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数学试题部分
（本卷满分150分 共4页 考试时间120分钟）
一、单选题（本题共8小题 每小题5分 共40分）
1. 已知 或 ， ，则 ＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集的定义即可求解.
【详解】因 为或 ， ，
所以
故选：D.
2. 设集合 ， ，则 （ ）．
A. B.
C. D. {x|−1≤x≤3}
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合的并集进行求解即可.
【详解】集合 ， ，
则 ，
故选：D.
3. 若集合 ， ，且 ，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】分别讨论 与 两种情况，结合题意，列出不等式，求解即得.
【详解】因为集合 ， ，且 ，
当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 ，或 ，解得 ；
综上所述， 的取值范围是 .
故选：D.
4. 下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有（ ）
A. ， B. 所有的正方形都是矩形
C. ， D. 至少有一个实数 ，使
【答案】A
【解析】
【分析】根据存在命题的否定是全称量词命题进行判断 B即可.ACD原命题的否定是全称量词命题，再判
断原命题的否定是否为真命题进行判断即可.
【详解】对于A，A是特称命题，其否定为： ， ，即 为真命题，A正
确；
对于B，∵B是全称命题，其否定为特称命题，故B排除；
对于C， C是特称命题，其否定为： ， ，即 为假命题，C错误；
对于D， D是特称命题，其否定为：任意实数x，都有 ， 代入不成立，为假命题，D错误；
故选：A．
5. 命题“ ， ”的否定是（ ）A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题可得.
【详解】命题“ ， ”的否定是“ ， ”.
故选：D.
6. 已知 ， ，且 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用“1”的代换求得 的最小值，再由 求解.
【详解】解：设 ，
则 ，解得 ，
则 ，
，
，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为2，
又因为对 ， ，且 恒成立，
所以 ，
故选：B
7. 牛顿冷却定律（Newton's law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体
的初始温度为 ，环境温度为 ，则 分钟后物体的温度 （单位： ）满足：
.已知环境温度为 ，一块面包从温度为 的烤箱里拿出，经过10分钟温度
降为 ，那么大约再经过多长时间，温度降为 ？（参考数据： ）（
）
A. 33分钟 B. 28分钟 C. 23分钟 D. 18分钟
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出方程，指数对数互化，解出即可．
【详解】解：依题意，得 ，
化简得 ，解得 .
设这块面包总共经过 分钟，温度降为30°，
则 ，化简得 ，
解得 ，故大约再经过 （分钟），这块面包温度降为30°，
故选：C.
8. 已知 为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把化简为 为 ，然后利用基本不等式即可求出最小值
【详解】因为 ，则 ，
由于 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最小值为 ，
故选：C
二、多选题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
9. 设 为全集，集合 满足条件 ，那么下列各式中不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合举例及集合的运算和集合的关系求解即可.
【详解】当 ， ， ， 时，满足 ，此时， 不是 的子集，所以A、B不一定成立；
， ，所以C不一定成立；
对于D，若 ，则 ，但 ，因为 ，
所以 ，于是 ，所以 ，
同理若 ，则 ， ，
因此， 成立，所以D成立.
故选：ABC.
10. 对任意 ，记 ，并称 为集合 的对称差．例如：
若 ，则 ．下列命题中，为真命题的是（ ）
A. 若 且 ，则A=∅
B. 若 且 ，则
C. 若 且 ，则
D. 存在 ，使得
【答案】AB
【解析】
【分析】集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可．
【详解】对于 ，因为 ，所以 ，
所以 ，且 中的元素不能出现在 中，因此 ，即 正确；
对于 ，因为 ，所以 ，
即 与 是相同的，所以 ，B正确；对于 ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 错误；
对于 ，由于
,
而 ，故 ，即 错误．
故选：AB．
11. 下列说法不正确的是（ ）
A. “ ”是“ ”的必要不充分条件
B. 若 ，则 的最大值为2
C. 若不等式 的解集为 ，则必有
D. 命题“ ，使得 ．”的否定为“ ，使得 ．”
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据充分、必要条件分析判断；对于B：根据不等式 运算求解；对于C：
根据分类讨论a的符号，结合一元二次不等式分析判断；对于 D：根据特称命题的否定是全称命题分析判
断.
详解】对于选项A：例如 ，则 ，
【
即 ，满足题意，但 ，即充分性不成立；
例如 ，则 ，即 ，满足题意，但 ，即必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，故A不正确；
对于选项B：若 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
1
所以 的最大值为 ，故B不正确；
2
对于选项C：若 ，则 的解集不可能为两数之间，不合题意；
若 ，则 的解集不可能为两数之间，不合题意；
综上所述：若不等式 的解集为 ，则必有 ，故C正确；
对于选项D：命题“ ，使得 ．”的否定为“ ，使得 ”，故D不正确；
故选：ABD.
12. 已知 ，且 ，则（ ）
A. 的最小值是 B. 最小值为
C. 的最大值是 D. 的最小值是
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元， 代入 ，利用二次函数求出最值，得
出B选项；利用 即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D.【详解】对于A，∵ ，且 ，∴ ，即 时，等号成立，
即 的最大值是 ，故A不正确；
对于B，∵ ，∴ ， ，
所以 ，故B正确；
对于C，∵ ，且 ，∴ ，即
当且仅当 时，等号成立，故C正确；
对于D，∵ ，
即 时，等号成立，
所以 的最小值是 ，故D错误．
故选：BC．
三、填空题（本题共4小题 每小题5分 满分20分）
13. 设 、 是非空集合，定义 且 .已知 ，
，则 ________.
【答案】 或
【解析】
【分析】先求出 ，再求出 ，从而可求 。【详解】∵ 、 是非空集合， 且 ，
而 ， ，∴ ， ，
故 或 .
故答案为： 或 .
14. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是
______．
【答案】
【解析】
【分析】可求出集合 ，然后根据 ，得到 ，从而求出实数 的取值范围.
【详解】由 ，可得 ，
由于 ，且 ，则 ，
所以 ，则实数 的取值范围是 ，
故答案为：
15. 已知 ，则 ________．
【答案】5
【解析】
【分析】设 ，再用 表达 求解即可.
【详解】设 ，则 ， ， ，
故 .
故答案为：516. 设 ，则 的最大值为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】设 ，利用基本不等式得到 ，再将右式配凑成
的倍数，从而得解.
【详解】设 ，则 ， ，
当且仅当 ， 时，等号成立，
故 .
令 ，解得 ， ，
所以 ，当 ， 时，等号成立.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解.
四、解答题（本题共6小题 第17题10分 第18—22题12分 满分70分）
17. 设集合 ， ；
的
（1）若 ，求实数 取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）分为 和 两种情形进行讨论，根据 ，列不等式组求实数a的取值范围；
（2）分为 和 两种情形进行讨论，根据 ，列不等式组求实数a的取值范围；
【小问1详解】
由题意，集合 ， ，需分为 和 两种情形进行讨论：
当 时， ，
解得， ，满足题意；
当 时，
因为 ，
所以 ，
解得， ，
综上所述，实数 的取值范围为 .
【小问2详解】
由题意，需分为 和 两种情形进行讨论：
当 时， ，
解得， ，满足题意；
当 时，
因为 ，所以 ，解得 ，
或 无解；
综上所述，实数 的取值范围为 ．
18. 已知集合 ， ，全集 .
（1）当 时，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得集合A，进而根据集合的补集和交集运算求解；
（2）分析可知 ，根据包含关系分析求解.
【
小问1详解】
当 时，集合 ，则 或 ，
所以 .
【小问2详解】
若“ ”是“ ”的必要条件，则 ，
因为 ，则 ，可知 ，
可得 ，解得 ，所以实数 的取值范围 .
19. （1）已知 ，计算 和 的值；
（2）已知 ， ，求 的值．
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】运用换底公式结合对数运算公式化简即可.
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ；
．
（2）（方法一）
．
（方法二）20. （1）设 ，求 的值；
（2）已知 ，且 ，求 的值．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】（1）（2）根据题意将指数式化为对数式，利用换底公式可得 ，代入运算求解即可.
【详解】（1）因为 ，则 ，
则
所以 ；
（2）因为 ，则 ， ，
可得 ， ，则 ．
由题意可得 ，则 ，且 ，所以 ．
21. 中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国
际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打
算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产
出 万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本 （单位：万元），已知当 时， ；
当 时， ；当 时， ，已知生产的该型芯片都能
以每枚80元的价格售出.（1）已知2024年该型芯片生产线的利润为 （单位：万元），试求出 的函数解析式.
（2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测
最大利润.
【答案】（1） ；
（2）当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元．
【解析】
【分析】（1）根据利润等于售价减成本可求利润 的表达式；
（2）根据 的表达式分别求出每段函数的最大值即可.
【小问1详解】
（1）由题意可得， ，
所以 ，
即 .
【小问2详解】
当 时， ；
当 时， ，对称轴 ， ；
当 时，由基本不等式知 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故 ，
综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元．
22. 设 为正整数，集合 ．对于集合 中的任意元
素 和 ，记 ．
（1）当 时，若 ， ，求 和 的值；
（2）当 时，设 是 的子集，且满足：对于 中的任意元素 ，当 相同时， 是奇
数；当 不同时， 是偶数．求集合 中元素个数的最大值；
（3）给定不小于 的 ，从集合 中任取 个两两互不相同的元素 ．证明：存在
，使得 ．
【答案】（1）2，1；
（2）最大值为4个； （3）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）直接根据定义计算；
（2）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明；
（ 3 ） 设 ， ， ， ， 则
且 ，对从集合 中任取 个两两互不相同的元素，分
两种情况讨论，第一种若存在两个不同元素 同时属于一个 ；第二种若任意两个不同元
素 都不同时属于一个 ，由第二种情况推出矛盾即可．
【小问1详解】因为 ，
所以 ，
．
【小问2详解】
设 ，
令 其中 ( )
则 ， ，
，则 ，
当 ，且 ( )时，
由题意知， 是奇数， ( 不同)是偶数，等价于 是奇数， ( 不
同)是偶数．
若 是奇数时，则 中等于1的个数为1或3，
所以 ，
且 ．
将上述集合中的元素分成如下四组：
经检验，每组中两个元素 ，均有 ，
所以每组中两个元素不可能同时是集合 中的元素．
所以集合 中元素的个数不超过4个．
当 且 时， 或 ，所以又集合 满足条件．
所以集合 中元素个数最大值为4个．
【小问3详解】
设 ，
，
，
则 且 ，
从集合 中任取 个两两互不相同的元素，
若存在两个不同元素 同时属于一个 ，则 ，
记 ，
所以，存在 ，使得 ；
若任意两个不同元素 都不同时属于一个 ，
则至多取 个两两互不相同的元素，与已知取 个两两互不相同的元素矛盾．
综上，存在 ，使得 ．
【点睛】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较
