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2022 年衡阳市初中学业水平考试试卷
数 学
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符
合题目要求的.）
1. －2的绝对值是（ ）
A. －2 B. 2 C. D.
2. 石鼓广场供游客休息的石板凳如下图所示，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. 可回收物 B. 其他垃圾 C. 有害垃圾 D. 厨余垃圾
4. 为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗.截止至2022年5月底，我
国疫苗接种高达339000万剂次，数据339000万用科学记数法可表示为 的形式，则
的值是（ ）
A. 0.339 B. 3.39 C. 33.9 D. 339
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列说法正确的是（ ）
A. “任意画一个三角形，其内角和为 ”是必然事件
B. 调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式
C. 抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确
D. 十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄
学科网（北京）股份有限公司灯的概率是
7. 如果二次根式 有意义，那么实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育
纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉
鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，
42，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 38，39 B. 35，38 C. 42，39 D. 42，35
9. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形
11. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下
部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为 的雷锋雕像，
那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到 .参考数据： ，
， ）
A. B. C. D.
12. 如图，在四边形 中， ， ， ， 平分 .设
， ，则 关于 的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.）
13. 因式分解： _________.
14. 计算： _________.
15. 计算： _________.
16. 如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧
相交于点 和点 ，作直线 交 于点 ，连接 .若 ， ，则
的周长为_________.
17. 如图，用一个半径为 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了 ，假设绳索粗细不
计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________ .（结果保留 ）
学科网（北京）股份有限公司18. 回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首.王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻
常到此回”.峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽.某课外实践小组为测量
大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图， ， ，
.已知测角仪 的高度为 ，则大雁雕塑 的高度约为_________ .
（结果精确到 .参考数据： ）
三、解答题（本大题共8个小题，19~20题每题6分，21~24题每题8分，25题10分，26
题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.（本小题满分6分）
先化简，再求值. ，其中 ， .
20.（本小题满分6分）
如图，在 中， ， 、 是 边上的点，且 ，求证：
.
21.（本小题满分8分）
为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟
开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，
现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
学科网（北京）股份有限公司根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是_________人，补全统计图①（要求在条形图上方注
明人数）；
（2）图②中扇形 的圆心角度数为_________度；
（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数
是多少；
（4）计划在 ， ， ， ， 五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画
树状图的方法，求恰好选中 ， 这两项活动的概率.
22.（本题满分8分）
冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、
冬残奥会的吉样物.冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国.小雅在某网店选中两种
玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融
玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩
偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元.
（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的
1.5倍.小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润
是多少元？
23.（本小题满分8分）
如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象相交于 ，
两点.
学科网（北京）股份有限公司（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线 交 轴于点 ，点 ， 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边
形 是平行四边形，求点 的坐标.
24.（本小题8分）
如图， 为 的直径，过圆上一点 作 的切线 交 的延长线与点 ，过点
作 交 于点 ，连接 .
（1）直线 与 相切吗？并说明理由；
（2）若 ， ，求 的长.
25.（本小题10分）
如图，已知抛物线 交 轴于 、 两点，将该抛物线位于 轴下方的部分沿
轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象 ”，图象 交 轴于点 .
（1）写出图象 位于线段 上方部分对应的函数关系式；
（2）若直线 与图象 有三个交点，请结合图象，直接写出 的值；
（3） 为 轴正半轴上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ，交图象 于
点 ，是否存在这样的点 ，使 与 相似？若存在，求出所有符合条件的
点 的坐标；若不存在，请说明理由.
26.（本小题满分12分）
如图，在菱形 中， ， ，点 从点 出发，沿线段 以每
秒1个单位长度的速度向终点 运动，过点 作 于点 ，作 交直线
于点 ，交直线 于点 ，设 与菱形 重叠部分图形的面积为
（平方单位），点 运动时间为 （秒）.
学科网（北京）股份有限公司（1）当点 与点 重合时，求 的值；
（2）当 为何值时， 与 全等；
（3）求 与 的函数关系式；
（4）以线段 为边，在 右侧作等边三角形 ，当 时，求点 运动路径
的长.
2022 年衡阳市初中学业水平考试试卷解析
数 学
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A C B D A B C A C B D
12.【解析】∵ ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，则 ，即 为等腰三角形，
过 点做 于点 .
则 垂直平分 ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
故 关于 的函数图像是D.
学科网（北京）股份有限公司二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.）
13 14 15 16 17 18
4 2 23 10.2
18.【解析】∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，
即 .
∴ ，
∴ ，
故答案为 .
三、解答题（本大题共8小题，19-20每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12
分，满分66分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19. 解：原式 ，
将 ， 代入式中得：
原式 .
20. 证明：∵ ，∴ 为等腰三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴在 和 中， ，
∴ ，
∴ .
21. 答：（1）因为参与 活动的人数为36人，占总人数 ，所以总人数
人，
则参与 活动的人数为： 人；
补全统计图如下：
（2）扇形 的圆心角为： ；
学科网（北京）股份有限公司（3）最喜爱“测量”项目的学生人数是： 人；
（4）列表如下：
第 一
项
第二项
——
——
——
——
——
或者树状图如下：
所以，选中 、 这两项活动的概率为： .
22.（1）解：设冰墩墩进价为 元，雪容融进价为 元.
得 ，解得 ，
∴冰墩墩进价为72元，雪容融进价为64元.
（2）设冰墩墩进货 个，雪容融进货 个，设利润为 ，
得关于利润解析式 ，
∵ ，所以利润随 增大而增大，
又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，
得 ，解得 .
∴当 取24时利润取得最大值为992.
23.（1）解：将 代入反比例函数解析式求得， ，即反比例函数解析式为
，将 代入反比例函数解析式中求得 ，即 ，将 ， 代入
，求得 ， 得 ，综上反比例函数解析式为 ，一次函
数解析式为 .
（2）由题 ，且四边形 为平行四边形，且 固定，
学科网（北京）股份有限公司∴ ， 横坐标相同，设 ， ，
∵ 即 ，解得 ，
∴ 或 .
24.（1）证明：连接 .
∵ 为 切线，∴ ，
又∵ ，∴ ， ，
且 ，∴ ，
在 与 中；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 与 相切.
（2）设半径为 ；
则： ，得 ；
在直角三角形 中， ，
，解得 .
25. 解：（1）由翻折可知： .
令 ，解得： ， ，
所以， ， ，
设图象 的解析式为 ，代入 ，解得 ，
所以解析式为 .
（2） 或
（3）如图1，当 时， ，此时， ；
学科网（北京）股份有限公司如图2，当 时， ，
此时， 点纵坐标为2， ，解得 ， （舍）；
所以 ；
如图3，当 时， ，此时，直线 的解析式： ；
联立方程组： ，解得 ， （舍），所以 .
因此，综上所述： 点坐标为 或 或 .
26. 解：（1） 与 重合时，
∵ ，∴ ，∴ .
（2）①当 时，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ .
②当 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ .
学科网（北京）股份有限公司∴ 或 .
（3）①当 时，
，∴ ，
∴ .
②当 时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（4）连接 .
∵ 为正三角形，∴ ，
在 中， ，
∴ 为定值.
∴ 的运动轨迹为直线，
学科网（北京）股份有限公司，
当 时 ，
当 时 ，
∴ 的运动路径长为 .
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