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数学
卷Ⅰ
一、选择题（本题有10小题，第1-5小题，每小题3分，第6-10小题，每小题4分，共35分，
每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1. 如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解．
【详解】解：由数轴可知点A表示的数是 ，所以比 大3的数是 ；
故选D．
【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键．
2. 截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体的三视图可进行求解．
【详解】解：由图可知该几何体的主视图是 ；
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故选：A．
【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．
3. 苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为
“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于 10
时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：数据218000000用科学记数法表示为 ；
故选B．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
4. 某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．若从中随机选择
一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率公式可直接求解．
【详解】解：∵有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山，
∴若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为 ；
故选：C．
【点睛】本题考查了根据概率公式求简单事件的概率，正确理解题意是关键．
5. 某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．为了解学生想法，
校方进行问卷调查（每人选一个地点），并绘制成如图所示统计图．已知选择雁荡山的有 270人，那么选
择楠溪江的有（ ）
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A. 90人 B. 180人 C. 270人 D. 360人
【答案】B
【解析】
【分析】根据选择雁荡山的有 人，占比为 ，求得总人数，进而即可求解．
【详解】解：∵雁荡山的有 人，占比为 ，
∴总人数为 人
∴选择楠溪江的有 人，
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形统计图，从统计图获取信息是解题的关键．
6. 化简 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是
解题的关键．
7. 一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．
设蛋白质、脂肪的含量分别为 ， ，可列出方程为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程．
【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为 ， ，则碳水化合物含量为 ，
则： ，即 ，
故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关
系，列方程．
8. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．
作菱形 ，使点D，E，F分别在边 ， ， 上，过点E作 于点H．当 ，
， 时， 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形性质和解直角三角形求出 ， ，继而 求出
再根据 ，即可求 ．
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【详解】解：∵在菱形 中， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质，根据菱形性质和解直角三角形求出 、 、
是解题关键．
9. 如图，四边形 内接于 ， ， ．若 ， ，则
的度数与 的长分别为（ ）
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A. 10°，1 B. 10°， C. 15°，1 D. 15°，
【答案】C
【解析】
【分析】过点O作 于点E，由题意易得 ，然后可得
， ， ， 进 而 可 得
，最后问题可求解．
【详解】解：过点O作 于点E，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
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∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三
角函数是解题的关键．
10. 【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③
两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分
钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到
出口还要走10分钟．
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（ ）
A. 4200米 B. 4800米 C. 5200米 D. 5400米
【答案】B
【解析】
【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象
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可知 ，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游
路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解．
【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为 （分钟），小温游玩行走的时间为
（分钟）；
设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得：
，
解得： ，
∴游玩行走的速度为 （米/秒），
由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为 ，
∴ ，
∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为 （米）；
故选B．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之
间的等量关系．
卷Ⅱ
二、填空题（本题有6小题，第11—15小题，每小题4分，第16小题5分，共25分）
11. 分解因式： ____________ ．
【答案】 ．
【解析】
【分析】利用提公因式法进行解题，即可得到答案．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法进行解题．
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12. 某校学生“亚运知识”竞赛成绩的频数直方图(每一组含前一个边界值，不含后一个边界值)如图所示，
其中成绩在 分及以上的学生有___________人．
【答案】
【解析】
【分析】根据频数直方图，直接可得结论．
【详解】解：依题意，其中成绩在 分及以上的学生有 人，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了频数直方图，从统计图获取信息是解题的关键．
13. 不等式组 的解是___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据不等式的性质先求出每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【详解】解不等式组：
解：由①得， ；
由②得，
所以， ．
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故答案为： ．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知求公共解的原则是
解题关键．
14. 若扇形的圆心角为 ，半径为 ，则它的弧长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长公式 即可求解．
【详解】解：扇形的圆心角为 ，半径为 ，
∴它的弧长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
15. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强
P（ ）与汽缸内气体的体积V（ ）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由 加
压到 ，则气体体积压缩了___________ ．
【答案】20
【解析】
【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为 ，然后问题可求解．
【详解】解：设P关于V的函数解析式为 ，由图象可把点 代入得： ，
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∴P关于V的函数解析式为 ，
∴当 时，则 ，
∴压强由 加压到 ，则气体体积压缩了 ；
故答案为20．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
16. 图1是 方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为 ，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图
2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形 作为题字区域(点 ， ， ， 在圆上，
点 ， 在 上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为___________．若点 ， ， 在同一直线上，
， ，则题字区域的面积为___________．
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心 的位置，进而垂径定理、勾股定理求得 ，连
接 ，取 的中点 ，连接 ，在 中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意， ，
∵过左侧的三个端点 作圆， ，
又 ，
∴ 在 上，连接 ，则 为半径，
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∵ ，
在 中，
∴
解得： ；
连接 ，取 的中点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ， ， 在同一直线上，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴
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∵ ，
∴
∴
∵
∴
∴ ，
∵ ，
设 ，则
在 中，
即
整理得
即
解得： 或
∴题字区域的面积为
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了垂径定理，平行线分线段成比例，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
三、解答题（本题有8小题，共90分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. 计算：
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（1） ．
（2） ．
【答案】（1）12 （2）
【解析】
【分析】（1）先计算绝对值、立方根、负整数指数，再计算加减；
（2）根据同分母分式的加减法解答即可．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算和同分母分式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18. 如图，在 的方格纸 中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶
点均在格点上）．
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（1）在图中画一个等腰三角形 ，使底边长为 ，点E在 上，点F在 上，再画出该三角形
绕矩形 的中心旋转180°后的图形．
（2）在图中画一个 ，使 ，点Q在 上，点R在 上，再画出该三角形向右平移
1个单位后的图形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）底边长为 即底边为小方格的对角线，根据要求画出底边，再在其底边的垂直平分线找到
在格点上的顶点即可得到等腰 ，然后根据中心旋转性质作出绕矩形 的中心旋转180°后的图
形．
（2）根据网格特点，按要求构造等腰直角三角形，然后按平移的规律作出平移后图形即可．
【小问1详解】
（1）画法不唯一，如图1（ ， ），或图2（ ）．
【小问2详解】
画法不唯一，如图3或图4．
【点睛】本题主要考查了格点作图，解题关键是掌
握网格 的特点，灵活画出相等的线段和互相垂直或平行的线段．
19. 某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算
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从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210 ，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三
种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
型 中位数（
平均里程（ ） 众数（ ）
号 ）
B 216 215 220
C 225 227.5 227.5
（1）阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数．
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的
百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
【答案】（1）平均里程：200km；中位数： ，众数：
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）观察统计图，根据平均数、中位数和众数的计算方法求解即可；
（2）根据各型号汽车的平均里程、中位数、众数和租金方面进行分析．
【小问1详解】
解：由统计图可知：
A型号汽车的平均里程： ，
A型号汽车的里程由小到大排序：最中间的两个数（第10、11个数据）是200、200，故中位数
，
出现充满电后的里程最多的是205公里，共六次，故众数为 ．
【小问2详解】
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选择B型号汽车．理由： 型号汽车的平均里程、中位数、众数均低于 ，且只有10%的车辆能达
到行程要求，故不建议选择； ， 型号汽车的平均里程、中位数、众数都超过 ，其中 型号汽
车有90%符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且 型号汽车比 型号汽车更经济实
惠，故建议选择 型号汽车．
【点睛】本题考查了统计量的选择，平均数、中位数和众数，熟练掌握平均数、方差、中位数的定义和意
义是解题的关键．
20. 如图，在直角坐标系中，点 在直线 上，过点A的直线交y轴于点 ．
（1）求m的值和直线 的函数表达式．
（2）若点 在线段 上，点 在直线 上，求 的最大值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线 的函数解析式为 ，进而
根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（ 2 ） 由 （ 1 ） 及 题 意 易 得 ， ， 则 有
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，然后根据一次函数 的性质可进行求解．
【小问1详解】
解：把点 代入 ，得 ．
设直线 的函数表达式为 ，把点 ， 代入得
，解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ．
【小问2详解】
解：∵点 在线段 上，点 在直线 上，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ 的值随 的增大而减小，
∴当 时， 的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
21. 如图，已知矩形 ，点E在 延长线上，点F在 延长线上，过点下作 交 的
延长线于点H，连结 交 于点G， ．
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（1）求证： ．
（2）当 ， 时，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角得出 ，根据矩形的性质得出 ，
，即可证明 ，根据全等三角形的性质得出 ，进
而即可求解；
（2）根据 ，得出 ，设 ，则 ， ，
，根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
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【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
设 ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等
腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22. 一次足球训练中，小明从球门正前方 的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距
离为 时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高 为2.44m，现以O为原点建立如图所示直
角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
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（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动
多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【答案】（1） ，球不能射进球门
（2）当时他应该带球向正后方移动1米射门
【解析】
【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得
到函数表达式，再把 代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点 代入即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
把点 代入，得 ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ，
当 时， ，
∴球不能射进球门；
【小问2详解】
设小明带球向正后方移动 米，则移动后的抛物线为 ，
把点 代入得 ，
解得 （舍去）， ，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
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【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，
熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23. 根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射
塔的高度 （如图1）．他们通过自制的测倾仪
（如图2）在 ， ， 三个位置观测，测倾仪上
的示数如图3所示．
背
景
素
材
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
分析规划 选择两个观测位置：点_________和点_________
任
务
写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之
1 获取数据
间的图上距离．
任
务 推理计算 计算发射塔的图上高度 ．
2
任
楼房实际宽度 为 米，请通过测量换算发
务 换算高度
射塔的实际高度．
3
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1 ．
【答案】规划一：[任务 1]选择点 和点 ； ， ， ，测得图上
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；[任务 2] ；[任务 3]发射塔的实际高度为 米；规划二：[任务 1]选择点 和点
．[任务 2] ；[任务 3]发射塔的实际高度为 米；
【解析】
【分析】规划一：[任务 1]选择点 和点 ,根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上
[任务 2]如图1，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，设 ．根据
， ，得出 ， ．由 ，解得
，根据 ，得出 ，即可求解；
[任务3 ]测得图上 ，设发射塔的实际高度为 米．由题意，得 ，解得 ，
规划二：[任务 1]选择点 和点 ．根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上 ；
[任务 2]如图2，过点 作 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则
，设 ．根据 ， ，得出
， ．根据 ，得出 ，然后根据 ，得出
，进而即可求解．
[任务 3]测得图上 ，设发射塔的实际高度为 米．由题意，得 ，解得 ，即可
求解．
【详解】解：有以下两种规划，任选一种作答即可．
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规划一：
[任务 1]选择点 和点 ．
， ， ，测得图上 ．
[任务 2]如图1，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
则 ，设 ．
∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴
解得 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
[任务3 ]测得图上 ，设发射塔的实际高度为 米．
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由题意，得 ，解得 ，
∴发射塔的实际高度为 米．
规划二：
[任务 1]选择点 和点 ．
， ， ，测得图上 ．
的
[任务 2]如图2，过点 作 于点 ，过点 作 ，交 延长线于点 ，则
，设 ．
∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
∵ ，∴ ，
25【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ．
[任务 3]测得图上 ，设发射塔的实际高度为 米．
由题意，得 ，解得 ．
∴发射塔的实际高度为 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
24. 如图1， 为半圆 的直径， 为 延长线上一点， 切半圆于点 ， ，交 延长
线于点 ，交半圆于点 ，已知 ， ．如图 ，连接 ， 为线段 上一点，过点
作 的平行线分别交 ， 于点 ， ，过点 作 于点 ．设 ， ．
（1）求 的长和 关于 的函数表达式．
（2）当 ，且长度分别等于 ， ， 的三条线段组成的三角形与 相似时，求 的值．
（3）延长 交半圆 于点 ，当 时，求 的长．
【答案】（1） ，
（2） 或 或
（3）
【解析】
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【分析】（1）如图1，连接 ，根据切线的性质得出 ，证明 ，得出 ，
即可得出 ；证明四边形 是平行四边形，得出 ，代入数据可得 ；
（2）根据 三边之比为 ，可分为三种情况．当 时，当 时，当
时，分别列出比例式，进而即可求解．
（3）连接 ， ，过点 作 于点 ，根据 ，得出
，由 ，可得 ，代入（1）中解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：如图1，连接 ．
∵ 切半圆 于点 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
即 ，
∴ ．
如图2， ，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
∵ ， ， 三边之比为 （如图2），
∴可分为三种情况．
i）当 时，
28【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
， ，
解得 ，
∴ ．
ii）当 时，
， ，
解得 ，
∴ ．
iii）当 时，
， ，
解得 ，
∴ ．
【小问3详解】
如图3，连接 ， ，过点 作 于点 ，
29【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
则 ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 的长为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，函数解析式，分类讨论，作
出辅助线是解题的关键．
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