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2023 年高考考前押题密卷
数学·全解全析
一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．）
1．【原创】集合 ， ，则 （ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数定义域求出 ，再根据交集定义即可求出 ．
【详解】因为 ，解得 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A．
2．【原创】已知向量 ， ， ，则“ ”是“ ”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由 得出 的关系，进而可得出答案.
【详解】由 得 ，进而得出 ，即 或 ；
所以由 不能推出 ，反之则成立；
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
1
学科网（北京）股份有限公司3．函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性排除BD选项，再根据 时 排除C得A.
【详解】解：因为当 时， ，则 ，当 时， ，
所以函数为奇函数，图像关于原点对称，故排除BD；
因为当 时， ， ，故 ，
所以C选项不满足，A选项满足.
故选：A
4．已知 ， ， ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 化为同底的对数形式，根据对数函数单调性可知 ；利用 可得 ，由
此可得结论.
【详解】 ， ，
2
学科网（北京）股份有限公司又 ， ；
， ，又 ， ；
综上所述： .
故选：C.
5．某汽车生产厂家研发了一种电动汽车，为了了解该型电动汽车的月平均用电量（单位：度）情况，抽
取了150名户主手中的该型电动汽车进行调研，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中，第5组小长方
形最高点的纵坐标为x，则该型电动汽车月平均用电量在 的户主人数为（ ）
A．98 B．103 C．108 D．112
【答案】C
【分析】由频率和为1列方程求x，再根据直方图中 区间频率求样本中对应的户主人数.
【详解】由 ，得 .
月平均用电量在 的用户 户.
故选：C
6．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，多
见于亭阁式建筑，某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥
的棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）
3
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合正四棱锥的性质，即可求得 、 的长，根据椎体体积公式，即可得答案.
【详解】如图所示，正四棱锥 棱长均为2，连接AC、BD交于点O，连接PO
根据正四棱锥的性质，可得 平面ABCD.
所以 ， ，
所以正四棱锥 的体积 .
故选：C
7．已知抛物线 的焦点为F，准线为l，过F且斜率为 的直线与C交于A，B两点，D
为AB的中点，且 于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为 ，则
（ ）
A． B．4 C． D．
4
学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【分析】设出直线AB的方程，联立抛物线方程，表达出 点坐标，作出辅助线，求出 ，
得到四边形DMFN为平行四边形，利用面积列出方程，求出 .
【详解】由题意知 ，直线AB的方程为 ．
设 ，由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
由 ，得 ．
如图所示，作 轴于点E，则 ．
因为 ，
故 ， ，
又 ，故 ，
又 ，得四边形DMFN为平行四边形．
所以其面积为 ，解得 ．
故选：A
5
学科网（北京）股份有限公司8．已知函数 ，以下说法中，正确的是（）
①函数 关于点 对称；
②函数 在 上单调递增；
③当 时， 的取值范围为 ；
④将函数 的图像向右平移 个单位长度，所得图像对应的解折式为 ．
A．①② B．②③④ C．①③ D．②
【答案】D
【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦函数的性质，解决函数图像的对称中心、
单调区间、值域和平移问题.
【详解】由题意可得，微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
,
由 ，则 ，所以 图像的对称中心为 ，说法①错误；
，则 ， 是函数 单调递增区间，说法②正确；
当 时， ， ，则 的取值范围为 ，说法③错误；
将函数 的图像向右平移 个单位长度，所得图像对应的解折式为
，说法④错误.
故选：D
6
学科网（北京）股份有限公司9．已知定义在 上的函数 是偶函数，当 时， ，若关于 的方程
，有且仅有6个不同实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由偶函数性质可以画出函数 的图像，关于 的方程 有6个不
同的实数根，根据数形结合和韦达定理即可求得结果.
【详解】由题意可知，函数 的图像如下图所示：
根据函数图像，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
且 时取最大值2，在 时取最小值0， 是部分图像的渐近线.
令 ，则关于 的方程 即可写成
此时关于 的方程应该有两个不相等的实数根（其他情况不合题意），
设 为方程的两个实数根，
显然，有以下两种情况符合题意：
①当 时，此时 ，则
7
学科网（北京）股份有限公司②当 时，此时 ，则
综上可知，实数 的取值范围是 .
故选：C.
第Ⅱ卷
二､填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答
对的给5分。）
10．【原创】已知复数 （ 是虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于第_____象限.
【答案】一
【解析】化简得到 ，得到复数对应象限.
【详解】 ，复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，
故复数 在复平面内对应的点位于第一象限.
故答案为：一.
11．【原创】若 的展开式中所有项的系数和为 ，则展开式中 的系数为
__________.
【答案】
【分析】令 ，解出 ，进而通过二项展开式的通项公式即可求解；
【详解】令 ，得 ，解得 ，进而可得 的展开式为 ，令
，得 ，令 ，得 ，故 的系数为 .
故答案为：
12．【原创】已知 ，则 的最小值为____________.
8
学科网（北京）股份有限公司【答案】4
【分析】将 构造变形为 ，然后利用基本不等式即可求解；
【详解】由 ，当且仅当 ，
也即 时等号成立，故最小值为4.
故答案为：4
13．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已
知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 ， ， ，且各轮问题能否正确回答互不影响，
则该选手被淘汰的概率为_________．
【答案】
【分析】设事件 表示“该选手能正确回答第 轮的问题”，选手被淘汰，考虑对立事件，代入
的值，可得结果；
【详解】记“该选手能正确回答第 轮的问题”为事件 ，则 .
该选手被淘汰的概率：
故答案为：
14．【原创】已知圆 与圆 外切，此时直线 被
圆 所截的弦长为__________．
【答案】
9
学科网（北京）股份有限公司【分析】由两圆外切关系求出 的值，进而代入公式即可求解；
【详解】由题意可得： ，即圆 的圆心为 ，半径为 ，即圆
心到直线 的距离为 ，故所截弦长为 .
故答案为：
15．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，
图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若
，则 的值为________ ；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形
ABCDEFGH八条边上的动点，则 的最小值为______.
【答案】
【分析】以点 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，由 ，
列出方程组，求得 ，从而得到 ；设 ，则 ，由 即可求得
的最小值.
【详解】
10
学科网（北京）股份有限公司，以点 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，
正八边形内角和为 ，则 ，
所以， ,
,
因为 ，则 ，
所以 ，解得 ，
所以 ；
设 ，则 ，
，则 ，
所以，当点 在线段 上时， 取最小值 .
故答案为： ， .
三、解答题（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）
16．(本题14分)在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
.
(1)求 的值；
11
学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）求 的值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）
【分析】（1）利用正弦定理化简原式，直接利用余弦定理求 的值即可；
（2）（i）由（1）可得 ，再利用正弦定理求 的值，利用同角三角函数的基本关系和两角和
的正切公式即可求解；
（ii）由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果．
【详解】（1）在 中，由正弦定理
可得： ，整理得 ，
由余弦定理，可得 ；
（2）（i）由（1）可得 ，又由正弦定理 ，
及已知 ，可得 ，
由已知 ，可得 ，故有 ，
为锐角，可得 ， ，
则 ；
12
学科网（北京）股份有限公司（ii）由（i）可得 ， ,
.
17．(本题15分)已知正三棱柱 中，侧棱长为 ，底面边长为2，D为AB的中点.
(1)证明： ；
(2)求二面角 的大小；
(3)求直线CA与平面 所成角的正弦值. 微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）由正三棱柱的性质可得 平面 ，再利用线面垂直的判定定理即可证明 平面
，即可得 ；（2）以 的中点 为坐标原点，建立空间直角坐标系利用空间向量与二面
角的几何关系即可求得二面角 的大小为 ；（3）根据（2）中结论，利用线面角与空间向量的
关系即可得直线CA与平面 所成角的正弦值为 .
【详解】（1）由 为正三棱柱可知， 平面 ，
13
学科网（北京）股份有限公司又 平面 ，所以 ，
由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以 ；
又 ， 平面 ，所以 平面 ；
又 平面 ，所以 ；
（2）取线段 的中点分别为 ，连接 ，
易知 两两垂直，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标
系 ，如下图所示;
由侧棱长为 ，底面边长为2可得，
，
由D为AB的中点可得 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ；
即 ；
14
学科网（北京）股份有限公司易得 即为平面 的一个法向量，
所以 ，
设二面角 的平面角为 ，由图可知 为锐角，
所以 ，即 ；
即二面角 的大小为 .
（3）由（2）可知 ，平面 的一个法向量为 ，
设直线CA与平面 所成的角为 ，
所以 ，
即直线CA与平面 所成角的正弦值为 .
18．(本题15分)已知数列 满足 ，其前8项的和为64；数列 是公比大于0的等比数列，
， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 ， ，求数列 的前 项和 ；
(3)记 ，求 ．
【答案】(1) ，
15
学科网（北京）股份有限公司(2)
(3)
【分析】（1）根据条件得到等差数列的公差，利用前 项和公式，求出首项，得到通项公式，设出公比，
得到方程，求出公比，写成通项公式；
（2）写出 的通项公式，利用裂项相消法求和；
（3）方法一：变形得到 ，其中 利
用错位相减法求和， 分 为偶数和 为奇数两种情况求解，最终求出 ；
方法二：变形后， 利用裂项相消法求和， 分 为偶数和 为奇数
两种情况求解，最终求出 .
【详解】（1）∵ ，
∴数列 是公差为 等差数列，且 ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
设等比数列 的公比为 （ ），
∵ ， ，
，即 ，
解得 （舍去）或 ，
∴
16
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）得
，
（3）方法一：
∵ ，
①
②
两式相减得，
17
学科网（北京）股份有限公司，
，
当 为偶数时，
，
当 为奇数时，
，
.
方法二：
当 为偶数时，
，
当 为奇数时，
18
学科网（北京）股份有限公司，
.
19．(本题15分)已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为 、 ，点 、 为
椭圆上异于 、 的两点， 面积的最大值为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 、 的斜率分别为 、 ，且 ．
①求证：直线 经过定点．
②设 和 的面积分别为 、 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；② 微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
【分析】（1）根据题意可得出关于 、 、 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆 的方程；
（2）①分析可知直线 不与 轴垂直，设直线 的方程为 ，可知 ，设点 、
.将直线 的方程的方程与椭圆 的方程联立，列出韦达定理，利用 求出 的值，即可得
出直线 所过定点的坐标；
②写出 关于 的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得 的最大值.
【详解】（1）解：当点 为椭圆 短轴顶点时， 的面积取最大值，
且最大值为 ，
19
学科网（北京）股份有限公司由题意可得 ，解得 ，
所以，椭圆 的标准方程为 .
（2）解：①设点 、 .
若直线 的斜率为零，则点 、 关于 轴对称，则 ，不合乎题意.
设直线 的方程为 ，由于直线 不过椭圆 的左、右焦点，则 ，
联立 可得 ，
，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，则 ，
所以，
，解得 ，
即直线 的方程为 ，故直线 过定点 .
②由韦达定理可得 ， ，
所以，
，
20
学科网（北京）股份有限公司，则 ，
因为函数 在 上单调递增，故 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最大值为 .
20．(本题16分)设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证
明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
【答案】(1) 的减区间为 ，增区间为 .
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ）
， ，则题设不等式可转化为 ，结合零点满足的方程进一
21
学科网（北京）股份有限公司步转化为 ，利用导数可证该不等式成立.
【详解】（1） ，
当 ， ；当 ， ，
故 的减区间为 ， 的增区间为 .
（2）（ⅰ）因为过 有三条不同的切线，设切点为 ，
故 ，
故方程 有3个不同的根，
该方程可整理为 ，
设 ，
则
，
当 或 时， ；当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
因为 有3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： 且 ，
22
学科网（北京）股份有限公司此时 ，
设 ，则 ，
故 为 上的减函数，故 ，
故 .
（ⅱ）当 时，同（ⅰ）中讨论可得：
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
不妨设 ，则 ，
因为 有3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： ，
因为 ，故 ，
又 ，
设 ， ，则方程 即为：
即为 ，
记
则 为 有三个不同的根，
设 ， ，
23
学科网（北京）股份有限公司要证： ，即证 ，
即证： ，
即证： ，
即证： ，
而 且 ，
故 ，
故 ，
故即证： ，
即证：
即证： ，
记 ，则 ，
设 ，则 ，所以 ，
，
故 在 上为增函数，故 ，
所以 ，
24
学科网（北京）股份有限公司记 ，
则 ，
所以 在 为增函数，故 ，
故 即 ，
故原不等式得证：微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
25
学科网（北京）股份有限公司26
学科网（北京）股份有限公司
