文档内容
2019年四川省攀枝花市中考数学试卷
注：请使用office word软件打开，wps word会导致公式错乱
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. （-1）2等于（ ）
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
2. 在0，-1，2，-3这四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A. 0 B. -1 C. 2 D. -3
3. 用四舍五入法将130542精确到千位，正确的是（ ）
A. 131000 B. 0.131×106 C. 1.31×105 D. 13.1×104
4. 下列运算正确的是（ ）
A. 3a2-2a2=a2 B. -(2a) 2=-2a2
C. (a-b) 2=a2-b2 D. -2(a-1)=-2a+1
5. 如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=50°，则∠2的度数是（
）
A. 55∘
B. 60∘
C. 65∘
D. 70∘
6. 下列判定错误的是（ ）
A. 平行四边形的对边相等
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D. 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形
7. 比较A组、B组中两组数据的平均数及方差，以下说法正确的是（ ）
A. A组、B组平均数及方差分别相等 B. A组、B组平均数相等，B组方差大
C. A组比B组的平均数、方差都大 D. A组、B组平均数相等，A组方差大
8. 一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为a千米/时，下山速度为b千
米/时．则货车上、下山的平均速度为（ ）千米/时．
1 ab a+b 2ab
A. (a+b) B. C. D.
2 a+b 2ab a+b
9. 在同一坐标系中，二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx-a的图象可能是（ ）
1A. B.
C. D.
10. 如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4，
EC=8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，
连接AC，现在有如下4个结论：
①∠EAC=45°；②FG=FC；③FC∥AG；④S =14．
△GFC
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. |-3|的相反数是______．
12. 分解因式：a2b-b=______．
13. 一组数据1，2，x，5，8的平均数是5，则该组数据的中位数是______．
14. 已知x，x是方程x2-2x-1=0的两根，则x2+x2=______．
1 2 1 2
15. 如图是一个多面体的表面展开图，如果面F在前面，从左面
看是面B，那么从上面看是面______．（填字母）
16. 正方形ABCA，ABCA，ABCA，…按如图所示的方式放
1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4
置，点A，A，A，…和点B，B，B，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上．
1 2 3 1 2 3
已知点A（0，1），点B（1，0），则C的坐标是______．
1 1 5
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）
17. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
x-2 x+4
- ＞-3
5 2
218. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，
且BD=CE．求证：
（1）点D在BE的垂直平分线上；
（2）∠BEC=3∠ABE．
19. 某市少年宫为小学生开设了绘画，音乐、舞蹈和跆拳道四类兴趣班．为了解学生
对这四类兴趣班的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所
示），将调查结果整理后绘制了一幅不完整的统计表．
兴趣班 频数 频率
A 0.35
B 18 0.30
C 15 b
D 6
合计 a 1
请你根据统计表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的a=______，b=______；
（2）根据调查结果，请你估计该市2000名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人
数；
（3）王姀和李婴选择参加兴趣班，若她们每人从A、B、C、D四类兴趣班中随机
3选取一类，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一类的概率．
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图
m
象与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点B，与x轴
x
交于点C，点A在y轴上，满足条件：CA⊥CB，且
√5
CA=CB，点C的坐标为（-3，0），cos∠ACO= ．
5
（1）求反比例函数的表达式；
m
（2）直接写出当x＜0时，kx+b＜ 的解集．
x
21. 攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等
大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15
元/千克，且不超过40元/千克．根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y
（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．
销售量y
（千 … 32.5 35 35.5 38 …
克）
售价x
（元/千 … 27.5 25 24.5 22 …
克）
（1）某天这种芒果的售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量．
（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式，如果水
果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？
22. （1）如图1，有一个残缺圆，请作出残缺圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作
法）．
（2）如图2，设AB是该残缺圆⊙O的直径，C是圆上一点，∠CAB的角平分线AD
交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交AC的延长线于点E．
①求证：AE⊥DE；
4②若DE=3，AC=2，求残缺圆的半圆面积．
23. 已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=1，其图象与x轴相交于A，B两点，与
y轴相交于点C（0，3）．
（1）求b，c的值；
（2）直线1与x轴相交于点P．
①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线
x=1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；
②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达
式．
5√3
24. 在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y= x的图象上运动（不
3
与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．
（1）求线段AP长度的取值范围；
（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不
是，请说明理由．
（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．
6答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：（-1）2=1．
故选：B．
根据乘方的意义进行计算．
注意：-1的奇次幂是-1，-1的偶次幂是1．
2.【答案】A
【解析】
解：∵|-1|=1，|0|=0，|2|=2，|-3|=3，
∴这四个数中，绝对值最小的数是0；
故选：A．
根据绝对值的定义先求出这四个数的绝对值，再找出绝对值最小的数即可．
此题考查了有理数的大小比较和绝对值，掌握绝对值的定义是本题的关键，是一道基
础题．
3.【答案】C
【解析】
解：130542精确到千位是1.31×105．
故选：C．
先利用科学记数法表示，然后把百位上的数字5进行四舍五入即可．
本题考查了近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，
所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．
一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
4.【答案】A
【解析】
解：A．3a2-2a2=a2，此选项计算正确；
B．-（2a）2=-4a2，此选项计算错误；
C．（a-b）2=a2-2ab+b2，此选项计算错误；
D．-2（a-1）=-2a+2，此选项计算错误；
故选：A．
根据合并同类项法则、单项式的乘方、完全平方公式和单项式乘多项式法则逐一计算
可得．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握合并同类项法则、单项式的乘
方、完全平方公式和单项式乘多项式法则．
5.【答案】C
【解析】
解：∵AD=CD，∠1=50°，
∴∠CAD=∠ACD=65°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠ACD=65°．
故选：C．
直接利用等腰三角形的性质结合平行线的性质得出答案．
此题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，正确得出∠ACD=65°是解题关
键．
6.【答案】B
【解析】
解：A、平行四边形的对边相等，正确，不合题意；
B、对角线相等的四边形不一定就是矩形，故此选项错误，符合题意；
7C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，不合题意；
D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确，不合题意；
故选：B．
直接利用特殊四边形的性质与判定方法分别分析得出答案．
此题主要考查了特殊四边形的性质与判定方法，正确掌握相关性质是解题关键．
7.【答案】D
【解析】
解：
由图象可看出A组的数据为：3，3，3，3，3，2，2，2，2，B组的数据为：2，2，2，
2，3，0，0，0，0
则A组的平均数为 = ×（3+3+3+3+3+2+2+2+2）=
A
B组的平均数为 = ×（2+2+2+2+3+0+0+0+0）=
B
∴ =
A B
A组的方差S2= ×[（3- ）2+（3- ）2+（3- ）2+（3- ）2+（3- ）2+
A
（-1- ）2+（-1- ）2+（-1- ）2+（-1- ）2]=
B组的方差S2= ×[（2- ）2+（2- ）2+（2- ）2+（2- ）2+（3- ）2+（0-
B
）2+（0- ）2+（0- ）2+（0- ）2]=
∴S2＞S2
A B
综上，A组、B组的平均数相等，A组的方差大于B组的方差
故选：D．
由图象可看出A组的数据为：3，3，3，3，3，2，2，2，2，B组的数据为：2，2，2，
2，3，0，0，0，0，则分别计算出平均数及方差即可
本题考查了平均数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度；方差是用
来衡量一组数据波动大小的量．
8.【答案】D
【解析】
设上山的路程为x千米，
则上山的时间 小时，下山的时间为 小时，
则上、下山的平均速度 = 千米/时．
故选：D．
平均速度=总路程÷总时间，设单程的路程为s，表示出上山下山的总时间，把相关数
值代入化简即可．
本题考查了列代数式，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代
数式是解决本题的突破点．
9.【答案】C
【解析】
解：由方程组 得ax2=-a，
∵a≠0
8∴x2=-1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为
一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次
项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选：C．
直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象由交点，若无解，则图象无交点；
根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a
大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数
图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次
项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常
数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答
案．
本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开
口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数图象得
相关性质进行分析，本题中等难度偏上．
10.【答案】B
【解析】
解：如图，连接DF．
∵四边形ABC都是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°，
由翻折可知：AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，BE=EF=2，∠BAE=∠EAF，
∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF，
∴Rt△AGD≌Rt△△AGF（HL），
∴DG=FG，∠GAF=∠GAD，设GD=GF=x，
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF= （∠BAF+∠DAF）=45°，故①正确，
在Rt△ECG中，∵EG2=EC2+CG2，
∴（2+x）2=82+（12-x）2，
∴x=6，
∵CD=BC=BE+EC=12，
∴DG=CG=6，
∴FG=GC，
易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，
∵GF=GD=GC，
∴∠DFC=90°，
∴CF⊥DF，
∵AD=AF，GD=GF，
∴AG⊥DF，
∴CF∥AG，故③正确，
9∵S = ×6×8=24，FG：FE=6：4=3：2，
△ECG
∴FG：EG=3：5，
∴S = ×24= ，故④错误，
△GFC
故选：B．
①正确．证明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可．
②错误．可以证明DG=GC=FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．
③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可．
④错误．证明FG：EG=3：5，求出△ECG的面积即可．
本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解
题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】-3
【解析】
解：∵|-3|=3，
∴3的相反数是-3，
故答案为：-3．
根据绝对值定义得出|-3|=3，再根据相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反
数作答．
此题主要考查了绝对值，相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相
反数是0，难度适中．
12.【答案】b（a+1）（a-1）
【解析】
解：a2b-b
=b（a2-1）
=b（a+1）（a-1）．
故答案为：b（a+1）（a-1）．
首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
13.【答案】5
【解析】
解：根据题意可得， =5，
解得：x=9，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，2，5，8，9，
则中位数为：5．
故答案为：5．
首先根据平均数为5，求出x的值，然后根据中位数的概念求解．
本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如
果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的
个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
14.【答案】6
【解析】
解：∵x、x 是方程x2-2x-1=0的两根，
1 2
∴x+x=2，x×x=-1，
1 2 1 2
∴x2+x2=（x+x）2-2xx=22-2×（-1）=6．
1 2 1 2 1 2
故答案为：6．
根据根与系数的关系变形后求解．
10本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x，
1
x，则x+x=- ，x•x= ．
2 1 2 1 2
15.【答案】E
【解析】
解：由题意知，底面是C，左侧面是B，前面是F，后面是A，右侧面是D，上面是E，
故答案为：E．
由面F在前面，从左面看是面B知底面是C，左侧面是B，前面是F，后面是A，右侧面
是D，上面是E．
考查了几何体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
16.【答案】（47，16），
【解析】
解：由题意可知A 纵坐标为1，A 的纵坐标为
1 2
2，A 的纵坐标为4，A 的纵坐标为8，…，
3 4
∵A 和C，A 和C，A 和C，A 和C 的纵坐标
1 1 2 2 3 3 4 4
相同，
∴C，C，C，C，C 的纵坐标分别为1，2，
1 2 3 4 5
4，8，16
，…
∴根据图象得出C（2，1），C（5，2），C（11，4），
1 2 3
∴直线CC 的解析式为y= x+ ，
1 2
∵A 的纵坐标为16，
5
∴C 的纵坐标为16，
5
把y=16代入y= x+ ，解得x=47，
∴C 的坐标是（47，16），
5
故答案为（47，16）．
由题意可知A 纵坐标为1，A 的纵坐标为2，A 的纵坐标为4，A 的纵坐标为8，…，即
1 2 3 4
可得到C，C，C，C，C 的纵坐标，根据图象得出C（2，1），C（5，2），C
1 2 3 4 5 1 2 3
（11，4），即可得到C，C，C，C，C…在一条直线上，直线的解析式为y= +
1 2 3 4 5
，把C 的纵坐标代入即可求得横坐标．
5
此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、等腰直角三角形和正方形的性质．此题
难度适中，属于规律型题目，注意掌握数形结合思想的应用．
17.【答案】解：去分母，得：2（x-2）-5（x+4）＞-30，
去括号，得：2x-4-5x-20＞-30，
移项，得：2x-5x＞-30+4+20，
合并同类项，得：-3x＞-6，
系数化为1，得：x＜2，
将不等式解集表示在数轴上如下：
【解析】
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
11可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，
尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18.【答案】解：（1）连接DE，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵BE是AC边上的中线，
∴AE=CE，
∴DE=CE，
∵BD=CE，
∴BD=DE，
∴点D在BE的垂直平分线上；
（2）∵DE=AE，
∴∠A=∠ADE，
∵∠ADE=∠DBE+∠DEB，
∵BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴∠A=∠ADE=2∠ABE，
∵∠BEC=∠A+∠ABE，
∴∠BEC=3∠ABE．
【解析】
（1）连接DE，根据垂直的定义得到∠ADC=∠BDC=90°，根据直角三角形的性质得到
DE=CE，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的拍的还行在，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，
熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
19.【答案】60 0.25
【解析】
解：（1）a=18÷0.3=60，b=15÷60=0.25，
故答案为：60、0.25；
（2）估计该市2000名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人数2000×0.35=700（人）；
（3）根据题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两人恰好选中同一类的结果有4种，
∴两人恰好选中同一类的概率为 = ．
（1）根据频率=频数÷总数可得；
（2）总人数乘以A选项对应频率可得；
（3）根据题意画树状图，求出所有等可能的结果，再用两人恰好选中同一类的结果数
除以总的结果数即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率、频数分布表．用到的知识点为：概率=所求情况
数与总情况数之比．
20.【答案】解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，
∵CA⊥CB，
∴∠BCD+∠ACO=∠BCD+CBD=90°，
12∴∠ACO=∠CBD，
∵∠BDC=∠AOC=90°，AC=BC，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴OC=DB=3，CD=AO，
√5
∵cos∠ACO= ．
5
OC
∴AC= =3√5，
cos∠ACO
∴CD=AO=√AC2-OC2=6，
∴OD=OC+CD=3+6=9，
∴B（-9，3），
m
把B（-9，3）代入反比例函数y= 中，得m=-27，
x
27
∴反比例函数为y=- ；
x
m
（2）当x＜0时，由图象可知一次函数y=kx+b的图象在反比例函数y= 图象的下方时，
x
自变量x的取值范围是-9＜x＜0，
m
∴当x＜0时，kx+b＜ 的解集为-9＜x＜0．
x
【解析】
（1）过点B作BD⊥x轴于点D，证明△AOC≌△CDB得到BD与CD的长度，便可求得B
点的坐标，进而求得反比例函数解析式；
（2）观察函数图象，当一次函数图象在反比例函数图象下方时的自变量x的取值范围
便是结果．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握函数解析式的求法以及利用
数形结合根据函数图象的上下位置关系得出不等式的解集是重点．
21.【答案】解：（1）设该一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），则
{ 25k+b=35
22k+b= 38 ，
{ k=-1
解得 b= 60 ，
∴y=-x+60（15≤x≤40），
∴当x=28时，y=32，
答：芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克；
（2）由题易知m=y（x-10）=（-x+60）（x-10）=-x2+70x-600，
当m=400时，则-x2+70x-600=400，
解得，x=20，x=50，
1 2
13∵15≤x≤40，
∴x=20，
答：这天芒果的售价为20元．
【解析】
（1）用待定系数求出一次函数解析式，再代入自变量的值求得函数值；
（2）根据利润=销量×（售价-成本），列出m与x的函数关系式，再由函数值求出自
变量的值．
本题是一次函数与二次函数的应用的综合题，主要考查了用待定系数法求函数的解析
式，由函数值求自变量，由自变量的值求函数值，正确求出函数解析式是解题的关键．
22.【答案】（1）解：如图1：点O即为所求．
（2）①证明：如图2中，连接OD交BC于F．
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB，
⏜ ⏜
∴ = ，
CD BD
∴OD⊥BC，
∴CF=BF，∠CFD=90°，
∵DE是切线，
∴DE⊥OD，
∴∠EDF=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠BCE=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴∠E=90°，
∴AE⊥DE．
②∵四边形DECF是矩形，
∴DE=CF=BF=3，
在Rt△ACB中，AB=√22+62=2√10，
141
∴残缺圆的半圆面积= •π•（2√10）2=20π．
2
【解析】
（1）作线AB，AC，再作两弦的垂直平分线，以两垂直平分线的交点O为圆心，以OA
为半径画圆即可．
（2）①证明四边形DECF是矩形即可．
②利用垂径定理求出BC，再利用勾股定理即可解决问题．
本题考查作图-复杂作图，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关
键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
{b
=1
23.【答案】解：（1）由题意得： 2 ，
c=3
∴b=2，c=3，
（2）①如图1，∵点C关于直线x=1的对称点为点D，
∴CD∥OA，
∴3=-x2+2x+3，
解得：x=0，x=2，
1 2
∴D（2，3），
∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
∴令y=0，解得x=-1，x=3，
1 2
∴B（-1，0），A（3，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
{ 3k+b=0 { k=-1
∴ b= 3 ，解得： b= 3 ，
∴直线AC的解析式为y=-x+3，
设F（a，-a2+2a+3），E（a，-a+3），
∴EF=-a2+2a+3+a-3=-a2+3a，
1 1 3 9
四边形CEDF的面积=S +S = EF⋅CD= ×(-a2+3a)×2=-a2+3a=-(a- ) 2+
△EFC △EFD 2 2 2 4
，
3 9
∴当a= 时，四边形CEDF的面积有最大值，最大值为 ．
2 4
②当△PCQ∽△CAP时，
∴∠PCA=∠CPQ，∠PAC=∠PCQ，
∴PQ∥AC，
∵C（0，3），A（3，0），
15∴OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=∠PCQ=45°，
∴∠BCO=∠PCA，
如图2，过点P作PM⊥AC交AC于点M，
OB 1
∴tan∠PCA=tan∠BCO= = ，
OC 3
设PM=b，则CM=3b，AM=b，
∵AC=√OC2+OA2=3√2，
∴b+3b=3√2，
3
∴b= √2，
4
3 3
∴PA= √2×√2= ，
4 2
3 3
∴OP=OA-PA=3- = ，
2 2
3
∴P( ，0)，
2
设直线l的解析式为y=-x+n，
3
∴- +n=0，
2
3
∴n= ．
2
3
∴直线l的解析式为y=-x+ ．
2
【解析】
（1）根据抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标可求出b、c的值；
（2）由题意先求出D点坐标为（2，3），求出直线AC的解析式，设F（a，-
a2+2a+3），E（a，-a+3），则EF=-a2+3a，四边形CEDF的面积可表示为 ，
利用二次函数的性质可求出面积的最大值；
（3）当△PCQ∽△CAP时，可得∠PCA=∠CPQ，∠PAC=∠PCQ=∠OCA=45°，则PQ∥AC，
∠BCO=∠PCA，过点P作PM⊥AC交AC于点M，可求出PM、PA、OP的长，用待定系数法
可求出函数解析式．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待
定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似三角形的性质解题；要会
16利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长
度是解题的关键．
√3
24.【答案】解：（1）由y= x知：∠POQ=30°，
3
当AP⊥OP时，AP取得最小值=OA•sin∠AOP=2sin60°=√3；
（2）过点P作PH⊥x轴于点H、交过点A平行于x轴的直线与点G，
∴∠APQ=90°，∴∠AGP+∠APG=90°，∠APG+∠QPH=90°，
∴∠QPH=∠PAG，∴△PAG∽△QPH，
PQ PH y √3
P
∴tan∠PAQ= = = = ，
PA AG x 3
P
则∠QAP=30°；
（3）设：OQ=m，则AQ2=m2+4=4PQ2，
①当OQ=PQ时，
即PQ=OQ=m，
√3
则m2+4=4m2，解得：m=± ；
2
②当PO=OQ时，
同理可得：m=±（4+4√3）；
③当PQ=OP时，
同理可得：m=±2√3；
√3 √3
故点Q的坐标为（ ，0）或（- ，0）或（4+4√3，0）或（-4-4√3，0）或（2√3
2 2
，0）或（-2√3，0）．
【解析】
（1）由y= x知：∠POQ=30°，当AP⊥OP时，AP取得最小值，即可求解；
（2）利用△PAG∽△QPH得：tan∠PAQ= = = = ，即可求解；
（3）分OQ=PQ、PO=OQ、PQ=OP三种情况，分别求解即可．
本题为一次函数综合题，涉及到三角形相似、等腰三角形性质，其中（3），要注意分
类求解，避免遗漏．
1718
