文档内容
江西省南昌市 2013 年初中毕业暨中等学校招生考试
数 学 试 题 卷
说明：1。本卷共有五个大题，25个小题，全卷满分120分。考试时间120分钟
2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题只有一个正确选项。
1．-1的倒数是（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．0
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是瑞金的人数的2
倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人。下面所列
的方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列数据是2013年3月日6点公布的中国六大城市的空气污染指数情况：
城市 北京 合肥 南京 哈尔滨 成都 南昌
污染指数 342 163 165 45 227 163
则这组据的中位数和众数分别是（ ）
A．163和164 B．105和163 C．105和164 D．163和164
5．某机构对30万人的调查显示，沉迷于手机上网的初中生大约占7%，则这部分沉迷于手机上网
的初中生人数，可用科学记数法表示为（ ）
A．2．1×105 B．21×103 C．0．21×105 D．2．1×104
6．如图，直线y=x+a-2与双曲线y=交于A，B两点，
则当线段AB的长度取最小值是，a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.5
7.一张坐凳的形状如图所示，以箭并没有所指的方向为主视方向，则它的左视图可以是（ ）
8．将不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
19．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10 ． 如 图 ， 将 △ ABC 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 一 定 角 度 ， 得 到
△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且
AD⊥BC，则∠BAC的度数为（ ）
A．60° B．75° C．85° D．90°
11．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
12．若二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x,0),(x,0),且
1 2
x0 B．b2-4ac≥0 C．x0)的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行
于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，
并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式。
3四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21 ． 生 活 中 很 多 矿 泉 水 没 有 喝 完 便 被 扔 掉 ， 造 成 极 大 的 浪 费 ， 为 此
数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议
所用矿泉水的浪费情况进行 调查。为期半
天的会议中，每人发一瓶500毫升的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为
四种：A。全部喝完；B。喝剩约；C。喝剩约一半；D。开瓶但基本未喝。同学们根据统计结果绘制成
如下两个统计图。根据统计图提供的信息。解答下列问题：
（1）参加这次会底色的有多少人？在图（2）中D所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图；
（2）若开瓶但基本未喝算全 部浪费，试计算
这次会议平均每人浪费矿泉水约多 少毫升？
（计算结果请保留整数）
（3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议60次，每次会底色人数约在40至60人之间，请用
（2）中的计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水（500毫升/瓶）约有多少瓶？
（可使用科学计算器）
22．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是
⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切
于点B，交x轴于点C。
（1）证明PA是⊙O的切线；
（2 ）求点B的坐标。
423．如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线
OAB。如图2所示，量杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm,∠OAB=120°.若启动一次刮雨器，
雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示。
（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01）
(2)求雨刮杆AB扫过的最大面积。（结果保留 的整数倍）
(参考数据: , , , ,可使用科学计算器)
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
（1）操作发现：
在等腰△ABC，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图
1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是
（填序号即可）
① AF=AG=AB ； ② MD=ME ； ③ 整 个 图 形 是 轴 对 称
图形；④MD⊥ME
（2）数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所
示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；
（3）类比探究：
（i）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3
所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MEC的形状。答： 。
5（ii）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧
作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要
使（2）中的结论时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限制用题中字母表示）并说明理
由。
25．已知抛物线 (n为正整数，且0＜a ＜a ＜…＜a ）与x轴的交点为
1 2 n
A (b ,0)和A(b,0),当n=1时，第1条抛物线 与x轴的交点为A0(0,0)和
n-1 n-1 n
A(b,0)，其他依次类推。
1 1
（1）求a,b 的值及抛物线y 的解析式；
1 1 2
（2）抛物线y3的顶点坐标为（ ， ）；
依次类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（ ， ）（用含n的式子表示）；
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 ;
(3)探究下列结论：
①若用A A 表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出AA 的值，并求出A A；
n-1 n 0 1 n-1 n
②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段长度
都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由。
6江西省南昌市 2013 年初中毕业暨中等学校招生考试
数 学 试 题 卷 答 案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题只有一个正确选项。
1、B 2、C 3、B 4、A 5、D 6、C 7、C 8、D 9、B 10、C 11、C 12、D
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13、65° 14、 15、 （答案不唯一） 16、2,3,4，
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17、解：（1）如图1，点P就是所求作的点；（2）如图2，CD为AB边上的高.
18、解：原式= · +1
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
=
= ．
当x=1时，原式= .
19、解：（1）A .
（2）依题意画树状图如下：
7从上图可知，所有等可能结果共有6种，其中第4、5种结果符合，∴P = = ．
(A)
20、解：（1）B（2，4），C（6，4），D（6，6）.
（2）如图，矩形ABCD向下平移后得到矩形 ，
设平移距离为a，则A′（2，6－a），C′（6，4－a）
∵点A′，点C′在y= 的图象上，
∴2(6－a)=6(4－a)，
解得a=3，
∴点A′（2，3），
∴反比例函数的解析式为y= ．
21、解：（1）根据所给扇形统计图可知，喝剩约 的人数是总人数的50%，
∴25÷50%=50，参加这次会议的总人数为50人，
∵ ×360°=36°，
∴D所在扇形圆心角的度数为36°，
补全条形统计图如下；
8（2）根据条形统计图可得平均每人浪费矿泉水量约为：
(25× ×500+10×500× +5×500)÷50
= ÷50≈183毫升；
（3）该单位每年参加此类会议的总人数约为 24000 人~3600 人，则浪费矿泉水约为
3000×183÷500=1098瓶．
22、（1）证明：依题意可知，A（0，2）
∵A（0，2），P（4，2），
∴AP∥x轴 ．
∴∠OAP=90°，且点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解法一：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠OBP=90°，即∠OBP=∠PEC，
又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC．
∴△OBC≌△PEC．
∴OC=PC．
（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）
设OC=PC=x，
则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，
在Rt△PCE中，∵PC2=CE2+PE2，
∴ x2=(4 － x)2+22 ， 解 得 x= ， … … … … … … … … 4
分
∴BC=CE=4－ = ，
∵ OB·BC= OC·BD，即 ×2× = × ×BD，∴BD= ．
∴OD= = = ，
由点B在第四象限可知B（ ， ）；
9解法二：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥y轴于点D，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠OBP=90°即∠OBP=∠PEC．
又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC，
∴△OBC≌△PEC．
∴OC=PC（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可）
设OC=PC=x，
则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，
在Rt△PCE中，∵PC2=CE2＋PE2,
∴x2=(4－x)2+22，解得x= ，………
……………………… 4分
∴BC=CE=4－ = ，
∵BD∥x轴，
∴∠COB=∠OBD，
又∵∠OBC=∠BDO=90°，
∴△OBC∽△BDO， ∴ = = ，
即 = = ．
∴BD= ，OD= ．
由点B在第四象限可知B（ ， ）；
24、解：
●操作发现：①②③④
●数学思考：
答：MD=ME，
１、MD=ME；
10如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，
∵M是BC的中点，
∴MF∥AC，MF= AC．
又∵EG是等腰Rt△A EC斜边上的中线，
∴EG⊥AC且EG= AC，
∴MF=EG．
同理可证DF=MG．
∵MF∥AC，
∴∠MFA＋∠BAC=180°．
同理可得∠MGA+∠BAC=180°，
∴∠MFA=∠MGA．
又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°．
同理可得∠DFA=90°，
∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，
即∠DFM=∠MEG，又MF=EG，DF=MG，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD=ME．
●类比探究
（1）答：等腰直角三解形
（2）增加条件∠BAD=∠CAE或∠BAD+∠CAE=∠BAC
25、解：（1）∵y=―(x―a)2+a 与x轴交于点A（0，0），
1 1 1 0
∴―a2+ a=0，∴a=0或1．
1 1 1
由已知可知a>0，
1
∴a=1．
1
即y=―(x―1)2+1
1
方法一：令y=0代入得：―(x―1)2+1=0，
1
∴x=0，x=2，
1 2
∴y 与x轴交于A（0，0），A（2，0）
1 0 1
∴b=2，
1
方法二：∵y=―(x―a)2+a 与x轴交于点A（0，0），
1 1 1 0 [来源:学科网ZXXK]
∴―(b―1)2+1=0，b=2或0，b=0（舍去）．
1 1 1
∴b=2．
1
又∵抛物线y=―(x―a)2+a 与x轴交于点A（2，0），
2 2 2 1
∴―(2―a)2+ a=0，
2 2
∴a=1或4，∵a> a，∴a=1（舍去）．
2 2 1 2
∴取a=4，抛物线y=―(x―4)2+4．
2 2
（2）（9，9）；
（n2，n2）
11y=x．
详解如下：
∵抛物线y=―(x―4)2+4令y=0代入得：―(x―4)2+4=0，
2 2
∴x=2，x=6．
1 2
∴y 与x轴交于点A（2，0），A（6，0）．
2 1 2 [来源:Zxxk.Com]
又∵抛物线y=―(x―a)2+a 与x轴交于A（6，0），
3 3 3 2
∴―(6―a)2+a=0
3 3
∴a=4或9，∵a> a，∴a=4（舍去），
3 3 3 3
即a=9，∴抛物线y 的顶点坐标为（9，9）．
3 3
由抛物线y 的顶点坐标为（1，1），y 的顶点坐标为（4，4），y 的顶点坐标为（9，9），依次类推
1 2 3
抛物线y 的顶点坐标为（n2，n2）．
n
∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，
∴顶点坐标满足的函数关系式是：y= x；
(3)∵A（0，0），A（2，0），
0 1
∴A A=2．
0 1
又∵y=―(x―n2)2+n2，
n
令y=0，
n
∴―(x―n2)2+n2=0，
即x=n2+n，x=n2－n，
1 2
∴ A (n2 － n ， 0) ， A (n2+n ， 0) ， 即 A A =( n2+n
n － 1 n n － 1 n
)－( n2－n)=2 n．
②存在．是平行于直线y=x且过A（2，0）的直线，其表达式为y=x－2．
1
12
