文档内容
沈阳市 2022 年初中学业水平考试
数学试题
试题满分120分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考
证号；
2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效；
3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回；
4．本试题卷包括八道大题，25道小题，共6页．如缺页、印刷不清，考生须声明．
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）
1. 计算 正确的是（ ）
A. 2 B. C. 8 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数的加法运算即可求解．
【详解】解： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键．
2. 如图是由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
【答案】D
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看易得上面第一层有1个正方形，第二层左边和右边都有一个正方形，如图所示：
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3. 下列计算结果正确的是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别利用幂的乘方法则，同底数幂的除法，积的乘方法则，完全平方公式分别求出即可．
【详解】A． ，故此选项计算错误，不符合题意；
B． ，故此选项计算错误，不符合题意；
C． ，故此选项计算错误，不符合题意；
D． ，故此选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查幂的乘方法则，同底数幂的除法，积的乘方法则，完全平方公式，熟练掌握相关计算法
则是解答本题的关键．幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；积的乘方，
等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘； 与
都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者
叫做两数差的完全平方公式．
学科网（北京）股份有限公司4. 在平面直角坐标系中，点 关于y轴对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可解答．
【详解】解：点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（-2，3）．
故选B．
【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，对称点的坐标规律：①关于x轴对称的点，横坐标
相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的
点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5. 调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表：
年龄/岁 11 12 13 14 15
人数 3 4 7 2 2
则该足球队队员年龄的众数是( )
A. 15岁 B. 14岁 C. 13岁 D. 7人
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数据，即可得出答案．
【详解】解：∵年龄是13岁的人数最多，有7个人，
∴这些队员年龄的众数是13；
故选：C．
【点睛】本题考查了众数，掌握众数的定义是本题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
6. 不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C.
D.
学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式，将不等式的解集表示在数轴上即可．
【详解】解：
移项合并得： ，
系数化1得： ，
表示在数轴上为∶
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，并把解集表示在数轴上，正确解出不等式是解答本题的关键．
7. 如图，在 中， ，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则 度数
是（ ）
A. 70° B. 60° C. 30° D. 20°
【答案】B
【解析】
【分析】因为点D、E分别是直角边AC、BC的中点，所以DE是 的中位线，三角形的中位线平
行于第三边，进而得到 ，求出 的度数，即为 的度数．
【详解】解：∵点D、E分别是直角边AC、BC的中点，
学科网（北京）股份有限公司∴DE是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质以及三角形内角和，由三角形中位线定义，找到平行线是解答本题
的关键．
8. 在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数的图象与性质即可得．
【详解】解：一次函数 的一次项系数为−1<0，常数项为 ，
函数图象经过一、二、四象限
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
9. 下列说法正确的是( )
A. 了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
学科网（北京）股份有限公司B. 如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖
C. 若甲、乙两组数据的平均数相同， ， ，则乙组数据较稳定
D. “任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件
【答案】A
【解析】
【分析】根据全面调查和抽样调查的意义、概率的意义、方差的意义、事件可能性的大小分别进行判断即
可．
【详解】解：A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式不合适，破坏性较强，应采用抽样调查，
故此选项正确，符合题意；
B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票不一定一定会中奖，故选项错误，不符合
题意；
C．若甲、乙两组数据的平均数相同， ， ，则 ＜ ，则甲组数据较稳定，故选项错
误，不符合题意；
D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7” 是不可能事件，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了全面调查和抽样调查的意义、概率的意义、方差的意义、事件可能性的大小，关
键是熟练掌握各知识点．
10. 如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，
，则河宽PT的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合图形利用正切函数求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
故选C．
【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用，理解题意，利用正切函数解直角三角形是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：
=
；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
12. 二元一次方程组 的解是______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用代入消元法进行求解方程组的解即可．
【详解】解：
把②代入①得： ，解得： ，
把 代入②得： ；
学科网（北京）股份有限公司∴原方程组的解为 ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
13. 化简： ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据分式的混合运算可直接进行求解．
【详解】解：原式= ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的加减乘除运算是解题的关键．
14. 如图，边长为4的正方形ABCD内接于 ，则 的长是________（结果保留 ）
【答案】
【解析】
【分析】连接OA、OB，可证∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．
【详解】解：连接OA、OB．
学科网（北京）股份有限公司∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝4，AO＝BO，
∴ ，
∴∠AOB＝ ×360°＝90°，
在Rt AOB中，由勾股定理得：AO2＋BO2＝2AO2＝42＝16，
△
解得：AO＝2 ，
∴ 的长＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．
15. 如图四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数 的图象经过第
一象限点A，且平行四边形ABCD的面积为6，则 ______．
【答案】6
【解析】
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，然后平行四边形的性质可知△AED≌△BOC，进而可得矩形ABOE的
面积与平行四边形ABCD的面积相等，最后根据反比例函数k的几何意义可求解．
【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴△AED≌△BOC（AAS），
∵平行四边形ABCD的面积为6，
∴ ，
∴ ；
故答案为6．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质及反比
例函数k的几何意义是解题的关键．
16. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在
E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H． ， ，当点H为
GN三等分点时，MD的长为______．
【答案】 或4
【解析】
【分析】由折叠得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，证明
学科网（北京）股份有限公司得 ，再分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，CD=AB=4，∠D=∠C=90°，
∴∠DMN=∠GNM，
由折叠得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，
∴∠GMN=∠GNM，∠GFH=∠NEH，
∴GM=GN，
又∠GHE=∠NHE，
∴ ，
∴ ，
∵点H是GN的三等分点，则有两种情况：
①若 时，则有：
∴EH= ，GF=2NE=4，
由勾股定理得， ,
∴GH=2NH=
∴GM=GN=GH+NH= ，
∴MD=MF=GM-GF= ；
②若 时，则有：
∴EH= ，GF= NE=1，
学科网（北京）股份有限公司由勾股定理得， ,
∴GH= NH=
∴GM=GN=GH+NH=5；
∴MD=MF=GM-GF=
综上，MD的值为 或4．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性
质等知识，进行分类讨论是解答本题的关键．
三、解答题:
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简
绝对值是解题的关键．
18. 为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题
号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________；
（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
【答案】（1）
学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，再由概率公式
求解即可．
【小问1详解】
解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，
∴两张卡片上的数字是2和3的概率为 ．
【点睛】此题考查的是用树状图或列表法求概率．树状图或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟练掌握树状图或列表法是解决这类题的关键．
19. 如图，在 中，AD是 的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于 的长为半径作弧，
两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．
学科网（北京）股份有限公司（1）由作图可知，直线MN是线段AD的______．
（2）求证：四边形AEDF是菱形．
【答案】（1）垂直平分线
（2）见详解
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图可直接得出答案；
（2）由题意易得 ，然后可证 ，则有
OF=OE，进而问题可求证．
【小问1详解】
解：由题意得：直线MN是线段AD的垂直平分线；
故答案为：垂直平分线；
【小问2详解】
证明：∵直线MN是线段AD的垂直平分线，
∴ ，
∵AD是 的角平分线，
∴ ，
∵AO=AO，
∴ （ASA），
∴OF=OE，
∵AO=DO，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵ ，
∴四边形AEDF是菱形．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定及菱形的判定，熟练掌握线
段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定及菱形的判定是解题的关键．
20. 某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程，为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，
进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实
践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整
理绘制成如下不完整的统计图．
学科网（北京）股份有限公司根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为________名；
（2）直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．
【答案】（1）120 （2）见解析
（3）72
（4）320名
【解析】
【分析】（1）先求出B的人数，再将各项人数相加即可．
（2）见解析
（3）根据D的百分比乘以圆心角即可．
（4）求出C所占的百分比，乘以800．
【小问1详解】
解：根据扇形统计图中，B是A的3倍
故喜欢B的学生数为 （名）
统计调查的总人数有：12＋36＋48＋24＝120（名）．
【小问2详解】
学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
由条形统计图可知：
D的人数是A的2倍，故D占总人数的20%
所以D所占圆心角为20%
答：课程D所对应的扇形的圆心角的度数为72 ．
【小问4详解】
若有800名学生，则喜欢C的学生数有：
（名）
答：有320名学生最喜欢C拓展课程．
【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图相关内容，注意从图中获取信息，分析图中数据之间 的数量关
系是解题的关键．
21. 如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．
【答案】（1）AB的长为8厘米或12厘米．
学科网（北京）股份有限公司（2）150
【解析】
【分析】（1）设AB的长为x厘米，则有 厘米，然后根据题意可得方程 ，
进而求解即可；
（2）由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S，则有 ，然后根据二次
函数的性质可进行求解．
【小问1详解】
解：设AB的长为x厘米，则有 厘米，由题意得：
，
整理得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 都符合题意，
答：AB的长为8厘米或12厘米．
【小问2详解】
解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有：
，
∵ ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司∴当 时，S有最大值，即为 ；
故答案为：150．
【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系．
22. 如图，四边形 内接于圆 ， 是圆 的直径， ， 的延长线交于点 ，延长 交
于点 ， ．
（1）求证： 是圆 的切线；
（2）连接 ， ， ， 的长为______．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和 ，可得出 ，再根据 是圆
的直径，由切线的判定可得证；
（2）延长 交 的延长线于点 ，由 是圆 的直径，可说明 是直角三角形，从而得到
，再证明 ，得到 ，代入数据即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形 内接于圆 ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是圆 的直径，
∴ 是圆 的切线．
【小问2详解】
解：延长 交 的延长线于点 ，
∵ 是圆 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∵四边形 内接于圆 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
学科网（北京）股份有限公司为
故答案 ： ．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，圆周角定理推论，相似三角形的判定和性质，三
角函数等知识．通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点 ，与直
线OC交于点 ．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）过点C作 轴于点D，将 沿射线CB平移得到的三角形记为 ，点A，C，D
的对应点分别为 ， ， ，若 与 重叠部分的面积为S，平移的距离 ，当点
与点B重合时停止运动．
①若直线 交直线OC于点E，则线段 的长为________（用含有m的代数式表示）；
②当 时，S与m的关系式为________；
学科网（北京）股份有限公司③当 时，m的值为________．
【答案】（1）y＝﹣ x+9；
（2）① m；② m2；③ 或15﹣2 ．
【解析】
【分析】（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线解析式，求解即可；
（2）①过点C作CF⊥C′D′，易得 CFC′∽△AOB，可用m表达CF和C′F的长度，进而可表达点C′，D′
的坐标，由点C的坐标可得出直线△OC的解析式，代入可得点E的坐标；
②根据题意可知，当0＜m＜ 时，点D′未到直线OC，利用三角形面积公式可得出本题结果；
③分情况讨论，分别求出当0＜m＜ 时，当 ＜m＜5时，当5＜m＜10时，当10＜m＜15时，S与m的
关系式，分别令S＝ ，建立方程，求出m即可．
【小问1详解】
解：将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b，
∴ ，
解得 ．
∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣ x+9；
【小问2详解】
①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣ x+9，
学科网（北京）股份有限公司令y＝0，则x＝12，
∴A（12，0），
∴OA＝12，OB＝9，
∴AB＝15；
如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F，
∴CF∥OA，
∴∠OAB＝∠FCC′，
∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，
∴△CFC′∽△AOB，
∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，
∵CC′＝m，
∴CF＝ m，C′F＝ m，
∴C′（8﹣ m，3+ m），A′（12﹣ m， m），D′（8﹣ m， m），
∵C（8，3），
∴直线OC的解析式为：y＝ x，
∴E（8﹣ m，3﹣ m）.
∴C′E＝3+ m﹣（3﹣ m）＝ m．
故答案为： m．
学科网（北京）股份有限公司②当点D′落在直线OC上时，有 m＝ （8﹣ m），
解得m＝ ，
∴当0＜m＜ 时，点D′未到直线OC，
此时S＝ C′E•CF＝ • m• m＝ m2；
故答案为： m2．
③分情况讨论，
当0＜m＜ 时，由②可知，S＝ m2；
令S＝ m2＝ ，解得m＝ ＞ （舍）或m＝﹣ （舍）；
当 ≤m＜5时，如图2，
设线段A′D′与直线OC交于点M，
∴M（ m， m），
∴D′E＝ m﹣（3﹣ m）＝ m﹣3，
学科网（北京）股份有限公司D′M＝ m﹣（8﹣ m）＝ m﹣8；
∴S＝ m2﹣ •（ m﹣3）•（ m﹣8）
＝﹣ m2+ m﹣12，
令﹣ m2+ m﹣12＝ ；
整理得，3m2﹣30m+70＝0，
解得m＝ 或m＝ ＞5（舍）；
当5≤m＜10时，如图3，
S＝S ＝ ×4×3＝6≠ ，不符合题意；
A′C′D′
△
当10≤m＜15时，如图4，
学科网（北京）股份有限公司此时A′B＝15﹣m，
∴BN＝ （15﹣m），A′N＝ （15﹣m），
∴S＝ • （15﹣m）• （15﹣m）＝ （15﹣m）2，
令 （15﹣m）2＝ ，解得m＝15+2 ＞15（舍）或m＝15﹣2 ．
故答案为： 或15﹣2 ．
【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形的面积、相似三角形的性质与
判定、一元二次方程、分类讨论思想等知识，根据 A′C′D′的运动，进行正确的分类讨论是解题关键．
△
24. （1）如图， 和 是等腰直角三角形， ，点C在OA上，点D在线
段BO延长线上，连接AD，BC．线段AD与BC的数量关系为______；
（2）如图2，将图1中的 绕点O顺时针旋转 （ ）第一问的结论是否仍然成立；如
果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．
（3）如图，若 ，点C是线段AB外一动点， ，连接BC，
①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值______；
②若以BC为斜边作 ，（B、C、D三点按顺时针排列）， ，连接AD，当
时，直接写出AD的值．
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）AD=BC；（2）结论仍成立，理由见详解；（3）① ，② ．
【解析】
【分析】（1）由题意易得 ，然后可证 ，
进而问题可求解；
（2）由题意易得 ，然后可证 ，进而问题可求证；
（3）①根据题意作出图形，然后根据三角不等关系可得 ，则当A、C、D三点共线时取最
大，进而问题可求解；②过点C作CE⊥AB于点E，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，然后可得点C、
D、B、E四点共圆，则有 ，设 ，则
，进而根据勾股定理可进行方程求解．
【详解】解：（1）AD=BC，理由如下：
∵ 和 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ （SAS），
∴AD=BC，
故答案为AD=BC；
（2）结论仍成立，理由如下：
∵ 和 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ （SAS），
∴AD=BC；
（3）①如图，
学科网（北京）股份有限公司由题意得： ，
根据三角不等关系可知： ，
∴当A、C、D三点共线时取最大，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴AD的最大值为 ；
②过点C作CE⊥AB于点E，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，如图所示：
∴ ，
∴点C、D、B、E四点共圆，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴在Rt△AEC和Rt△BEC中，由勾股定理得： ，整理得： ①；
在Rt△BFD中，由勾股定理得： ，整理得： ②，
联立①②得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴ ，
过点E作EM⊥AD于点M，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、四点共圆及含30度直角三角形
的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、四点共圆及含30度直角三角形的性
质是解题的关键．
25. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线 经过点 和点 与x
轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．
学科网（北京）股份有限公司（1）①求抛物线的函数表达式
②并直接写出直线AD的函数表达式．
（2）点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE， 的面积记为 ，
的面积记为 ，当 时，求点E的坐标；
（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲
线为 ，点C的对应点 ，点G的对应点 ，将曲线 ，沿y轴向下平移n个单位长度（ ）．
曲线 与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形 是平行四边形，直接写出
P的坐标．
【答案】（1）① ；②
（2）（2，-4）或（0，-3）
（3）
【解析】
【分析】（1）①利用待定系数解答，即可求解；②利用待定系数解答，即可求解；
（2）过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，设点 ，则点
， 可得 ，然后根据△EFG∽△BFH，即可求解；
学科网（北京）股份有限公司（3）先求出向上翻折部分的图象解析式为 ，可得向上翻折部分平移后的函数解析式
为 ，平移后抛物线剩下部分的解析式为 ，分别求出直线BC
和直线 的解析式为，可得BC∥C′G′，再根据平行四边形的性质可得点 ，然后分三
种情况讨论：当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时；当点P在向上翻折部分平移后的图象上，
点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时；当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部
分平移后的图象上时，即可求解．
【小问1详解】
解：①把点 和点 代入得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
②令y=0，则 ，
解得： ，
∴点A（-2，0），
设直线AD的解析式为 ，
∴把点 和点A（-2，0）代入得：
，解得： ，
学科网（北京）股份有限公司∴直线AD的解析式为 ；
【小问2详解】
解：如图，过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，
当x=6时， ，
∴点H（6，-4），即BH=4，
设点 ，则点 ，
∴ ，
∵ 的面积记为 ， 的面积记为 ，且 ，
∴BF=2EF，
∵EG⊥x，BH⊥x轴，
∴△EFG∽△BFH，
∴ ，
∴ ，解得： 或0，
∴点E的坐标为（2，-4）或（0，-3）；
【小问3详解】
学科网（北京）股份有限公司解： ，
∴点G的坐标为（2，-4），
当x=0时，y=-3，即点C（0，-3），
∴点 ，
∴向上翻折部分的图象解析式为 ，
∴向上翻折部分平移后的函数解析式为 ，平移后抛物线剩下部分的解析式为
，
设直线BC的解析式为 ，
把点B（6，0），C（0，-3）代入得：
，解得： ，
∴直线BC 解析式为 ，
的
同理直线 的解析式为 ，
∴BC∥C′G′，
设点P的坐标为 ，
∵点 ，
∴点 C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点 G′，
∵四边形 是平行四边形，
学科网（北京）股份有限公司∴点 ，
当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，
，解得： （不合题意，舍去），
当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，
，解得： 或 （不合题意，舍去），
当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，
，解得： 或 （不合题意，舍去），
综上所述，点P的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，相似
三角形的判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
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