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数学试题部分
（本卷满分150分 共4页 考试时间120分钟）
一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分）
1. 已知集合 ， ， ，则M、N、P
的关系满足（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将集合 化简变形成统一形式，然后分析判断即可.
【详解】因为 ，
所以 ．
故选：B．
2. 已知集合 ，若集合 有15个真子集，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】根据真子集的定义，推断出集合 含有4个元素，即不等式 的解集中有且仅有4个
整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数 的取值范围．
【详解】若集合 有15个真子集，则 中含有4个元素，
结合 ，可知 ，即 ，且区间 , 中含有4个整数，
①当 时， , 的区间长度 ，此时 , 中不可能含有4个整数；
②当 时， , , ，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；
③当 时， , 的区间长度大于3，
若 , 的区间长度 ，即 ．
若 是整数，则区间 , 中含有4个整数，根据 ，可知 ， ，
此时 , , ，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意．
若 不是整数，则区间 , 中含有5、6、7、8这4个整数，则必须 且 ，
解得 ；
若 时， , , ，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；
当 时， , 的区间长度 ，此时 , 中只能含有6、7、8、9这4个整数，
故 ，即 ，结合 可得 ．
综上所述， 或 或 ，即实数 的取值范围是 , , ．
故选：D．【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得 ，且区间 , 中含有4个整数，结合区间长度 ，
即可对 讨论求解.
3. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可.
【详解】易知集合 ， ，
则 中 前面的系数应为 的最小公倍数，故排除A，B，
对于C，当 时，集合 为 ，
而令 ，可得 不为整数，故 不含有7，
可得 中不含有7，故C错误，
故选：D
4. 已知命题“ ”为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据命题是真命题的意思求解即可.
【详解】因为命题“ ”为真命题，
所以命题“ ”为真命题，
所以 时， .因 ，
为
所以当 时， ，此时 .
所以 时， ，即实数 的取值范围是 .
故选：C.
5. 如果对于任意实数 ， 表示不超过 的最大整数.例如 ， .那么“ ”是“
”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给定义以及充分条件与必要条件的定义推导即可.
【详解】如果 ，比如 ，则有 ，
根据定义， ，
即“ ”不是“ ”的充分条件，
如果 ，则有 ，
，所以“ ”是“ ”的必要条件；
故“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
故选：B.
6. 已知实数 ，且 ，则以下说法正确的是（ ）
A. B. 的值为4或8 C. D. 的值为【答案】B
【解析】
【分析】由 ，且 可得 或 ，后验证各选项即可得答案.
【详解】因 ，则 ，又 ，
则 或 .
则 或 ，结合 ，得 或 .
A选项，当 时， ；当 时， ，故A错
误；
B选项，当 时， ；当 时， ，故B正确；
C选项，当 时， ；当 时， ，故C错误；
D选项，当 时， ；当 时， ，故D错误.
故选：B
7. “喊泉”是一种地下水的毛细现象.在合适的条件下，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内
的储水池，进而产生一系列物理声学作用.已知声音越大，涌起的泉水越高，声强 与参考声强 之比的常用对数称作声强的声强级，记作 （单位：分贝），即 .若某处“喊泉”的声强级 （单位：分
贝）与喷出的泉水高度 （单位：分米）满足关系式 ， 两人分别在这处“喊泉”大喊一声，若
“喊泉”喷出泉水的高度比 “喊泉”喷出的泉水高度高5分米，则 “喊泉”的声强是 “喊泉”声强的（
）
A. 5倍 B. 10倍 C. 20倍 D. 100倍
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数的运算性质可求.
【详解】设 的声强分别为 “喊泉”喷出泉水的高度分别为 ，
则 ，即 ，
从而 ，即 ，所以 .
故 “喊泉”的声强是 “喊泉”声强的100倍.
故选：D
8. 已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先得出 ，再利用基本不等式求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：C.
二、多选题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
9. 设 ，若 ，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】分 、 两种情况讨论，分别确定集合 ，即可求出参数 的值.
【详解】因为 ，且 ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，又 ，所以 或 ，解得 或 ，
综上， 或 或 .
故选：ABD
10. 当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，
但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合 ， ，
若 与B构成“全食”或“偏食”，则实数 的取值可以是（ ）
A. -2 B. C. 0 D. 1
【答案】BCD【解析】
【分析】考虑 时， ， 时， ，依次将各个选项中的数据带入，计算集合 ，
再判断 和 之间的关系得到答案.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
对选项A：若 ， ，此时 ，不满足；
对选项B：若 ， ，此时 ，满足；
对选项C：若 ， ，此时 ，满足；
对选项D：若 ， ，此时 ，满足；
故选：BCD.
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 是 的必要不充分条件
B. “ ”是‘ ’成立的充分条件
C. 命题 ，则
D. 为无理数是 为无理数的既不充分也不必要条件
【答案】BD
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断ABD，根据全称量词命题的否定为特称量词命题的否定判断
C.
【详解】对于A，若 ，则 ，但由 不能推出 ，所以 是 的充分不必要条件，故A错误；
对于B， 时， 一定成立，
所以 是 成立的充分条件，故B正确；
对于C，命题 ，则 ，故C错误；
对于D，当 时， ，
当 时， 为无理数，
所以 为无理数是 为无理数的既不充分也不必要条件，故D正确.
故选：BD.
12. ，运算“ ”为 ，则（ ）
A. B.
C. D. 若 ，则
【答案】ABCD
【解析】
【分析】由运算“ ”的定义分别计算判断A、B、C，用分析法分别从条件和结论出发证明得到D.
【详解】对于A， ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，，
所以 ，故C正确；
对于D，若 ，则 ， ，
要证 ，只需要证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，即证 ，
因为 ， ，所以上式成立，所以 ，故D正确.
故选：ABCD.
三、填空题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
13. 设 、 是非空集合，定义 且 .已知 ，
，则 ________.
【答案】 或
【解析】
【分析】先求出 ，再求出 ，从而可求 。
【详解】∵ 、 是非空集合， 且 ，
而 ， ，∴ ， ，
故 或 .
故答案为： 或 .
14. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是
______．【答案】
【解析】
【分析】可求出集合 ，然后根据 ，得到 ，从而求出实数 的取值范围.
【详解】由 ，可得 ，
由于 ，且 ，则 ，
所以 ，则实数 的取值范围是 ，
为
故答案 ：
15. 已知命题“ ： ， ”，若 是假命题，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由特称量词与全称量词得出命题的否定，再由一元二次不等式恒成立得出实数 的取值范围.
【详解】若 是假命题，则 ， ，
当 时，代入不等式得 成立；
当 时， ，
综上可得实数 的取值范围是 .
故答案为：
16. 设正实数 满足 ，且 ，则 的最小值为__________.
【答案】 ##
【解析】【分析】化简 ，利用基本不等式得
.
可得答案
【详解】 ，
由于 是正实数，且 ，
所以
，
当且仅当 ，即 ，所以 时等号成立，
则 的最小值为2，所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
则 最小值为 .
故答案为： .
四、解答题（本题共6小题 第17题10分 第18-22题12分 满分70分）17. 设 为全集，集合 ， .
（1）若 ，求 ， ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合 ， ，然后结合集合的交集及补集运算即可求解；
（2）由已知结合集合的包含关系对集合 是否为空集进行分类讨论即可求解.
【小问1详解】
（1）由题意可得 ，
当 时， ，
所以 ，
因为 ，
所以
【小问2详解】
由(1)知， ，
若 ，即 ，解得 ，此时满足 ；
若 ，要使 ，则 ，解得 ，
综上，若 ，所求实数 的取值范围为18. 已知集合 ， .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若将题干中的集合 改为 ，是否有可能使命题 ：“ ，都有
”为真命题，请说明理由.
【答案】（1）
（2）不可能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接根据 列不等式求解；
（2）先得到 ，再根据包含关系列不等式求解.
【小问1详解】
因为 ，
所以 或 或 ，
解得 或 或 ，
所以 ；
【小问2详解】
若 ， ，
对 ，都有 ，则 ，所以 ，该不等式组无解，
故命题 ：“ ，都有 ”为真命题不可能.
19. 已知集合 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若存在正实数m，使得“ ”是“ ”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解指数不等式，一元二次不等式化简集合 ，然后由交集定义计算；
（2）根据充分不必要条件的定义得不等式组求解；
【小问1详解】
因 ，则 .
当 时， ，所以 .
【小问2详解】
的
因“ ”是“ ”成立 充分不必要条件，则A是B的真子集.
所以 ，经检验“=”满足.
所以实数m的取值范围是 .20. （1）计算： ；
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1）9；（2）1
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算性质和分数指数幂的运算性质求解；
（2）由 求出 ，然后代入 中化简计算即可.
【详解】（1）
；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴．
21. 为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所
花园式的校园．学校决定在原有的矩形花园 的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园 ．为
了方便施工，建造时要求点B在 上，点D在 上，且对角线 过点C，如图所示．已知
．
（1）当 的长度为多少时，矩形 的面积最小？并求出最小面积．
（2）要使矩形 的面积大于 ，则 的长应在什么范围内？
【答案】（1） 时，矩形 的面积最小，最小面积2400
（2）
【解析】
【分析】（1）设出 的长为 ，则 ，表示出矩形面积的解析式，利用不等
式求解；
（2）化简矩形面积，利用基本不等式求解.
【小问1详解】
设出 的长为 ，则 ，
， ， ，∴矩形 的面积 ，
由基本不等式得： ，
当且仅当 时，取“=”， 当 ,即 时， ；
【小问2详解】
由（1）得 ，即 ，
∴ ，
∴ 或 ，
的范围在 ．
22. 已知整数 ，集合 ， ， ，满足 ，
对任意的 ，都有 且 .记 .
（1）若 ，写出两组满足条件的集合 ， 并写出相应的 ；
（2）证明： ；
（3）求 的所有可能取值.
【答案】（1）答案见解析；
（2）证明见解析； （3） .
【解析】
【分析】（1）根据 中的元素递增， 中元素递减，即可列举求解，（2）根据 和 两种情况，结合 中的元素递增， 中元素递减，即可分类求解，
（3）根据 ， ，可得 ，根据
，可得 ， ，…， 是 ，…， 的排列，即可由
求解.
【小问1详解】
（共6组，任写2组即可）
， ， . ， ， .
， ， . ， ， .
， ， . ， ， .
【小问2详解】
由题设可得 ，
若 ，则 ，而 ， ， ，…， ，
所以 ，
若 ，由于 即 ，由于 ，
故 ，由于 ，
而 需要有 个不同的元素，故矛盾，因此 ， ，结论成立.
若 ，则由 且 ， ，…， 互不相同的正整数，知 ，
若 ，由于 即 ，由于 ，
故 ，由于 ，而 需要有 个不同的元素，故 ，而 ，
故此时 不符合要求，
故 ，所以 ，结论成立.
【小问3详解】
设 ，则 ， ，
两个 中，其中一个取等号，另一个不取等号，所以 比 中至少 个数大，
因此 ，即 ， ，…， ，而 ， ，…， 两两不同，
所以 ， ，…， 恰好是 ，…， 的一个排列.
再设 ，则 ， ，…， ，
， ，…， 恰好是 ，…， 的一个排列，
所以 ， ，…， 是 ，…， 的排列，故有：
【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程
中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本
的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
