文档内容
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2023 年杭州市初中学业水平考试
数学
考生须知：
1．本试卷满分120分，考试时间100分钟．
2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号．
3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明．
4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．
5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交．
参考公式：
二次函数 图象的顶点坐标公式： ．
试题卷
一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．
解题关键是正确确定a的值以及n的值．
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2. （ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先计算乘方，再计算加法即可求解．
【详解】解： ，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数度混合运算，熟练掌握有理数乘方运算法则是解题的关键．
3. 分解因式： （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平方差公式分解即可．
【详解】 ．
故选：A．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公
因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
4. 如图，矩形 的对角线 相交于点 ．若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】根据矩形性质得出 ，推出 则有等边
三角形 ，即 ，然后运用余切函数即可解答．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出 是解
答本题的关键．
5. 在直角坐标系中，把点 先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点 ．若点 的横坐标和
纵坐标相等，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点 的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可．
【详解】解： 点 先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点 ，
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，即 ，
点 的横坐标和纵坐标相等，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标
系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减．
6. 如图，在 中，半径 互相垂直，点 在劣弧 上．若 ，则 （
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 根 据 互 相 垂 直 可 得 所 对 的 圆 心 角 为 ， 根 据 圆 周 角 定 理 可 得
，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，
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半径 互相垂直，
，
所对的圆心角为 ，
所对的圆周角 ，
又 ，
，
故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周
角等于圆心角的一半．
7. 已知数轴上的点 分别表示数 ，其中 ， ．若 ，数 在数轴上用点
表示，则点 在数轴上的位置可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由 ， ， ，根据不等式性质得出 ，再分别判定即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
∵
∴
A、 ，故此选项不符合题意；
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B、 ，故此选项符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由 ， ， 得出
是解题的关键．
8. 设二次函数 是实数 ，则（ ）
A. 当 时，函数 的最小值为 B. 当 时，函数 的最小值为
C. 当 时，函数 的最小值为 D. 当 时，函数 的最小值为
【答案】A
【解析】
【分析】令 ，则 ，解得： ， ，从而求得抛物线对称轴为
直线 ，再分别求出当 或 时函数y的最小值即可求解．
【详解】解：令 ，则 ，
解得： ， ，
∴抛物线对称轴为直线
当 时， 抛物线对称轴为直线 ，
把 代入 ，得 ，
∵
∴当 ， 时，y有最小值，最小值为 ．
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故A正确，B错误；
当 时， 抛物线对称轴为直线 ，
把 代入 ，得 ，
∵
∴当 ， 时，y有最小值，最小值为 ，
故C、D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．
9. 一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子
向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（
）
A. 中位数是3，众数是2 B. 平均数是3，中位数是2
C. 平均数是3，方差是2 D. 平均数是3，众数是2
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．
【详解】解：当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或
2，2，3，5，6，故A选项不合题意；
当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，
5，故B选项不合题意；
当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：1，
2，3，3，此时方差 ，
因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项符合题意；
当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，
故D选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是根据每个选项中的设定情况，列出可能出
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现的5个数字．
10. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在
由四个全等的直角三角形（ ）和中间一个小正方形 拼成的大正
方形 中， ，连接 ．设 ，若正方形 与正方形
的面积之比为 ，则 （ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】设 ， ，首先根据 得到 ，然后表示出正方
形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，最后利用正方形 与正方形
的面积之比为 求解即可．
【详解】设 ， ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，整理得 ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴正方形 的面积为 ，
的
∵正方形 面积为 ，
∵正方形 与正方形 的面积之比为 ，
∴ ，
∴解得 ．
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 计算: ______
【答案】
【解析】
【详解】试题解析：
12. 如图，点 分别在 的边 上，且 ，点 在线段 的延长线上．若
， ，则 _________．
【答案】 ##90度
【解析】
【分析】首先根据平行线的性质得到 ，然后根据三角形外角的性质求解即可．
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【详解】∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
13. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和 个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红
球的概率为 ，则 _________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可．
【详解】解： 从中任意摸出一个球是红球的概率为 ，
，
去分母，得 ，
解得 ，
经检验 是所列分式方程的根，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式．
14. 如图，六边形 是 的内接正六边形，设正六边形 的面积为 ， 的面
积为 ，则 _________．
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【答案】2
【解析】
【分析】连接 ，首先证明出 是 的内接正三角形，然后证明出
，得到 ， ，进而求解即可．
【详解】如图所示，连接 ，
∵六边形 是 的内接正六边形，
∴ ，
∴ 是 的内接正三角形，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
同理可得， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由圆和正六边形的性质可得， ，
由圆和正三角形的性质可得， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知
识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
15. 在“ “探索一次函数 的系数 与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：
．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数
表达式 ．分别计算 ， 的值，其中最大的值等
于_________．
【答案】5
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【解析】
【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出 ， 进行比较即可解答．
【详解】解：设 过 ，则有：
，解得： ，则 ；
同理： ，
则分别计算 ， 的最大值为值 ．
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．
16. 如 图 ， 在 中 ， ， 点 分 别 在 边 ， 上 ， 连 接
，已知点 和点 关于直线 对称．设 ，若 ，则 _________（结
果用含 的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明 ，再证 ，推出 ，
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通过证明 ，推出 ，即可求出 的值．
【详解】解： 点 和点 关于直线 对称，
，
，
．
，
，
点 和点 关于直线 对称，
，
又 ，
，
，
， ，
点 和点 关于直线 对称，
，
，
，
，
在 和 中，
，
．
在 中， ，
， ，
，
14【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
，
， ，
．
，
，
解得 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，
三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明 ．
三、解答题：（本大题有7个小题，共66分）
17. 设一元二次方程 ．在下面的四组条件中选择其中一组 的值，使这个方程有两个不相等
的实数根，并解这个方程．
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① ；② ；③ ；④ ．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】选②， ， ；选③， ，
【解析】
【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解： 中 ，
① 时， ，方程有两个相等的实数根；
② 时， ，方程有两个不相等的实数根；
③ 时， ，方程有两个不相等的实数根；
④ 时， ，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择② 时，
，
，
，
， ；
选择③ 时，
，
，
，
16【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
， ．
【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一
元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个不相等
的实数根；当 时，方程没有实数根．
18. 某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生作调查，把收集的数据按
照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）
进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图．
（3）已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数．
【答案】（1）200名
（2）见解析 （3）600名
【解析】
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）先求出B类学生人数为： (名)，再补画长形图即可；
（3）用该校学生总数1000乘以B类的学生所占百分比即可求解．
【小问1详解】
解： (名)，
答：这次抽样调查中，共调查了200名学生；
【小问2详解】
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解：B类学生人数为： (名)，
补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
解： (名)，
答：估计B类的学生人数600名．
【点睛】本题考查样本容量，条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，从条形统计图与扇形统计图获
取到有用信息是解题的关键．
19. 如图，平行四边形 的对角线 相交于点 ，点 在对角线 上，且
，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）若 的面积等于2，求 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）1
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得 ， ，结合 可得
，即可证明四边形 是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等可得 ，再根据平行四边形的性质可得
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．
【小问1详解】
证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形．
【小问2详解】
解： ， ，
，
四边形 是平行四边形，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
20. 在直角坐标系中，已知 ，设函数 与函数 的图象交于点 和点 ．
已知点 的横坐标是2，点 的纵坐标是 ．
（1）求 的值．
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（2）过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，在第二象限交于点 ；过点 作 轴的垂线，过点
作 轴的垂线，在第四象限交于点 ．求证：直线 经过原点．
【答案】（1） ，
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）首先将点 的横坐标代入 求出点A的坐标，然后代入 求出
，然后将点 的纵坐标代入 求出 ，然后代入 即可求出
；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出 所在直线的表
达式，进而求解即可．
【小问1详解】
∵点 的横坐标是2，
∴将 代入
∴ ，
∴将 代入 得， ，
∴ ，
∵点 的纵坐标是 ，
∴将 代入 得， ，
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∴ ，
∴将 代入 得， ，
∴解得 ，
∴ ；
【小问2详解】
如图所示，
由题意可得， ， ，
∴设 所在直线的表达式为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴直线 经过原点．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题 的关键是熟练掌
握以上知识点．
21. 在边长为 的正方形 中，点 在边 上（不与点 ， 重合），射线 与射线 交于点
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．
（1）若 ，求 的长．
（2）求证： ．
（3）以点 为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点 ．若 ，求 的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）证明 ，利用相似三角形的对应边成比例求解；
（2）证明 ，利用相似三角形的对应边成比例证明；
（3）设 ，则 ， ，在 中，利用勾股定理求解．
【小问1详解】
解：由题知， ，
若 ，则 ．
四边形 是正方形，
，
又 ，
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，
，
即 ，
．
【小问2详解】
证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：设 ，
则 ， ．
在 中， ，
即 ，
解得 ．
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定
理是解题的关键．
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22. 设二次函数 ，（ ， 是实数）．已知函数值 和自变量 的部分对应取值如下表
所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
（1）若 ，求二次函数的表达式；
（2）写出一个符合条件的 的取值范围，使得 随 的增大而减小．
（3）若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）当 时，则 时， 随 的增大而减小；当 时，则 时， 随 的增大而减小
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可．
（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线 ；再根据抛物线的增减性求解即可．
（3）先把 代入 ，得 ，从而得 ，再求出 ，
， ，从而得 ，然后m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，得 ，
求解即可．
【小问1详解】
解：把 ， 代入 ，得
，解得： ，
∴ ．
【小问2详解】
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解：∵ ， 在 图象上，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 时，则 时， 随 的增大而减小，
当 时，则 时， 随 的增大而减小．
【小问3详解】
解：把 代入 ，得
，
∴
∴
把 代入 得， ，
把 代入 得， ，
把 代入 得， ，
∴ ，
∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，
∴ ，解得： ．
【点睛】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质，解不等式组，熟练掌握用待定系数
法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键．
23. 如图，在 中，直径 垂直弦 于点 ，连接 ，作 于点 ，交线段
于点 （不与点 重合），连接 ．
25【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）若 ，求 的长．
（2）求证： ．
（3）若 ，猜想 的度数，并证明你的结论．
【答案】（1）1 （2）见解析
（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由垂径定理可得 ，结合 可得 ，根据圆周角定理可
得 ，进而可得 ，通过证明 可得 ；
（2）证明 ，根据对应边成比例可得 ，再根据 ， ，
可证 ；
（3）设 ， ，可证 ， ，通过
证明 ，进而可得 ，即 ，则 ．
【小问1详解】
解： 直径 垂直弦 ，
，
26【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
，
，
由圆周角定理得 ，
，
在 和 中，
，
，
；
【小问2详解】
证明： 是 的直径，
，
在 和 中，
，
，
，
，
由（1）知 ，
27【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
又 ，
；
【小问3详解】
解： ，证明如下：
如图，连接 ，
，
，
直径 垂直弦 ，
， ，
又 ，
，
，
设 ， ，
则 ，
，
，
28【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
又 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
在
和 中，
，
，
即 ，
，
．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三
角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论
证．
29
