文档内容
2024级高二第五次定时训练
数学试题
考试时间：120分钟
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．已知点 关于 轴的对称点为 ，则 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知点 是抛物线 上的一个动点，则点 到点 的距离与 到该抛物线准线的距离之和的最
小值为（ ）
A． B． C．3 D．
4．如图，在三棱锥 中， ， ， ，点 在OA上，且 ， 为BC中
点，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．已知向量 ， ，且 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是A． B． C． D．
6． 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 ，那么直线 与平面 所成角的
正弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为 的圆形区域内，已知小岛中
心位于轮船正西 处，港口位于小岛中心正北 处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设椭圆 ： 与双曲线 ： 的离心率分别为 ， ，且双曲线 的渐近
线的斜率小于 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 ， ， ， 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使 成为空间的一
个基底的是（ ）
A． B．
C． D．10．圆C： ，直线l： ，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论
正确的是（ ）
A．直线l与圆C相交
B． 的最小值是1
C．从Q点向圆C引切线，切线长的最小值是3
D．直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数k的取值范围是
11．如图，在棱长为 的正方体 中， 分别是棱 上的动点，且 .则下列
判断正确的有（ ）
A． 一定成立
B． 平面 不可能成立
C．当 时，点 到平面 的距离为
D．当三棱锥 的体积最大时，平面 与平面 的夹角正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为 ．
13．已知 ， ， 三点，点 在圆 上运动，则 的最大
值与最小值之和为 .
14．棱长为 的正方体 中， 分别是线段 的中点，则直线 到平面的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题分别15分，第18、19题分别17分，共77分.
15．已知空间三点
(1)求以向量 为一组邻边的平行四边形的面积 ；
(2)若向量 分别与向量 垂直，且 ，求向量 的坐标．
16．已知直线l：2x﹣y+2＝0与l：x+y+4＝0．
1 2
（1）若一条光线从l 与l 的交点射出，与x轴交于点P（3，0），且经x轴反射，求反射光线所在直线的
1 2
方程；
（2）若直线l经过点P（3，0），且它夹在直线l 与l 之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．
1 2
17．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率为 ，短轴长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知直线 ： ，椭圆 上是否存在一点，它到直线 的距离最大？最大距离是多少？
18．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ， 的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直.
活动弹子M，N分别在正方形对角线 和 上移动，且 和 的长度保持相等，记
.
(1)求证： ；
(2) 为何值时， 的长最小?(3)当 的长最小时，求平面 与平面 夹角的余弦值.
19．如图，在三棱锥 中，平面 与平面 互相垂直，且 ，
．求：
(1) 所在直线和平面 所成角的大小；
(2) 二面角 的正弦值；
(3) 三棱锥 外接球的表面积．
