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2024 届高三下学期开学摸底考
全解全析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．若全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知：集合 ， ，
所以 ，所以 ，故B正确.故选：B.
2．若复数 ，其中 ，则复数 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因为 ，实部为 ，虚部为 ，
因为 ，所以 ， ，
所以复数 在复平面内对应的点为 位于第四象限.故选：D
3．在等比数列 中， 成等差数列，则 （ ）
A．3 B． C．9 D．
【答案】C
【解析】设 的公比为 ，则由题意可知 或 ，
显然 时， ，无意义舍去；
所以 .故选：C
4．放射性物质的半衰期 的定义为：每经过时间 ，该物质的质量会衰减成原来的一半．由此可知，
，其中 为初始时物质的质量， 为经过的时间， 为半衰期， 为经过时间 后物质的质量．
若某铅制容器中有 ， 两种放射性物质，半衰期分别为 ， ，开始时这两种物质的质量相等，100天
后测量发现物质 的质量为物质 的质量的四分之一，则 （ ）
A． B． C．50 D．25
1
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】A
【解析】设开始时 ， 两种物质的质量均为1， 天后 ， 两种物质的质量分别为 ， ，
则 ， ，于是100天后有 ， ，
由 ，得 ，即 ，
于是 ，所以 .故选：A
5．过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 ， 两点，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】将 ， 两点分别代入抛物线方程，
可得 ，解得 ，则 ，
，解得 ，则 ，
又抛物线 的焦点 ，
由题意可得， 三点共线，则 ，即 ，解得 .故选：D
6．已知向量 ， ，则向量 与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵向量 ， ，∴ ，
∴ ， ，
∴向量 与 夹角的余弦值为 .故选：A．
7．已知体积为 的正四棱锥 的所有顶点均在球 的球面上，则球 的表面积的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则体积 ，所以 ，
设球 的半径为 ，则 ，即 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以球 的表面积的最小值为 .故选：B.
8．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 恒成立，所以 在 单调递增，
所以当 时， ，即 ；
令 ，则 恒成立，所以 在 单调递增，
所以当 时， ，即 ；
由诱导公式得 ，所以 ，因此 ；
因为 ， ，故只需比较 与 的大小，
由二项式定理得， ，所以 ．
综上， .故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知 ， 都是正数，且 ，则下列说法正确的是（ ）．
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为 D． 的最大值为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】ABD
【解析】对A： 可得 ，
当且仅当 ，即 ， 时成立，故A选项正确；
对B：由 ，得 ，
所以 ，故 ，
当且仅当 时成立，故B选项正确；
对C： ，由A知 ，所以 ，
仅当 ，即 ， 时成立，故C选项错误；
对D：由A知 ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时成立，故D选项正确．故选：ABD．
10．已知由样本数据 （ ）组成的一个样本，得到经验回归方程为 且 ，
去除两个异常数据 和 后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则（ ）
A．相关变量 ， 具有正相关关系
B．去除异常数据后，新的平均数
C．去除异常数据后的经验回归方程为
D．去除异常数据后，随 值增加， 的值增加速度变小
【答案】AC
【解析】A选项，因为回归方程的斜率为正，所以相关变量 ， 具有正相关关系，所以A正确；
B选项，因为 ，所以去除两个异常数据 和 后，
得到新的 ，所以B错误；
C选项，由 代入 得 ，
故去除两个异常数据 和 后， ，
因为得到的新的经验回归直线的斜率为3，所以 ，
所以去除异常数据后的经验回归方程为 ，故C正确；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D选项，因为经验回归直线 的斜率为正数，所以变量 ， 具有正相关关系，
且去除异常数据后，斜率由 增大到3，故 值增加的速度变大，D错误.故选：AC．
11．已知圆锥 （ 是底面圆的圆心， 是圆锥的顶点）的母线长为 ，高为 .若 、 为底面圆周上
任意两点，则下列结论正确的是（ ）
A．三角形 面积的最大值为
B．三棱锥 体积的最大值
C．四面体 外接球表面积最小值为
D．直线 与平面 所成角余弦值最小值为
【答案】ABD
【解析】选项A，由母线长为 ，高为 ，可得底面半径为 ，
设 是底面圆的一条直径，则 ，即 是钝角，
又 ，
则存在点 、 ，当 时， ，三角形 面积的最大值为 ，故A正确；
选项B，因为 ，
则当 面 时， ，故B正确；
选项C，设 的外接圆半径为 ，因为 与底面垂直，
所以，四面体 外接球半径 满足 ，
若外接球表面积的最小，即外接球的半径 最小，
又 ，即在底面圆中， 的外接圆半径 最小，
由正弦定理 ， ，则 无最大值，
的外接圆半径无最小值，即四面体 外接球表面积无最小值，故C错误；
选项D，设点 到平面 的距离为 ，直线SP与平面 所成角 的正弦值为 ，
则当 面 时， ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司此时直线 与平面 所成角的余弦值最小，最小值为 ，故D正确；故选：ABD.
12．已知双曲线 的离心率为 ， ， 是双曲线 的两个焦点，经过点 直
线 垂直于双曲线 的一条渐近线，直线 与双曲线 交于 ， 两点，若 的面积为 ，则
（ ）
A．双曲线 的渐近线方程为 B．双曲线 的实轴长为
C．线段 的长为 D． 是直角三角形
【答案】BCD
【解析】∵ ，∴ ，即： ， ，∴渐近线方程为 ，故A错误；
经过点 直线 垂直于双曲线 的一条渐近线，
不妨设直线 的斜率为 ，设直线 的方程为 ，
，消去x得 ，
则 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，
解得 ，即： ，故双曲线C的实轴长为6，故B正确；
因为 ， ，
所以 8，故C正确；
因为 ， ， ，
所以双曲线方程为 ，直线 的方程为 ，
6
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，消去x得 ，
则 或 ，又
， ，
此时 ，所以 ，所以 是直角三角形，故D正确，故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知 的二项式系数和为256，则展开式中含 项的系数为 ．
【答案】112
【解析】因为二项式系数和为256，所以 ，即 ，所以 ，
令 ，则 ，所以展开式中含 项的系数为112.
14．已知 ， ，则 .
【答案】0
【解析】易知 ，
因为 ，
若 ，显然 ，上式恒成立，
若 ，则 ，
所以 ，无解，
综上可知 .
15．已知圆 与圆 有3条公切线，则 的值为 ．
【答案】
【解析】由题可得，圆 ，圆心为 ，半径为2；
圆 ，圆心为 ，半径为1．
因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，
故圆心距 ，解得 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司16．设函数 ，若不等式 有且只有三个整数解，则实数 的取值范围
是 .
【答案】
【解析】由函数 ，若不等式 ，即 ，
因为 ，可化为 ，令 ，可得 ，
令 ，可得 ，所以 在R上单调递增，
又由 ，所以存在唯一的 使得 ，
当 时， ，可得 ，所以 单调递减，
当 时， ，可得 ，所以 单调递增，且 ，
又因为 ，
所以当原不等式有且仅有三个整数解时，有 ，解得 ，
即实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
记 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ， ．
（1）求 ；
（2）若D是边 上一点， ，且 ，求 的面积，
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由 ，得 ，
将 代入得， ，
化简得 ，即 ，
则 ；
（2）由（1）知 ，则 ，
则在 中，由 ，解得 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ，解得 ，则 ，
故 的面积 .
18．（12分）
已知数列 是数列 的前 项和，已知对于任意 ，都有 ，数列 是等差
数列， ，且 成等比数列.
（1）求数列 和 的通项公式.
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
（3）记 ，求 .
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【解析】（1）当 时， ，解得 .
当 时， ，
所以 ，
即 是以首先 ，公比为 的等比数列，即 .
因为 ， 成等比数列，
所以 ，
即 ，解得 .
所以 .
（2）由（1）得
，
则
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3） ，
因为 ，
设 ，前 项和为 ，
则 ，
，
.
所以
19．（12分）
如图，在多面体 中，四边形 是矩形， ， 平面 ， 为 的中点，
， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，
因为四边形 为矩形，则 为 的中点，
又 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为 ，所以 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司又 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
以A为坐标原点，以 ， ， 所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系 ，如图所示，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则
令 ，解得 ， ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则
令 ，解得 ， ，所以 ．
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
故平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
20．（12分）
直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定
逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：
月份 1 2 3 4 5
70
带货金额 /万元 350 440 580 880
0
（1）求变量 ， 之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：
参加过直播带货 未参加过直播带货 总计
女
25 30
性
男
10
性
总
计
请填写上表，并判断是否有90%的把握认为参加直播带货与性别有关．
参考数据： ， ， ， ， ．
参考公式：线性回归方程的斜率 ，截距 ．
附： ，其中 ．
0.15 0.10 0.05 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
【答案】（1） ；预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元
（2）列联表见解析，参加直播带货与性别有关
【解析】（1）因为 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以变量 ， 之间的线性回归方程为 ，
当 时， （万元）．
所以预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元．
（2）补全完整的列联表如下．
参加过直播带货 未参加过直播带货 总计
女
25 5 30
性
男 15 10 25
12
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司性
总
40 15 55
计
零假设 ：参加直播带货与性别无关，
根据以上数据，经计算得到 ，
根据小概率值 的独立性检验我们推断 不成立，
即有90%的把握认为参加直播带货与性别有关.
21．（12分）
在椭圆 ： （ ）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆 ： 上，称此
圆为椭圆的蒙日圆．椭圆 过 ，
（1）求椭圆 的方程；
（2）过椭圆 的蒙日圆上一点 ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点 ，若 ， 存在．证
明： 为定值．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）将 ， ，代入到 ，
可得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为： ．
（2）由题意可知，蒙日圆方程为： ．
（i）若直线 斜率不存在，则直线 的方程为： 或 ．
不妨取 ，代入 中，则 ，
不妨取 ， ，
， ，∴ ．
（ii）若直线 斜率存在，设直线 的方程为： ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司联立 ，化简整理得： ，
据题意有 ，于是有： ，
设 （ ）， （ ），
联立 ，化简整理得： ，
，
， ，
则
，
∵ ，所以 ．
综上可知， 为定值 .
22．（12分）
已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若 且 ，求证： ．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意得函数定义域为 ，
当 时， ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则令 ，得 ，故 在 上单调递增；
令 ，得 ，故 在 上单调递减；
当 时， ，
则当 时， ，故 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ，则当 时， ，
故 在 上均单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ，等号仅在 时取到， 在 上单调递增；
当 时， ，则当 时， ，
故 在 上均单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上均单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上均单调递增，在 上单调递减；
（2）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， 为函数的最大值点；
若 且 ，不妨设 ，则可得 ，
要证明 ，只需证 ，此时 ，
故只需证 ，即证 ；
令 ，而 ，
15
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则
，
因为 ，
所以 恒成立，故 在 上单调递减，
故 ，
即 ，即 ，故 得证.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
