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江苏省常州市 2021 年数学中考真题
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有
一项是正确的）
1. 的倒数是（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. D. ﹣
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用倒数的定义即可得出答案．
【详解】解： 的倒数是2，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了倒数，正确掌握相关定义是解题关键．
2. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的乘方公式，即可求解．
【详解】解： = ，
故选B．
【点睛】本题主要考查幂的乘方公式，掌握幂的乘方公式，是解题的关键．
3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 正方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据俯视图将正方体淘汰掉，然后根据主视图和左视图将圆锥和圆柱淘汰，即可求解．
【详解】解：∵俯视图是圆，
∴排除A，
∵主视图与左视图均是圆，
∴排除B、C，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，
分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
4. 观察所示脸谱图案，下列说法正确的是（ ）
A. 它是轴对称图形，不是中心对称图形 B. 它是中心对称图形，不是轴对称图形
C. 它既是轴对称图形，也是中心对称图形 D. 它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：脸谱图案是轴对称图形，不是中心对称图形，
故选A．
【点睛】本题主要考查轴对称和中心对称图形，掌握轴对称和中心对称图形的定义，是解题的关键．
5. 如图， 是 的直径， 是 的弦．若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】先根据平角的定义求出∠AOB，再根据等腰三角形的性质求解，即可．
【详解】解：∵ ，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
∵OA=OB，
∴ =∠OBA=（180°-120°）÷2=30°，
故选C．
【点睛】本题主要考查圆 的基本性质以及等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等，是解题的关键．
6. 以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘
停止转动时，指针落在阴影区域的概率是 ，则对应的转盘是（ ）
A.
B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据概率公式求出每个选项的概率，即可得到答案．
【详解】解：A．指针落在阴影区域的概率是 ，
B．指针落在阴影区域的概率是 ，
C．指针落在阴影区域的概率是 ，
D．指针落在阴影区域的概率是 ，
故选D．
【点睛】本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式，是解题的关键．
7. 已知二次函数 ，当 时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解．
【详解】∵二次函数 的对称轴为y轴，当 时，y随x增大而增大，
∴二次函数 的图像开口向上，
∴a-1＞0，即： ，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键．8. 为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格 （元/件）随
时间t（天）的变化如图所示，设 （元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则 随t变化的
图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图像先求出 关于t的函数解析式，进而求出 关于t的解析式，再判断各个选项，即
可．
【详解】解：∵由题意得：当1≤t≤6时， =2t+3，
当6＜t≤25时， =15，
当25＜t≤30时， =-2t+65，
∴当1≤t≤6时， = ，当6＜t≤25时， = ，
当25＜t≤30时， =
= ，
∴当t=30时， =13，符合条件的选项只有A．
故选A．
【点睛】本题主要考查函数图像和函数解析式，掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标意义，是解题的
关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置上）
9. 计算： ___．
【答案】3
【解析】
【详解】试题分析：根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的
一个立方根：
∵33=27，∴ ．
10. 计算： __________．
【答案】
【解析】
【分析】先去括号，再合并同类项，即可求解．
【详解】解：原式=
= ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握去括号法则以及合并同类项法则，是解题的关键．11. 分解因式： __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式分解因式，即可．
【详解】解： ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．
12. 近年来，5G在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者．截至
2021年3月底，中国已建成约819000座5G基站，占全球70%以上．数据819000用科学记数法表示为
__________．
【答案】8.19×105
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正
数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：819000=8.19×105，
故答案是：8.19×105．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13. 数轴上的点A、B分别表示 、2，则点__________离原点的距离较近（填“A”或“B”）．
【答案】B
【解析】
【分析】先求出A、B点所对应数的绝对值，进而即可得到答案．
【详解】解：∵数轴上的点A、B分别表示 、2，
∴ ，且3＞2，
∴点B离原点的距离较近，
故答案是：B．
【点睛】本题主要考查数轴上点与原点之间的距离，掌握绝对值的意义，是解题的关键．14. 如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若
，则点A的坐标是__________．
【答案】（3，0）
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，可知：OA=BC=3，进而即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴OA=BC=3，
∴点A的坐标是（3，0），
故答案是：（3，0）．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及点的坐标，掌握平行四边形的对边相等，是解题的关键．
15. 如图，在 中，点D、E分别在 、 上， ．若 ，则
________ ．
【答案】100【解析】
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A=80°，再根据平行线的性质，求出 ，即可．
【详解】解：∵ ，
∴∠A=180°-40°-60°=80°，
∵ ，
∴ 180°-80°=100°．
故答案是100．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的
关键．
16. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在
中，分别取 、 的中点D、E，连接 ，过点A作 ，垂足为F，将 分割
后拼接成矩形 ．若 ，则 的面积是__________．
【答案】12
【解析】
【分析】先证明 ， ，把三角形的面积化为矩形的面积，进而即可求解．
【详解】解：∵D是 的中点，四边形 是矩形，
∴AD=BD，∠G=∠AFD=90°，
又∵∠ADF=∠BDG，
∴ ，
∴DF=DG，AF=BG=2，同理： ，
∴EF=EH，
∴GH=2(DF+EF)=2DE=2×3=6，
∴ 的面积=矩形 的面积=2×6=12．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，通过全等三角形的判定，把三角形的面积
化为矩形的面积，是解题的关键．
17. 如图，在 中， ，点D、E分别在 、 上，点F在 内．若四边形
是边长为1的正方形，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，由 ，可得FM=1，再根据锐角
三角函数的定义，即可求解．
【详解】解：连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，∵四边形 是边长为1的正方形，
∴∠C=90°，
∴AB= ，
∵ ，
∴ ，
∴ FM=1，
∵BF= ，
∴ ．
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握”等积法“是解题的关键．
18. 如图，在 中， ，D是 上一点（点D与点A不重合）．
若在 的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则 长的取值
范围是________．【答案】 ＜AD＜2
【解析】
【分析】以AD为直径，作 与BC相切于点M，连接OM，求出此时AD的长；以AD为直径，作 ，
当点D与点B重合时，求出AD的长，进入即可得到答案．
【详解】解：以AD为直径，作 与BC相切于点M，连接OM，则OM⊥BC，此时，在 的直
角边上存在3个不同的点分别和点A、D成为直角三角形，如图，
∵在 中， ，
∴AB=2，
∵OM⊥BC，
∴ ，
设OM=x，则AO=x，
∴ ，解得： ，
∴AD=2× = ，
以AD为直径，作 ，当点D与点B重合时，如图，此时AD=AB=2，∴在 的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则 长的取值
范围是： ＜AD＜2．
故答案是： ＜AD＜2．
【点睛】本题主要考查圆的综合问题，熟练掌握圆周角定理的推论，解直角三角形，画出图形，分类讨论，
是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解
答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂以及平方运算，再算加减法，即可求解．
【详解】解：原式=
= ．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握算术平方根，零指数幂，负整数指数幂以及平方运算法则，
是解的关键．
20. 解方程组和不等式组：
（1）（2）
【答案】（1） ；（2）-2＜x＜1
【解析】
【分析】（1）利用加减消元法，即可求解；
（2）分别求出各个不等式的解，再取公共部分，即可求解．
【详解】解：（1） ，
①+②，得3x=3，解得：x=1，
把x=1代入①得：y=-1，
∴方程组的解为： ；
（2） ，
由①得：x＞-2，
由②得：x＜1，
∴不等式组的解为：-2＜x＜1
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组以及解一元一次不等式组，掌握加减消元法以及解不等组的基本
步骤，是解题的关键．
21. 为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、
“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理调查小组就某小区居民对垃圾分
类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．（1）本次调查的样本容量是_______；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该小区有居民2000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数．
【答案】（1）100；（2）补全图形见详解；（3）600
【解析】
【分析】（1）用较多了解的人数÷对应百分比，即可求解；
（2）先算出完全了解人数，较少了解人数，再补全统计图，即可；
（3）用2000ד完全了解”的百分比，即可求解．
【详解】解：（1）55÷55％=100（人），
故答案是：100；
（2）完全了解人数：100×30％=30（人），
较少了解人数：100-30-55-5=10（人），
补全统计图如下：（3）2000×30％=600（人），
答：估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数有600人．
【点睛】本题主要考查扇形统计图和条形统计图，准确找出相关数据，是解题的关键．
22. 在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形 是菱形；②四边形 有一个内角是直
角；③四边形 的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是__________；
（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形 同
时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形 一定是正方形的概率．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据等可能事件的概率公式，直接求解，即可；
（2）先画出树状图，再根据概率公式，即可求解．
【详解】解：（1）3支签中任意抽出1支签，抽到条件①的概率=1÷3= ，故答案是： ；
（2）画出树状图：
∵一共有6种等可能的结果，四边形 一定是正方形的可能有4种，
∴四边形 一定是正方形的概率=4÷6= ．
【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，熟练画出树状图是解题的关键．
23. 如图，B、F、C、E是直线l上的四点， ．
（1）求证： ；
（2）将 沿直线l翻折得到 ．
①用直尺和圆规在图中作出 （保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接 ，则直线 与l的位置关系是__________．
【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②平行
【解析】【分析】（1）根据“SAS”即可证明 ；
（2）①以点B为圆心，BA为半径画弧，以点C为圆心，CA 为半径画画弧，两个弧交于 ，连接 B，
C，即可；
②过点 作 M⊥l，过点D 作DN⊥l，则 M∥DN，且 M=DN，证明四边形 MND是平行四边形，
即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴BC=EF，
∵ ，
∴∠ABC=∠DEF，
又∵ ，
∴ ；
（2）①如图所示， 即为所求；
② ∥l，理由如下：
∵ ， 与 关于直线l对称，
∴ ，
过点 作 M⊥l，过点D 作DN⊥l，则 M∥DN，且 M=DN，
∴四边形 MND是平行四边形，
∴ ∥l，
故答案是：平行．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，添加辅助线，构造平行四边
形是解题的关键．
24. 为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景
点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均
每天用水多少吨？
【答案】该景点在设施改造后平均每天用水2吨．
【解析】
【分析】设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则原来平均每天用水2x吨，列出分式方程，即可求解．
【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则原来平均每天用水2x吨，
由题意得： ，解得：x=2，
经检验：x=2是方程的解，且符合题意，
答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比
例函数 的图像交于点C，连接 ．已知点 ， ．
（1）求b、k的值；
（2）求 的面积．【答案】（1）b=2，k=6；（2）6
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 过 点 C 作 CD⊥x 轴 ， 则 OB∥CD ， 把 代 入 得 ： b=2 ， 由
，得 ，进而即可求解；
（2）根据三角形的面积公式，直接求解即可．
【详解】解：（1）过点C作CD⊥x轴，则OB∥CD，
把 代入 得： ，解得：b=2，
∴ ，
令x=0代入 ，得y=2，即B(0，2)，
∴OB=2，
∵ ，OB∥CD，
∴ ，
∴ ，即：
∴DA=6，CD=3
∴OD=6-4=2，
∴D(2，3)，∴ ，解得：k=6；
（2） 的面积= ．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法以及函数
图像点的特征，是解题关键．
26. 通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，
这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1， ，垂足分别为C、D，E是 的中点，连接 ．已知 ，
．
①分别求线段 、 的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小： __________ （填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系 中，点M、N在反比例函数 的图像上，横坐标分别为
m、n．设 ，记 ．①当 时， __________；当 时， ________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
【答案】（1）① ， = ；②＞， ＞ ；（2）① ，1；②l的最小值
是1，理由见详解
【解析】
【分析】（1）①先证明 ，从而得 ，进而得CD的值，根据直角三角形的性质，
直接得CE的值；②根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论；
（2）①把m，n的值直接代入 = 进行计算，即可；②过点M作x，y轴的平行
线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n， )，B(m， )，画出图形，用矩形的面积表示
，进而即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵ ，
∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD，
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，即： （负值舍去），
∵E是 的中点，
∴ = = ；②∵ ， ，
∴ ＞ ，即： ＞ ．
故答案是：＞；
（2）①当 时， = = ，
当 时， = = ，
故答案是： ，1；
②l的最小值是：1，理由如下：
由题意得：M(m， )，N(n， )，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，
则A(n， )，B(m， )，
= =
= [（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积 +④
的面积）]
= [（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面
积）+③的面积]
= (1+1+1+1+③的面积)≥1，
∴l的最小值是1．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练
掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
27. 在平面直角坐标系 中，对于A、 两点，若在y轴上存在点T，使得 ，且
，则称A、 两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点 、
，点 在一次函数 的图像上．
（1）①如图，在点 、 、 中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或
“D”）；
②若在线段 上存在点 的关联点 ，则点 的坐标是_______；
（2）若在线段 上存在点Q的关联点 ，求实数m的取值范围；
（3）分别以点 、Q为圆心，1为半径作 、 ．若对 上的任意一点G，在 上总存在
点 ，使得G、 两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．【答案】（1）①B；② ；（2） 或 ；（3） 或 ．
【解析】
【分析】由材料可知关联点的实质就是将点A绕y轴上点T顺时针或逆时针旋转90度的得到点 ．故先
找到旋转90°坐标变化规律，再根据规律解答即可，
（1）①根据关联点坐标变化规律列方程求解点T坐标，有解则是关联点；无解则不是；②关联点的纵坐
标等于0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可；
（2）根据关联点坐标变化规律得出关联点 ，列不等式求解即可；
（3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E坐标求出点Q坐标即可．
【详解】解：在平面直角坐标系 中，设 ，点 ，关联点 ，
将点A、点 、点T向下平移 个单位，点T对应点与原点重合，此时点A、点 对应点 、
，
∵绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点（x，y）顺时针旋转，对应点坐标为（y，-x）；逆时针旋转对应
点坐标为（-y，x），
∴ 绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为 或 ，
即顺时针旋转时， 解得： ，即关联点 ，或逆时针旋转时， ，解得： ，即关联点 ，
即：在平面直角坐标系 中，设 ，点 ，关联点坐标为 或
，
（1）①由关联点坐标变化规律可知，点 关于在y轴上点 的关联点坐标为：
或 ，
若点 是关联点，则 或 ，解得： ，即y轴上点 或 ，
故点 是关联点；
若点 是关联点，则 或 ，无解，故点 不是关联点；
若点 是关联点，则 或 ，无解，故点 不是关联点；
故答案为：B；
②由关联点坐标变化规律可知，点 关于点 的关联点 的坐标为 或
，
若 ，解得： ，此时即点 ，不在线段 上；
若 ，解得： ，此时即点 ，在线段 上；
综上所述：若在线段 上存在点 的关联点 ，则点
故答案为： ；
（2）设点 与点 是关于点 关联点，则点 坐标为 或 ，又因为点 在一次函数 的图像上，即： ，
点 在线段 上，点 、 ，
当∴ ，
∴ ，
∴ ，
或 ，
∴ ，
当 ；
综上所述：当 或 时，在线段 上存在点Q的关联点 ．
（3）对 上的任意一点G，在 上总存在点 ，使得G、 两点互相关联，
故点E与点Q也是关于同一点 的关联，设该点 ，则
设点 与点 是关于点 关联点，则点 坐标为 或 ，
又因为 在一次函数 的图像上，即： ，
∵点 ，若 ，解得： ，
即点 ，
若 ，解得： ，
即点 ，
综上所述： 或 ．
【点睛】本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转90°的
点坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解．
28. 如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 和二次函数 的图像都
经过点 和点B，过点A作 的垂线交x轴于点C．D是线段 上一点（点D与点A、O、B不重
合），E是射线 上一点，且 ，连接 ，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以 、
为邻边作 ．（1）填空： ________， ________；
（2）设点D的横坐标是 ，连接 ．若 ，求t的值；
（3）过点F作 的垂线交线段 于点P．若 ，求 的长．
【答案】（1） ，1；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）把 分别代入一次函数解析式和二次函数解析式，即可求解；
（2）先证明EF=ED，结合D(t， )，F(t， )，可得点E的纵坐标为： ，过
点A作AM⊥EG，延长GE交x轴于点N，由 ，从而得
，进而即可求解；
（3）先推出 ，由FP∥AC，得 ，结合 ，可得DA= =
，结合DA+OD=5，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）把 代入 得： ，解得： ，
把 代入 得： ，解得：b=1，故答案是： ，1；
（2）∵ 在中， ，
∵ ，
∴ = ，
∴EF=ED，
∵设点D的横坐标是 ，则D(t， )，F(t， )，
∴点E的纵坐标为：（ ）÷2= ，
联立 ，解得： 或 ，
∴A(4，3)，
∴ 过点A作AM⊥EG，延长GE交x轴于点N，则∠AEM=∠NEC=∠AOC，
∴ ，
又∵ = ，
∴ ，解得： （舍去）或 ，
∴ ；（3）当 时，则 ，
∵ ⊥FP，AB⊥AC，
∴FP∥AC，
∴ ，
∵∠FDQ=∠ODH，
∴ ，
又∵DF= - = ，
∴DQ= ，
∴DA= = ，
∵DA+OD=5，
∴ + =5，解得： 或 （舍去），∴OD= = ．
【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，根据题意画出图形，添加合适的辅助线，熟练掌握锐
角三角函数的定义，平行四边形的性质，是解题的关键．
