文档内容
2021 年吉林省中考数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 化简 的结果为（ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号．
【详解】解： ，
故选：C．
【点睛】本题考查去括号，解题关键是掌握去括号法则．
2. 据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度一汽集团销售整车70060辆，数据70060用科学记数
法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；
当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解： ，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3. 不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】按照解不等式步骤：移项，合并同类项，系数化为1求解．
【详解】解： ，
，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查解不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
4. 如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．
【详解】解：粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形．
故选：A．
【点睛】本题考查简单组合几何体的三视图，解题关键是掌握主视图是从正面看到的图形．
5. 如图，四边形 内接于 ，点 为边 上任意一点（点 不与点 ， 重合）连接 ．若
，则 的度数可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】由圆内接四边形的性质得 度数为 ，再由 为 的外角求解．
【详解】解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的外角，
∴ ，只有D满足题意．
故选：D．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．
6. 古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它
的全部，加起来总共是33，若设这个数是 ，则所列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列方程 ．
【详解】解：由题意可得 ．
故选C
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找等量关系是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 计算： -1＝_____．
【答案】2
【解析】【分析】利用二次根式的性质化简，进而通过计算即可得出答案．
【详解】 -1＝3-1＝2
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式、实数的运算；正确化简二次根式是解题的关键．
8. 因式分解： __________．
【答案】
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，
之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因
式m即可．
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查题公因式法因式分解．掌握提公因式法是关键．
9. 计算： __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同分母分式的加减法则运算．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同分母分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键
10. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为__________．【答案】
【解析】
【分析】根据判别式 求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等 的实数根，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相
等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
11. 如图，已知线段 ，其垂直平分线 的作法如下：①分别以点 和点 为圆心， 长
为半径画弧，两弧相交于 ， 两点；②作直线 ．上述作法中 满足的条作为 ___1.（填“ ”，
“ ”或“ ”）
【答案】＞
【解析】
【分析】作图方法为：以 ， 为圆心，大于 长度画弧交于 ， 两点，由此得出答案．
【详解】解：∵ ，∴半径 长度 ，
即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，连接 ，若将 绕
点 顺时针旋转 ，得到 ，则点 的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转的性质可求得 和 的长度，进而可求得点 的坐标．
【详解】解：作 轴于点 ，
由旋转可得 ， 轴，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴点 坐标为 ．
故答案 为： ．【点睛】此题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转找到题目中线段之间的关系．
13. 如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为 的竹竿 斜靠在石坝旁，量出竿上 长为
时，它离地面的高度 为 ，则坝高 为__________ ．
【答案】2.7
【解析】
【分析】根据 ，可得 ，进而得出 即可．
【详解】解：如图，过 作 于 ，则 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为：2.7【点睛】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．
14. 如图，在 中， ， ， ．以点 为圆心， 长为半径画弧，分别
交 ， 于点 ， ，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留 ）．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ，由扇形 面积﹣三角形 面积求解．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，
∴阴影部分的面积为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查扇形的面积与等边三角形的性质与判定，解题关键是判断出三角形CBE为等边三角形与
扇形面积的计算．
三、解答题（每小题5分共20分）
15. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【详解】解：，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项，运用平方差公式是解题的关键．
16. 第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别
从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．
【答案】
【解析】
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两次都是白球的概率即可．
【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
白 黑
白 白、白 黑、白
黑 白、黑 黑1、
1 1 黑
黑 白、黑 黑、黑
2 2 2
共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种，
所以取出的2个球都是白球的概率为 ．
答：取出的2个球都是白球的概率为 ．
【点睛】本题考查简单事件的概率，正确列表或者画树状图是解题关键．
17. 如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C.求证：AD＝AE
【答案】见解析.【解析】
【分析】根据ASA△ADC≌△AEB，即可得出结论．
【详解】证明：在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（ASA）
∴AE=AD
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．
18. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共 ．其中
桥梁长度比隧道长度的9倍少 ．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
【答案】港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为 和
【解析】
【分析】设港珠澳大桥隧道长度为 ，桥梁长度为 ．由桥梁和隧道全长共 ，得 ．
桥梁长度比隧道长度的9倍少 ，得 ，然后列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设港珠澳大桥隧道长度为 ，桥梁长度为 ．
由题意列方程组得： ．
解得： ．
答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为 和 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出
合适的等量关系，列出方程组．
四、解答题（每小题27分，共28分）
19. 图①、图2均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点 ，点
均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点 ， ， 为顶点画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以点 ， ， ， 为顶点画一个面积为3的平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可：如以 为顶点， 为 底边，即可做出等腰三角形；
（2）作底为1，高为3的平行四边形即可．
【详解】解：（1）如图①中，此时以 为顶点， 为底边，该 即为所求（答案不唯一）．
（2）如图②中，此时底 ，高 ，因此四边形 即为所求．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键掌握等腰三角形和平行四边形的
基本性质．
20. 2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持
着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．2016﹣2017年快递业务量增长速度统计表
年龄 2016 2017 2018 2019 2020
增长速度
说明：增长速度计算办法为：增长速度=（本年业务量-去年业务量）÷去年业务量×100%．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是__________亿件．
（2）2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是__________．
（3）下列推断合理的是__________（填序号）．
①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快
递业务量；
②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在 以上．所以预估2021年快递业务量应在
亿件以上．
.
【答案】（1）8336；（2） ；（3）②
【解析】
【分析】（1）根据2016﹣2020年快递业务量统计图可得答案；
（2）根据中位数的意义，将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列找出中间位置的一个数即可；
（3）利用业务量的增长速度率估计2021年的业务量即可．
【详解】解：（1）由2016﹣2020年快递业务量统计图可知，2020年的快递业务量最多是833.6亿件，
故答案为：833.6；
（2）将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列处在中间位置的一个数是 ，因此中位数是
，
故答案为： ；
（3）①2016﹣2019年快递业务量的增长速度下降，并不能说明快递业务量下降，而业务量也在增长，只
是增长的速度没有那么快，因此①不正确；
②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在 以上．所以预估2021年快递业务量应在亿件以上，因此②正确；
故答案为：②．
【点睛】本题考查条形统计图，中位数，样本估计总体，理解“增长率”“增长速度”“增长量”的意义及相互
关系是正确判断的前提．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴相交于点 ，与反比例函数 在
第一象限内的图象相交于点 ，过点 作 轴于点 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求 的面积．
【答案】（1） ；（2）6
【解析】
【分析】（1）因为一次函数与反比例函数交于 点，将 代入到一次函数解析式中，可以求得 点坐标，
从而求得 ，得到反比例函数解析式；
（2）因为 轴，所以 ，利用一次函数解析式可以求得它与 轴交点 的坐标 ，由
， ， 三点坐标，可以求得 和 的长度，并且 轴，所以 ，即可求
解．【详解】解：（1）∵ 点是直线与反比例函数交点，
∴ 点坐标满足一次函数解析式，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）∵ 轴，
∴ ， 轴，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为6
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，同时要注意在平面直角坐标系中如
何利用坐标表示水平线段和竖直线段．
22. 数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬 ，求北纬 纬线的长度，小组成员查阅了相关
资料，得到三条信息：
（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；
（2）如图， 是经过南、北极的圆，地球半径 约为 ．弦 ，过点 作于点 ，连接 ．若 ，则以 为半径的圆的周长是北纬 纬线的长度；
（3）参考数据： 取3， ， ．
小组成员给出了如下解答，请你补充完整：
解：因 为， ，
所以 （ ）（填推理依据），
因为 ，所以 ，
在 中， ．
_______（填“ ”或“ ”）．
所以北纬 的纬线长
（填相应的三角形函数值）
（ ）（结果取整数）．
【答案】两直线平行，内错角相等； ；0.72；27648
【解析】
【分析】由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．
【详解】解：因为 ， ，
所以 （两直线平行，内错角相等）（填推理依据），
因为 ，所以 ，在 中， ．
（填“ ”或“ ”）．
所以北纬 的纬线长 ．
（填相应的三角形函数值）
（结果取整数）．
故答案为：两直线平行，内错角相等； ；0.72；27648.
【点睛】本题考查了解直角三角形和平行线的性质，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方
法．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，
甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过 天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，
结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数 （万人）与
各自接种时间 （天）之间的关系如图所示．
（1）直接写出乙地每天接种 的人数及 的值；
（2）当甲地接种速度放缓后，求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；
（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．
【答案】（1） ；（2） ；（3）5万人
【解析】
【分析】（1）由接种速度＝接种人数÷接种天数求解．
（2）利用待定系数法求解．（3）将 代入（2）问中解析式得出 ，然后由 ．
【详解】解：（1）乙地接种速度为 （万人/天），
，
解得 ．
（2）设 ，将 ， 代入解析式得：
，
解得 ，
∴ ．
（3）把 代入 得 ，
（万人）．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考
常考题型．
24. 如图①，在 中， ， ， 是斜边 上的中线，点 为射线 上
一点，将 沿 折叠，点 的对应点为点 ．（1）若 ．直接写出 的长（用含 的代数式表示）；
（2）若 ，垂足为 ，点 与点 在直线 的异侧，连接 ，如图②，判断四边形
的形状，并说明理由；
（3）若 ，直接写出 的度数．
【答案】（1） ；（2）菱形，见解析；（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得 ；
（2）由题意可得 ， ，由“直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半”，得
，得 ，则四边形 是平行四边形，再由折叠得 ，于是判断四
边形 是菱形；
（3）题中条件是“点 是射线 上一点”，因此 又分两种情况，即点 与点 在直线 的
异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果．
【详解】解：（1）如图①，在 中， ，
∵ 是斜边 上的中线， ，
∴ ．（2）四边形 是菱形．
理由如下：
如图②∵ 于点 ，
∴ ，
∴ ；
由折叠得， ，
∵ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
∵ ，
∴ ，∴四边形 是菱形．
（3）如图③，点 与点 在直线 异侧，
∵ ，
∴ ；
由折叠得， ，
∴ ；
如图④，点 与点 在直线 同侧，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠得， ，
∴ ，
∴ ．
综上所述， 或 ．【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识
与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在矩形 中， ， ．动点 从点 出发沿折线 向终点
运动，在边 上以 的速度运动；在边 上以 的速度运动，过点 作线段 与射线
相交于点 ，且 ，连接 ， ．设点 的运动时间为 ， 与 重合
部分图形的面积为 ．
（1）当点 与点 重合时，直接写出 的长；
（2）当点 在边 上运动时，直接写出 的长（用含 的代数式表示）；
（3）求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围．【答案】（1）1；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）在 中，由 求解即可；
（2）点 在 上运动时间为 ，则点 在 上时 ．
（3）分类讨论①：点 在 上，点 在 上；②：点 在 上，点 在 延长线上；③：点
在 上．
【详解】解：（1）如图，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）点 在 上运动时间为 ，
∴点 在 上时： ．
（3）当 时，点 在 上，作 于点 ， 交 于点 ，作 于点 ，同（1）可得 ．
∴ ，
当 时 ，
①∴ 时，点 在 上，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．②当 时，点 在 延长线上， 交 于点 ，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
③当 时，点 在 上，如图，
∵ ，
∴ ．综上所述： ．
【点睛】题目主要考察运用三角函数解三角形求出相应边的长度，然后利用三角形面积公式确定函数解析
式，同时也对二次函数在几何动点问题进行考察，难点是在进行分类讨论时，作出对应图形并作出相应辅
助线，同时确定相应的自变量范围．
26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点 ，点 ．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当 时，求二次函数 的最大值和最小值；
（3）点 为此函数图象上任意一点，其横坐标为 ，过点 作 轴，点 的横坐标为 ．
已知点 与点 不重合，且线段 的长度随 的增大而减小．
①求 的取值范围；
②当 时，直接写出线段 与二次函数 的图象交点个数及对应的
的取值范围．
【答案】（1） ；（2）最大值为 ；最小值为－2；（3）① ；② 或时， 与图象交点个数为1， 时， 与图象有2个交点．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解．
（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．
（3）①由 求出 取值范围，
②通过数形结合求解．
【详解】解：（1）将 ，点 代入 得：
，
解得 ，
∴ ．
（2）∵ ，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ．
∴当 时， 取最小值为－2，
∵ ，
∴当 时， 取最大值 ．
（3）① ，当 时， ， 的长度随 的增大而减小，
当 时， ， 的长度随 增大而增大，
∴ 满足题意，
解得 ．
②∵ ，
∴ ，
解得 ，
如图，当 时，点 在最低点， 与图象有1交点，
增大过程中， ，点 与点 在对称轴右侧， 与图象只有1个交点，直线 关于抛物线对称轴直线 对称后直线为 ，
∴ 时， 与图象有2个交点，
当 时， 与图象有1个交点，
综上所述， 或 时， 与图象交点个数为1， 时， 与图象有2
个交点．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通
过数形结合的方法求解．
