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2025—2026 学年度上学期 2024 级
期中考试数学试卷
命题人：吕跃 审题人：刘超
考试时间：2025年11月13日
一、单选题
1. 已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法化简，再应用模长公式计算求解.
【详解】复数 满足 ，
则 ，
则 .
故选：B.
2. 已知直线 的方向向量为 且 经过 两点，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据 求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
又直线 的方向向量为 ，所以 ，故 ，即 .
故选：D
3. 已知直线 ，平面 给出下列命题：
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学科网（北京）股份有限公司①若 ，且 ，则 ；
②若 ，且 ，则 ；
③若 ，且 ，则 ；
④若 ，且 ，则 .
其中正确的命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据面面垂直、面面平行的判定定理，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】命题①：若 ， ，则 ，或 ，
又 ，所以 ，①正确；
命题②：若 ， ，则 ，或 ，
又 ，此时 与 可能平行，也可能相交，②错误；
命题③：若 ， ，则 ，或 ，
又 ，此时 与 可能平行，也可能相交，③错误；
命题④：若 ， ，则 ，
又 ，所以 ，④错误；
所以正确的命题个数是1.
故选：A
4. 某人有 把钥匙，其中 把能打开门．现随机地取 把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那
么第二次才能打开门的概率为 ；如果试过的钥匙不扔掉，那么第二次才能打开门的概率为 ，则
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出两种情况下的样本空间和相应情况下“第二次才能打开门”事件的样本空间，再结合古典
概型的概率公式求出 ，即可求解.
【详解】将能打开门的两把钥匙记为 和 ，不能打开门的两把钥匙记为 和 ，
记事件 “第二次才能打开门”， 表示开门两次事件的样本点， 和 表示第一次和第二次取到
的钥匙记号，
则将不能开门的钥匙立即扔掉且开门两次的事件的总样本空间为：
共12个样本
点，
则 共4个样本点，
所以如果将不能开门的钥匙立即扔掉，第二次才能打开门的概率为 .
如果试过的钥匙不扔掉且开门两次的事件的总样本空间为：
共16个样本点，
则 共4个样本点，
所以如果试过的钥匙不扔掉，第二次才能打开门的概率为 ，
则 .
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司5. 如图，在正方体 中，若点 是侧面 的中心，且
，则 的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算、结合空间向量基本定理计算得解.
【详解】在正方体 中，
，
而 ，
因此 ， ， ，
所以 .
故选：A.
6. 已知 ， 为椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆的离心率为 ，M为椭圆上一动点，
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学科网（北京）股份有限公司则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理列式，结合椭圆的定义以及基本不等式求得 的最大值.
【详解】设 ，
，
在三角形 中，由余弦定理得：
.
由于 ，所以 的最大值为 .
故选：A
7. 已知 ，函数 的最小值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，化简得 ，转化为点 到点
和到直线 的距离之和的 倍，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由函数 ，
可得 ，
则 ，
因为 表示点 到定点 的距离，
表示点 到直线 的距离，
所以 表示点 到点 和到直线 的距离之和的 倍，
如图所示，过点 作 ，垂足为 ，
当点 在线段 上时，可得 ，
所以 的最小值为 .
故选：C.
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学科网（北京）股份有限公司8. 已知直线 与圆 交于不同的两点 ，若 存在最小
值且最小值不大于 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据 存在最小值分析出 ，再根据 最小值不大于 列出关于 的不等式即
可求解.
【详解】将直线 变形为 ，
则可知直线恒过定点 ，且 ，
若 ，则直线可和圆 相切，如图所示，此时 重合，若直线与圆 交于不同的两点 ，
则 可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故 ，
即 在圆 内，直线与圆 一定交于两点 ，此时对于任意给定的半径 ，
根据圆的性质，当 时，弦 最短， 最小，此时弦长 ，
在 中，当 时，此时 ，
由题意，已知 最小值不大于 ，则最小值对应的弦 满足 ，
即 ，解得 ，
综上， 的取值范围为 .
故选：C.
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学科网（北京）股份有限公司二、多选题
9. 在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A. 任意一条直线都有倾斜角
B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C. 若一条直线的倾斜角为 ，则该直线的斜率为
D. 分别在 轴、 轴上截距相等的直线的斜率为 .
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义一一判断即可.
【详解】任何一条直线都存在倾斜角，A正确；
钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误；
若一条直线的倾斜角 ，则斜率不存在，C错误；
分别在 轴、 轴上截距相等的直线可以过原点，斜率可以不是 ，D错误；
故选:BCD.
10. 已知实数 满足方程 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
【答案】AB
【解析】
【分析】设 ， ，将ABD中的式子化为三角函数的形式，根据三角函数的最
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学科网（北京）股份有限公司值可求得结果；根据 的几何意义，利用圆的切线的求解方法可求得 的取值范围，由此确定C的正误.
【详解】由 得： ，可设 ， ；
对于A， ，
当 时， ，A正确；
对于B， ，
当 时， ；B正确；
对于C， 表示圆 上的点与坐标原点连线的斜率，
设过坐标原点的圆的切线方程为 ，则 ，解得： ，
， ，C错误；
对于D， ，
当 时， ，D错误.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：本题考查与圆上的点的坐标有关的最值问题的求解，解题关键是能够利用换元法，
结合三角恒等变换的公式将问题转化为三角函数值域的求解.
11. 设 为椭圆 的长轴的两个端点， 为椭圆上与 不重合的动点， 分别为椭圆的
左､右焦点， ，则下列结论中正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 直线 的斜率之积为
B. 最大值为7
C. 存在点 满足
D. 若 的内心为 的延长线交线段 于点 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】设 则 ，分别表示出 和 ，计算化简 ，A正确，由椭圆定义得
到 ，从而 ，当点 在 的延长线上时 取得
最大值 ，从而 取得最大值 ，B正确；由圆的性质判断点 的轨迹，圆和椭圆没有交点，C
错误；在 和 中分别利用角平分线性质定理，得到 ，D正确.
【详解】由椭圆 知 ， ， ，
A选项，因为 为长轴的两个端点，所以 ，
设 ， ，则 ，
，
，A正确；
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学科网（北京）股份有限公司B选项，因为点 是椭圆上一点，所以 ，所以 ，
，
是椭圆内一点， ，当且仅当点 在 的延长线上，即在 时等号成立，
因为 ， 的最大值为 ，
的最大值为 ，B正确；
C选项，若点 满足 ，则点 落在以 为直径，即以原点为圆心， 为半径的圆上，
因为 ，所以圆与椭圆没有交点，所以不存在 ，C错误；
D选项，内心是角平分线的交点，由角平分线性质定理，
在 中，因为 是 的角平分线，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司在 中，因为 是 的角平分线，所以 ，
所以 ，D正确；
故选：ABD.
三、填空题
12. 已知定点 ，点 在圆 上运动， 的平分线交 于点 ，则点 的轨迹方
程是__________.
【答案】
【解析】
【分析】设 点的坐标，应用角平分线定理得出 ，利用坐标公式得到 点坐标代入圆的方程
即可；
【详解】由题意知 ，
设 ， ，
因为 是 的平分线，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
将 点代入圆的方程 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的轨迹方程为 ；
故答案为： .
13. 已知点 和点 关于直线 对称，斜率为 的直线 过点 且与直线 相交于点 ，
若 的面积为2，则 _______________.
【答案】0
【解析】
【分析】先求出点 的坐标，再利用 的面积为2，得到关于 的方程，从而求得答案.
【详解】设点 ，则 ，解得 ，则 ，
设直线 与 联立，解得 ，则 ，
因为直线 的方程为 ，且 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 .
故答案为：0
14. 设椭圆 长轴的端点分别为 ，点 为椭圆上异于 的一点，若在
中满足 ，则椭圆的离心率为____________．
【答案】 ##
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据 以及两角和的正切公式，可得
，这可看成是直线 斜率相乘为 ，然后根据两点间斜率公式以及椭圆
方程，即可求解.
【详解】由 可得
所以
设 ，
所以
故
故答案为：
四、解答题
.
15 已知点 ， ，直线l经过点 .
（1）若l与直线AB垂直，求l的方程；
的
（2）若l与线段AB有交点，求l 倾斜角的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先由两点间斜率公式结合垂直直线斜率关系求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得解；
（2）依次求出 和 ，数形结合斜率与直线倾斜角的关系即可求解.
【小问1详解】
由题 ，
因为l与直线AB垂直，所以 ，
所以l的方程为 .
【小问2详解】
依题意 ， ，
若l与线段AB有公共点，如图，则l的斜率k的取值范围是 ，
设直线倾斜角为 ，则 ，
故倾斜角的取值范围是 .
16. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上一点.
（1）若焦距为 ，点 的坐标为 ，求椭圆 的标准方程；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的值.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据焦距可以求解 的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解 ， 的
值；
（2）由 的面积求解 的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可.
【小问1详解】
已知 ，所以得： ，即 ，
由于点 在椭圆上，将其代入椭圆方程 ，
可得： ，即 ，
又因为 ，即 .
联立 ，整理得： ，解得： 或 （舍）
所以 ，故椭圆 的标准方程为 .
【小问2详解】
因为 ，所以 的面积 ，
则 ，根据椭圆定义可得： .
根据余弦定理可得： ，
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学科网（北京）股份有限公司整理得： ，
代入得： ，即 ，即得： .
17. 中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之
队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌．其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，
采用五场三胜制．每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月9日，中国
队对战瑞典队，最终以 取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，
中国队在每场比赛中获胜的概率均为 ．
（1）求中国队以 获胜的概率
（2）求至多进行四场就结束比赛的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用独立事件的乘法公式进行求解即可；
（2）设中国队进行三场、四场比赛获胜分别为事件 ，瑞典队进行三场、四场比赛获胜分别为事件
，至多进行四场比赛为事件 ，分别求出 ， 的概率，再利用互斥事件的加法公式即可
求出事件 的概率.
【小问1详解】
设事件 “中国队以 的比分获胜”，
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学科网（北京）股份有限公司因为中国队在每一场中获胜的概率均为 ，所以 ，
中国队以 的比分获胜的概率为 ；
【小问2详解】
设中国队进行三场、四场比赛获胜分别为事件 ，瑞典队进行三场、四场比赛获胜分别为事件 ，
至多进行四场比赛为事件 ，
所以 ， ，
， ，
， 是互斥事件，
所以 ，，
，
所以至多进行四场就结束比赛的概率为 .
18. 如图1，在平行四边形 中， ，E为 的中点．将 沿
折起，连接 与 ，如图2．
（1）当 为何值时，平面 平面 ?
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学科网（北京）股份有限公司（2）设 ，当 时，是否存在实数 ，使得直线 与平面 所成角
的正弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
（3）当三棱锥 的体积最大时，求三棱锥 的内切球的半径．
【答案】（1）
（2）存在，
（3） .
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，从而可得线线垂直，然后计算，最后再证明面面垂直即可；
（2）通过参数来表示空间向量的坐标，再利用空间向量法来求线面角，即可得到参数方程求值；
.
（3）先利用几何法找到体积最大值，再利用等体积法来求内切球半径即可
【小问1详解】
连接 ，由题意得， ，
则 为等边三角形， ，
在 中， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，由 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，故 .
若平面 平面 ，
由平面 平面 ， 平面 ， ，
则 平面 ， 平面 ，则 ，
所以 .
下面证明当 时，平面 平面 .
证明：由 ，则 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
故当 时，平面 平面 ；
【小问2详解】
由（1）知， ，则平面 平面 .
在平面 内过 作 ，
由平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 ， 平面 ，则 .
如图，以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，
过 垂直于平面 的直线 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
故 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，
，
因为 轴垂直平面 ，故可取平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，
解得 ，或-4（舍）故当 时，存在 ，
使直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
【小问3详解】
设点 到平面 的距离为 ，
由 ，其中 为定值，
则要使三棱锥 的体积最大时，则点 到平面 的距离取最大值，
取 中点 ，连接 ，则 ，
当 平面 时，点 到平面 的距离最大，
此时，由 平面 ，则平面 平面 ，
由（1）知， ， 为直角三角形， .
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
，
，
在 中， ，取 中点 ，
则 ，且 ，
所以 ，
设内切球球心为 ，内切球半径为 ，由等体积法知，
其中， ，
故 ，
故当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 的内切球的半径为 .
19. 动圆 ： 与直线 ： 交于 两点．
（1）证明：动圆 必过两定点，并求出这两点坐标；
（2）求 的最小值；
（3）是否存在一条定直线，在其上任取点 ，无论 为何值，都有 为常数，若存在，求出定直
线方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） 或 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2） ；
（3）存在， .
【解析】
【分析】（1）将圆的方程整理得 ，由 ，可解得两定
点；
（2）求出圆 的圆心坐标和半径 ，求圆心到直线 的距离为 ，
使用公式 ，将 和 代入整理得 ，设 ，利用二
次函数的图像和性质求出 ；
（3）设定 ， ， ，根据向量法得出 ，经整理后得到
，因为无论 为何值，都有 为常数，则有
，进而得到定直线.
【小问1详解】
，
整理得 ，
由 ，解得 或 ，
即动圆 恒过两定点的坐标为 或 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
由圆的方程 可得，
圆 的圆心坐标为 ，
圆 的半径为 ，
则圆 圆心到直线 ： 的距离为 ，
的
所以 两点间的距离 ，
整理得 ，
设 ，其对称轴为 ，
故 ，
所以 .
【小问3详解】
设 ， ，
将直线 代入圆 中，
得 ，
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学科网（北京）股份有限公司整理得 ，根据韦达定理得 ，
设 ，则 ， ，
则有 ，
整理得 ，
即有 ，
整理得 ，
因为无论 为何值，都有 为常数，
则令 ， 为常数 .
故存在定直线 ，即 ，其上任意点 满足条件.
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学科网（北京）股份有限公司
