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山东省德州市2018年中考数学真题试题
一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1. 3的相反数是（ ）
A. 3 B. C. -3 D.
【答案】C
【解析】分析：根据相反数的定义，即可解答．
详解：3的相反数是﹣3．
故选C．
2. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
详解：A是中心对称图形；B既是轴对称图形又是中心对称图形；C是轴对称图形；D既不是轴对称图形
又不是中心对称图形．
故选B．
点睛：本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，牢记轴对称及中心对称图形的特点是解题的关键．
3. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496亿
．用科学记数法表示1.496亿是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是正数；当
原数的绝对值＜1时，n是负数．
详解：数据1.496亿用科学记数法表示为1.496×108．
故选D．
1点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则、合并同类项的法则分别进行
计算即可．
详解：A．a3•a2=a5，故原题计算错误；
B．（﹣a2）3=﹣a6，故原题计算错误；
C．a7÷a5=a2，故原题计算正确；
D．﹣2mn﹣mn=﹣3mn，故原题计算错误．
故选C．
点睛：本题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方，关键是掌握各计算法则．
5. 已知一组数据：6，2，8， ，7，它们的平均数是6．则这组数据的中位数是（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【答案】A
【解析】分析：首先根据平均数为6求出x的值，然后根据中位数的概念求解．
详解：由题意得：5+2+8+x+7=6×5，解得：x=8，这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，5，7，8，8，则中
位数为7．
故选A．
点睛：本题考查了中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果
数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中
间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的
个数．
6. 如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中 与 互余的是（ ）
A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④
2【答案】A
【解析】分析：根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得
解．
详解：图①，∠α+∠β=180°﹣90°，互余；
图②，根据同角的余角相等，∠α=∠β；
图③，根据等角的补角相等∠α=∠β；
图④，∠α+∠β=180°，互补．
故选A．
点睛：本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
7. 如图,函数 和 ( 是常数,且 )在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故
选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称
轴x=﹣ ＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称
轴x=﹣ ＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选
项错误．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下
所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
8. 分式方程 的解为（ ）
3A. B. C. D. 无解
【答案】D
【解析】分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
详解：去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．
故选D．
点睛：本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
9. 如图,从一块直径为 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即
可．
详解：连接AC．
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即
AC=2m，AB=BC．
∵AB2+BC2=22，∴AB=BC= m，∴阴影部分的面积是 = （m2）．
故选A．
点睛：本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
10. 给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自
4变量x增大而增大“的是（ ）
A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③
【答案】B
【解析】分析：分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．
详解：①y=﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；
②y= ，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；
③y=2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；
④y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确．
故选B．
点睛：本题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解
题的关键．
11. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式
的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算 的展开式中从左起第四项的系数为（ ）
A. 84 B. 56 C. 35 D. 28
【答案】B
【解析】分析：根据图形中的规律即可求出（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数．
详解：找规律发现（a+b）4的第四项系数为4=3+1；
（a+b）5的第四项系数为10=6+4；
（a+b）6的第四项系数为20=10+10；
（a+b）7的第四项系数为35=15+20；
∴（a+b）8第四项系数为21+35=56．
5故选B．
点睛：本题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题
的能力．
12. 如图，等边三角形 的边长为4,点 是△ 的中心， .绕点 旋转 ,分别交线段
于 两点，连接 ,给出下列四个结论:① ;② ;③四边形 的面积始终等
于 ;④△ 周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】分析：连接BO，CO，可以证明△OBD≌△OCE，得到BD=CE，OD=OE，从而判断①正确；
通过特殊位置，当D与B重合时，E与C重合，可判断△BDE的面积与△ODE的面积的大小，从而判断②
错误；
由△OBD≌△OCE，得到四边形ODBE的面积=△OBC的面积，从而判断③正确；
过D作DI⊥BC于I．设BD=x，则BI= ，DI= ．由BD=EC，BC=4，得到BE=4－x，IE= ．在Rt△DIE
中，DE= = = ，△BDE的周长=BD+BE+DE= 4+DE，当DE最小时，
△BDE的周长最小，从而判断出④正确．
详解：连接BO，CO，过O作OH⊥BC于H．
∵O为△ABC的中心，∴BO=CO，∠DBO=∠OBC=∠OCB=30°，∠BOC=120°．
∵∠DOE=120°，∴∠DOB=∠COE．在△OBD和△OCE中，∵∠DOB=∠COE，OB=OC，∠DBO=∠ECO，
∴△OBD≌△OCE，∴BD=CE，OD=OE，故①正确；
当D与B重合时，E与C重合，此时△BDE的面积=0，△ODE的面积＞0，两者不相等，故②错误；
∵O为中心，OH⊥BC，∴BH=HC=2．
6∵∠OBH=30°，∴OH= BH= ，∴△OBC的面积= = ．
∵△OBD≌△OCE，∴四边形ODBE的面积=△OBC的面积= ，故③正确；
过D作DI⊥BC于I．设BD=x，则BI= ，DI= ．
∵BD=EC，BC=4，∴BE=4－x，IE=BE-BI= ．在Rt△DIE中，DE= = =
= ，当x=2时，DE的值最小为2，△BDE的周长
=BD+BE+DE=BE+EC+DE=BC+DE=4+DE，当DE最小时，△BDE的周长最小，∴△BDE的周长的最小值=4+2=6．
故④正确．
故选C．
点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了等边三角形的性质以及二次函数的性质．解题的关键是证
明△OBD≌△OCE．
二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
13. 计算: =__________．
【答案】1
【解析】分析：根据有理数的加法解答即可．
详解：|﹣2+3|=1．
故答案为：1．
点睛：本题考查了有理数的加法，关键是根据法则计算．
14. 若 是一元二次方程 的两个实数根，则 =__________．
【答案】-3
【解析】分析：根据根与系数的关系即可求出答案．
7详解：由根与系数的关系可知：x+x=﹣1，xx=﹣2，
1 2 1 2
∴x+x+xx=﹣3
1 2 1 2
故答案为：﹣3．
点睛：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
15. 如图, 为 的平分线. , . .则点 到射线 的距离为__________．
【答案】3
【解析】分析：过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可
得CF=CM，进而可得答案．
详解：过C作CF⊥AO．
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF．
∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3．
故答案为：3．
点睛：本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
16. 如图。在 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点. 的顶点都在格点上,则 的正弦
值是__________．
【答案】
【解析】分析：先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
8详解：∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且
∠ACB=90°，则sin∠BAC= = ．
故答案为： ．
点睛：本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平
方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
17. 对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b= ，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3= =5．若x，
y满足方程组 ，则x◆y=_____________.
【答案】60
【解析】分析：根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．
详解：由题意可知： ，
解得： ．
∵x＜y，∴原式=5×12=60．
故答案为：60．
18. 如图,反比例函数 与一次函数 在第三象限交于点 .点 的坐标为(一3,0),点 是 轴左侧的
一点.若以 为顶点的四边形为平行四边形.则点 的坐标为_____________.
【答案】(-4,-3),(-2,3)
【解析】分析：联立直线和反比例函数解析式可求出A点的坐标，再分以AB为对角线、以OA为对角线和以OB
为对角线三种情况，利用平行四边形的性质可分别求得满足条件的P点的坐标．
9详解：由题意得： ，解得： 或 ．
∵反比例函数y= 与一次函数y=x﹣2在第三象限交于点A，∴A（﹣1，﹣3）．
当以AB为对角线时，AB的中点坐标M为（﹣2，﹣1.5）．
∵平行四边形的对角线互相平分，∴M为OP中点，设P点坐标为（x，y），则 =﹣2， =﹣
1.5，解得：x=﹣4，y=﹣3，∴P（﹣4，﹣3）．
当OB为对角线时，由O、B坐标可求得OB的中点坐标M（﹣ ，0），设P点坐标为（x，y），由平行四
边形的性质可知M为AP的中点，结合中点坐标公式可得： =﹣ =0，解得：x=﹣2，y=3，∴P（﹣
2，3）；
当以OA为对角线时，由O、A坐标可求得OA的中点坐标M（﹣ ，﹣ ），设P点坐标为（x，y），由平
行四边形的性质可知M为BP中点，结合中点坐标公式可得 =﹣ =﹣ ，解得：x=2，y=﹣3，
∴P（2，﹣3）（舍去）．
综上所述：P点的坐标为（﹣4，﹣3），（﹣2，3）．
故答案为：（﹣4，﹣3），（﹣2，3）．
点睛：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、平行
四边形的判定与性质及中点坐标公式是解答此题的关键．
三、解答题 （本大题共7小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19. 先化简,再求值: ,其中 是不等式组 的整数解.
【答案】 .
【解析】分析：原式利用除法法则变形，约分后计算得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．
详解：原式= • ﹣
10= ﹣
= ，
不等式组解得：3＜x＜5，整数解为x=4，
当x=4时，原式= ．
点睛：本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20. 某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况(新闻、体育、动画、娱乐、戏曲),从全校学生中随机抽取
部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图.
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)这次被调查的学生共有多少人?
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)若该校约有1500名学生,估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人?
(4)该校广播站需要广播员,现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名,求恰好选中甲、乙
两位同学的概率(用树状图或列表法解答)
【答案】（1）50人；（2）补图见解析；（3）540人；（4）
【解析】分析： （1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；
（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
（2）用样本估计总体的思想解决问题；
（3）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
详解：（1）这次被调查的学生人数为15÷30%=50人；
（2）喜爱“体育”的人数为50﹣（4+15+18+3）=10人，补全图形如下：
11（3）估计全校学生中喜欢娱乐节目的有1500× =540人；
（4）列表如下：
所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，所以恰好选中甲、乙两位同
学的概率为 = ．
点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要
的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占
总体的百分比大小．
21. 如图,两座建筑物的水平距离 为 .从 点测得 点的仰角 为53° ,从 点测得 点的俯角 为37°
,求两座建筑物的高度(参考数据:
12【答案】建筑物 的高度为 .建筑物 的高度为 .
【解析】分析：过点D作DE⊥AB于于E，则DE=BC=60m．在Rt△ABC中，求出AB．在Rt△ADE中求出AE即可解决
问题．
详解：过点D作DE⊥AB于于E，则DE=BC=60m，
在Rt△ABC中，tan53°= = ，∴AB=80（m）．
在Rt△ADE中，tan37°= = ，∴AE=45（m），
∴BE=CD=AB﹣AE=35（m）．
答：两座建筑物的高度分别为80m和35m．
点睛：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形
是解答此题的关键．
22. 如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E．点C是弧BF的中点．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若∠CAD=30°．⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC--弧CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路
13程(π≈3.14， ≈1.73，结果保留一位小数．)
【答案】（1）证明见解析；（2）11.3
【解析】分析： （1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质证明；
（2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可．
详解：（1）连接OC．
∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD．
∵点C是 的中点，∴∠DAC=∠EAC．
∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；
（2）∵∠CAD=30°，∴∠CAE=∠CAD=30°，由圆周角定理得：∠COE=60°，∴OE=2OC=6，EC= OC=3
= =π，∴蚂蚁爬过的路程=3+3 +π≈11.3．
点睛：本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长公式是解题
的关键．
23. 为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备
成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年
销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价 (单位:万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量 与销售单价 的函数关系式;
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的
销售单价应是多少万元?
【答案】（1） ；（2）该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元.
【解析】分析： （1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣
10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70
的值即可得出结论．
详解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，550）代入
y=kx+b，得：
14，
解得： ，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣
10x+1000）台，根据题意得：
（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，
整理，得：x2﹣130x+4000=0，
解得：x=50，x=80．
1 2
∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x=50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点
的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24. 再读教材:
宽与长的比是 (约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著
名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.
(提示; )
第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.
第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.
第三步,折出内侧矩形的对角线 ,并把 折到图③中所示的 处，
第四步,展平纸片,按照所得的点 折出 ,使 ,则图④中就会出现黄金矩形，
问题解决:
15(1)图③中 =__________(保留根号);
(2)如图③,判断四边形 的形状,并说明理由;
(3)请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.
实际操作:
(4)结合图④.请在矩形 中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和
宽.
【答案】（1） ；（2）四边形 是菱形.理由见解析；（3）见解析.
【解析】分析： （1）由勾股定理计算即可；
（2）根据菱形的判定方法即可判断；
（3）根据黄金矩形的定义即可判断；
（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为
所求是黄金矩形．
详解：（1）如图3中．在Rt△ABC中，AB= = = ．
故答案为： ．
（2）结论：四边形BADQ是菱形．理由如下：
如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD．
∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．
（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE．
∵AD= ．AN=AC=1，CD=AD﹣AC= ﹣1．
∵BC=2，∴ = ，∴矩形BCDE是黄金矩形．
16∵ = = ，∴矩形MNDE是黄金矩形．
（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为
所求是黄金矩形．
长GH= ﹣1，宽HE=3﹣ ．
点睛：本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解
题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
25. 如图1,在平面直角坐标系中,直线 与抛物线 交于 两点，其中 , .该
抛物线与 轴交于点 ,与 轴交于另一点 .
(1)求 的值及该抛物线的解析式;
(2)如图2.若点 为线段 上的一动点(不与 重合).分别以 、 为斜边,在直线 的同侧作等腰直角
△ 和等腰直角△ ,连接 ,试确定△ 面积最大时 点的坐标.
(3)如图3.连接 、 ,在线段 上是否存在点 ,使得以 为顶点的三角形与△ 相似,若存在,请
直接写出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】（1） ；（2）当 ，即 时， 最大，此时 ,所以 ；（3）存在点 坐标为
或 .
【解析】分析：（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代入二次函数解
17析式求出b与c的值即可；
（2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角
形MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可；
（3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ的长，利用两点间的距离公式求出Q坐标即可．
详解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，∴A（1，0），B（4，3）．
∵y=﹣x2+bx+c经过点A与点B，∴ ，解得： ，则二次函数解析式为y=﹣
x2+6x﹣5；
（2）如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形，∴∠APM=∠DPN=45°，∴∠MPN=90°，∴△MPN
为直角三角形，令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5，∴D（5，0），即DP=5﹣1=4，设AP=m，则有DP=4﹣m，
∴PM= m，PN= （4﹣m），∴S = PM•PN= × m× （4﹣m）=﹣ m2﹣m=﹣（m﹣2）2+1，∴当m=2，即
△MPN
AP=2时，S 最大，此时OP=3，即P（3，0）；
△MPN
（3）存在，易得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5），由题意得：∠BAD=∠ADC=45°，分两种情
况讨论：
①当△ABD∽△DAQ时， = ，即 = ，解得：AQ= ，由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=
，解得：x= ，此时Q（ ，﹣ ）；
②当△ABD∽△DQA时， =1，即AQ= ，∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：x=2，此时Q（2，﹣3）．
综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（ ，﹣ ）．
点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，
相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．
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