文档内容
上海市 2021 年中考数学试题
一、选择题
1. 下列实数中，有理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可
【详解】解：
A、 ∵ 是无理数，故 是无理数
B、 ∵ 是无理数，故 是无理数
C、 有理数
为
D、 ∵ 是无理数，故 是无理数
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键
2. 下列单项式中， 的同类项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项
【详解】∵a的指数是3，b的指数是2，与 中a的指数是2，b的指数是3不一致，
∴ 不是 的同类项，不符合题意；
∵a的指数是2，b的指数是3，与 中a的指数是2，b的指数是3一致，∴ 是 的同类项，符合题意；
∵a的指数是2，b的指数是1，与 中a的指数是2，b的指数是3不一致，
∴ 不是 的同类项，不符合题意；
∵a的指数是1，b的指数是3，与 中a的指数是2，b的指数是3不一致，
∴ 不是 的同类项，不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键．
3. 将抛物线 向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）
A. 开口方向不变 B. 对称轴不变 C. y随x的变化情况不变 D. 与y轴的交点不变
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的平移特点即可求解．
【详解】将抛物线 向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变
化情况不变；与y轴的交点改变
故选D．
【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点．
4. 商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（
）A. /包 B. /包 C. /包 D. /包
【答案】A
【解析】
【分析】选择人数最多的包装是最合适的．
【详解】由图可知，选择1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的人数最多，
∴选择在1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的包装最合适．
故选：A．
【点睛】本题较简单，从图中找到选择人数最多的包装的范围，再逐项分析即可．
5. 如图，已知平行四边形ABCD中， ，E为 中点，求 （ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的特点及加减法则即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，E为 中点，
∴
故选A．
【点睛】此题主要考查向量的表示，解题的关键是熟知平行四边形的特点及向量的加减法则．
6. 如图，已知长方形 中， ，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点 与圆A
的位置关系是（ ）
A. 点C在圆A外，点D在圆A内 B. 点C在圆A外，点D在圆A外
C. 点C在圆A上，点D在圆A内 D. 点C在圆A内，点D在圆A外
【答案】C
【解析】
【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可【详解】
∵圆A与圆B内切， ，圆B的半径为1
∴圆A的半径为5
∵ <5
∴点D在圆A内
在Rt△ABC中，
∴点C在圆A上
故选：C
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键
二、填空题
7. 计算： _____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可
【详解】∵ ,
故答案为: ．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
8. 已知 ，那么 __________．【答案】 ．
【解析】
【分析】直接利用已知的公式将x的值代入求出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了函数值，正确把已知代入是解题关键．
9. 已知 ，则 ___________．
【答案】5
【解析】
【分析】方程两边同平方，化为一元一次方程，进而即可求解．
【详解】解： ，
两边同平方，得 ，
解得：x=5，
经检验，x=5是方程的解，
∴x=5，
故答案 是：5．
【点睛】本题主要考查解根式方程，把根式方程化为整式方程，是解题的关键．
10. 不等式 的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】故答案为： ．
【点睛】此题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．
11. 的余角是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据余角的定义即可求解．
【详解】 的余角是90°- =
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查余角的求解，解题的关键是熟知余角的定义与性质．
12. 若一元二次方程 无解，则c的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到 ＜0，然后求出c的取值范围．
【详解】解：关于x的一元二次方程 无解，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相
等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
13. 有数据 ，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为__________．【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式计算即可
【详解】根据概率公式，得偶数的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．
14. 已知函数 经过二、四象限，且函数不经过 ，请写出一个符合条件的函数解析式_________．
【答案】 （ 且 即可）
【解析】
【分析】正比例函数经过二、四象限，得到k<0，又不经过(-1,1)，得到k≠-1，由此即可求解．
【详解】解：∵正比例函数 经过二、四象限，
∴k<0，
当 经过 时，k=-1，
由题意函数不经过 ，说明k≠-1，
故可以写的函数解析式为： (本题答案不唯一，只要 且 即可)．
【点睛】本题考查了正比例函数的图像和性质，属于基础题， (k≠0)当 时经过第二、四象限；
当 时经过第一、三象限．
15. 某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千
克，现以8元/千克卖出，赚___________元．【答案】
【解析】
【分析】利用待定系数法求出函数关系式，求出当售价为8元/千克时的卖出的苹果数量．再利用利润=
（售价-进价）×销售量，求出利润．
【详解】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为 ，将（5，4k），（10，k）代入
关系式：
，解得
∴
令 ，则
∴利润=
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式和利润求解问题．利润=（售价-进价）×销售量．
16. 如图，已知 ，则 _________．【答案】
【解析】
【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出 ，再根据△AOD∽△COB得出
，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可
【详解】解：作AE⊥BC，CF⊥BD
∵
∴△ABD和△BCD等高，高均为AE
∴
∵AD∥BC
∴△AOD∽△COB∴
∵△BOC和△DOC等高，高均为CF
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的
面积的特点是解题的关键
17. 六个带 角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积
_________．
【答案】 ．
【解析】
【分析】由六个带 角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为 1，可以得到中间正六
边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等
边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可．
【详解】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，在正六边形ABCDEF中，
∵直角三角板的最短边为1，
∴正六边形ABCDEF为1，
∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，
∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120︒，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1，
∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30︒，
∴BG=DI= FH= ，
∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH = ，
∴AC =AE = CE = ，
∴由勾股定理得：AI= ，
∴S= ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键
在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用．
18. 定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点 ，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的
最短距离d的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定正方形的中心O与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋转的条件即可求
解．
【详解】解：如图1，设 的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°， ．
∴点O与正方形 边上的所有点的连线中，
最小，等于1， 最大，等于 ．
∵ ，
∴点P与正方形 边上的所有点的连线中，
如图2所示，当点E落在 上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；如图3所示，当点A落在 上时，最小值 ．
∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了新定义、正方形的性质、勾股定理等知识点，准确理解新定义的含义和熟知正方形的
性质是解题的关键．
三、解答题
19. 计算：
【答案】2
【解析】
【分析】根据分指数运算法则，绝对值化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式以
及同类项即可．
【详解】解： ，
= ，
= ，
=2．
【点睛】本题考查实数混合运算，分指数运算法则，绝对值符号化简，负整指数运算法则，化最简二次根
式，合并同类二次根式与同类项，掌握实数混合运算法则与运算顺序，分指数运算法则，绝对值符号化简，
负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式与同类项是解题关键．
20. 解方程组：
【答案】 和
【解析】
【分析】由第一个方程得到 ，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出 ，再回代第
一个方程中即可求出 ．【详解】解：由题意： ，
由方程(1)得到： ，再代入方程(2)中：
得到： ，
进一步整理为： 或 ，
解得 ， ，
再回代方程(1)中，解得对应的 ， ，
故方程组的解为： 和 ．
【点睛】本题考查了代入消元法解方程及一元二次方程的解法，熟练掌握代入消元法，运算过程中细心即
可．
21. 已知在 中， ， ， 为 边上的中线．
（1）求 的长；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函数即可求出AB，故可得到AC的长；（2）过点F作FG⊥BD，利用中位线的性质得到FG，CG，再根据正切的定义即可求解．
【详解】（1）∵ ，
∴
∴AB=10
∴ = ；
（2）过点F作FG⊥BD，
∵ 为 边上的中线．
∴F 是AD中点
∵FG⊥BD，
∴
∴FG是△ACD的中位线
∴FG= 3
CG=
∴在Rt△BFG中， = ．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．
22. 现在 手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部 手机，三个月生产情况如下图．（1）求三月份共生产了多少部手机?
（2） 手机速度很快，比 下载速度每秒多 ，下载一部 的电影， 比 要快190
秒，求 手机的下载速度．
【答案】（1）36万部；（2）100 /秒
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图求出3月份的百分比，再利用80万×3月份的百分比求出三月份共生产的
手机数；
（2）设 手机的下载速度为x /秒，则 下载速度为 /秒，根据下载一部 的
电影， 比 要快190秒列方程求解．
【详解】（1）3月份的百分比=
三月份共生产的手机数= （万部）
答：三月份共生产了36万部手机．
（2）设 手机的下载速度为x /秒，则 下载速度为 /秒，
由题意可知：
解得：
检验：当 时，∴ 是原分式方程的解．
答： 手机的下载速度为100 /秒．
【点睛】本题考查实际问题与分式方程．求解分式方程时，需要检验最简公分母是否为0．
23. 已知：在圆O内，弦 与弦 交于点 分别是 和 的中点，联结
．
（1）求证： ；
（2）联结 ，当 时，求证：四边形 为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）连结 ，由 M、N 分别是 和 的中点，可得 OM⊥BC，ON⊥AD，由
， 可得 ，可证 ， ，根据
等腰三角形三线合一性质 ;
（2）设OG交MN于E，由 ，可得 ，可得 ，
，可证 可得 ，由CN∥OG，可得，由 可得AM∥CN，可证 是平行四边形，再由
可证四边形ACNM是矩形．
【详解】证明：（1）连结 ，
∵M、N分别是 和 的中点，
∴OM，ON为弦心距，
∴OM⊥BC，ON⊥AD，
，
在 中， ，
，
在Rt OMG和Rt ONG中，
△ △
，
，
∴ ，
;
（2）设OG交MN于E，
，
∴ ，∴ ，即 ，
，
在△CMN和△ANM中
，
，
，
∵CN∥OG，
，
，
，
∴AM∥CN，
是平行四边形，
，
∴四边形ACNM是矩形．
【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形
的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判
定是解题关键．
24. 已知抛物线 过点 ．（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线 上且在第一象限内，过A作 轴于B，以 为斜边在其左侧作等腰直角
．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
【答案】（1） ；（2）①1；②点C的坐标是
【解析】
【分析】(1)将 两点分别代入 ，得 ,解方程组即可;
（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直
线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐
标，代入抛物线解析式求解即可.
【详解】（1）将 两点分别代入 ，得
解得 ．
所以抛物线的解析式是 ．
（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点 重合时， ，
作 于H．
∵ 是等腰直角三角形，
∴ 和 也是等腰直角三角形，
∴ ，
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由 ，得
解得
∴直线 的解析式为 ，
设 ，
∴ ，
所以 ．
所以 ．
将点 代入 ，
得 ．
整理，得 ．因式分解，得 ．
解得 ，或 （与点B重合，舍去）．
当 时， ．
所以点C的坐标是 ．
【点评】本题考查了抛物线解析式 的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方
程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．
25. 如图，在梯形 中， 是对角线 的中点，联结 并延
长交边 或边 于E．
（1）当点E在边 上时，
①求证： ；
②若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）①见解析；② ；（2） 或
【解析】
【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，
，由此可得 ；②若 ，那么在 中，由 ．可得 ，作 于
H．设 ，那么 ．根据 所对直角边是斜边的一半可知 ，由此可
得 的值．
（2）①当点E在 上时，可得四边形 是矩形，设 ，在 和 中，
根据 ，列方程 求解即可．
②当点E在 上时，设 ，由 ，得 ，所以 ，所以
；由 得 ，所以 ，解出x的值即可．
【详解】（1）①由 ，得 ．
由 ，得 ．
因为 是 斜边上的中线，所以 ．所以 ．
所以 ．
所以 ．
②若 ，那么在 中，由 ．可得 ．作 于H．设 ，那么 ．
在 中， ，所以 ．
所以 ．
所以 ．
（2）①如图5，当点E在 上时，由 是 的中点，可得 ，
所以四边形 是平行四边形．
又因为 ，所以四边形 是矩形，
设 ，已知 ，所以 ．
已知 ，所以 ．
在和 中，根据 ，列方程 ．
解得 ，或 （ 舍去负值）．
②如图6，当点E在 上时，设 ，已知 ，所以 ．
设 ，已知 ，那么 ．
一方面，由 ，得 ，所以 ，所以 ，
另一方面，由 是公共角，得 ．
所以 ，所以 ．
等量代换，得 ．由 ，得 ．将 代入 ，整理，得 ．
解得 ，或 （舍去负值）．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的
关系列方程是解题的关键．
