证明 OB是
F的切线是解题的关键．
三、解答题（本大题共9题，共72分，请将解答过程写在答题卡上）
⊙
17．【考点】有理数的混合运算．菁优网版权所有
【分析】根据有理数的混合运算顺序，先计算乘法，再计算加法即可．
【解答】解：（﹣2）×0+5
＝0+5
＝5．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
18．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的计算方法分别化简，再计算即可．
【解答】解：原式＝1﹣
＝ ．
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学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查实数的运算，掌握特殊角的三角函数值和负整数指数幂的计算方法是解
题关键．
19．【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
【分析】利用加减消元法可解答．
【解答】解：①+②得：2x＝4，
∴x＝2，
把x＝2代入①得：2﹣y＝1，
∴y＝1，
∴原方程组的解为： ．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题
的关键．
20．【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换．菁优网版权所有
【分析】（1）根据要求直接平移即可；
（2）在第四象限画出关于x轴对称的图形；
（3）观察图形可得结论．
【解答】解：（1）如图1，
（2）如图2，
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学科网（北京）股份有限公司（3）图1是W，图2是X．
【点评】本题考查了轴对称的性质和平移，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐
标的特征并能灵活运用．
21．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定．菁优网版权所有
【分析】（1）根据BF﹣EF＝DE﹣EF证得结论；
（2）利用全等三角形的判定定理SAS证得结论．
【解答】证明：（1）∵BF＝DE，BF﹣EF＝DE﹣EF，
∴BE＝DF；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，且AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
．
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
【点评】本题综合考查全等三角形的判定和平行四边形的有关知识．全等三角形的 5种判
定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们
的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹
第15页（共22页）
学科网（北京）股份有限公司边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
22．【考点】条形统计图；调查收集数据的过程与方法；统计表．菁优网版权所有
【分析】（1）用1分别减去A、C、D类的百分比即可得到a的值；
（2）用A类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数；
（3）用35%乘以总人数得到B类人数，再补全条形统计图画树状图；
（4）根据选择两个项目的人数得出答案．
【解答】解：（1）a＝1﹣35%﹣25%﹣30%＝10%，
故答案为：10%；
（2）25÷25%＝100（人），
答：本次调查的学生总人数是100人；
（3）B类学生人数：100×35%＝35，
（4）建议选择跳竹竿舞，因为选择跳竹竿舞的人数比较少，得名次的可能性大．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息
是解决问题的关键．
23．【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，由题意列
，解分式方程并检验即可得出答案；
（2）分别计算甲、乙商店的费用，比较即可得出答案．
【解答】解：（1）设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，
由题意可得： ，
第16页（共22页）
学科网（北京）股份有限公司解得：x＝40，
经检验，x＝40是该分式方程的解，并符合题意，
∴x+10＝50，
∴甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元．
（2）该参赛队伍准备租用20套服装时，
甲商店的费用为：50×20×0.9＝900（元），
乙商店的费用为：40×20＝800（元），
∵900＞800，
∴乙商店租用服装的费用较少．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解决问题的关键．
24．【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）如图1，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，由角平分
线的定义得到∠DAC＝∠OAC，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的判定定理得
到AD∥OC，由平行线的性质即可得到结论；
（2）设BE＝x，则AB＝3x，根据平行线的性质得∠COE＝∠DAB，由三角函数定义可得
结论；
（3）证明△AHF∽△ACE，列比例式可解答．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
第17页（共22页）
学科网（北京）股份有限公司∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是 O的半径，
∴CD是 O的切线；
⊙
（2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB，
⊙
设BE＝x，则AB＝3x，
∴OC＝OB＝1.5x，
∵AD∥OC，
∴∠COE＝∠DAB，
∴cos∠DAB＝cos∠COE＝ ＝ ＝ ；
（3）解：由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，
∴EC＝ ＝ ＝2x，
∵FG⊥AB，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFG+∠FAG＝90°，
∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB，
∴∠E＝∠AFH，
∵∠FAH＝∠CAE，
∴△AHF∽△ACE，
∴ ＝ ＝ ＝ ．
【点评】此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质，三
角形相似的性质和判定，切线的判定，三角函数定义以及等腰三角形的判定与性质等知识．
掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定是解本题的关键，此题难度适中，是一道不错
的中考题目．
25．【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，可知
四边形CC'QP是平行四边形，及得 CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，而B，Q，C'共
第18页（共22页）
学科网（北京）股份有限公司线，故此时 CP+PQ+BQ 最小，最小值为 BC'+PQ 的值，由勾股定理可得 BC'＝5，即得
CP+PQ+BQ最小值为6；
（3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝ ，设Q（ ，t），则Q（ ，
t+1），M（0，t+1），N（ ，0），知BN＝ ，QN＝t，PM＝ ，CM＝|t﹣3|，①当
＝ 时， ＝ ，可解得Q（ ， ）或（ ， ）；②当 ＝ 时， ＝
，得Q（ ， ）．
【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，如图：
∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，
∴四边形CC'QP是平行四边形，
∴CP＝C'Q，
∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，
∵B，Q，C'共线，
∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，
∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，
∴C'（0，3），
第19页（共22页）
学科网（北京）股份有限公司∵B（4，0），
∴BC'＝ ＝5，
∴BC'+PQ＝5+1＝6，
∴CP+PQ+BQ最小值为6；
（3）如图：
由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝ ，
设Q（ ，t），则Q（ ，t+1），M（0，t+1），N（ ，0），
∵B（4，0），C（0，4）；
∴BN＝ ，QN＝t，PM＝ ，CM＝|t﹣3|，
∵∠CMP＝∠QNB＝90°，
∴△CPM和△QBN相似，只需 ＝ 或 ＝ ，
①当 ＝ 时， ＝ ，
解得t＝ 或t＝ ，
∴Q（ ， ）或（ ， ）；
②当 ＝ 时， ＝ ，
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学科网（北京）股份有限公司解得t＝ 或t＝ （舍去），
∴Q（ ， ），
综上所述，Q的坐标是（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，线段和的最小
值，相似三角形的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
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