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2021 年浙江省初中毕业生学业考试（台州卷） 数学
亲爱的考生：
欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平，答题时，请注意以下几点：
1.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2.答案必写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．
3.答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题．
4.本次考试不得使用计算器．
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选
项，不选多选、错选，均不给分）
1. 用五个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是（ ）
A.
B.
C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】从正面看所得到的图形即为主视图，因此选项B的图形符合题意．
【详解】解：根据主视图的意义可知，从正面看到四个正方形，
故选：B．
【点睛】考查简单组合体的三视图的画法，从不同方向对物体进行正投影所得到的图形分别为主视图、左
视图、俯视图．
2. 小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别
为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短
C. 三角形两边之和大于第三边 D. 两点确定一条直线
【答案】A
【解析】
【分析】根据线段的性质即可求解．
【详解】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比
两地距离要长，
故选：A．
【点睛】本题考查线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
3. 大小在 和 之间的整数有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】B
【解析】【分析】先估算 和 的值，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴在 和 之间的整数只有2，这一个数，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是得到最接近无理数的两个有理数的值．现
实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. a2＋a＝a3 B. （ ab）2＝ ab2 C. a5÷a2＝a3 D. a5・a2＝a10
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘的法则分别计算即可．
【详解】解：A． 与a不是同类项，不能合并，故该项错误；
B． ，故该项错误；
C． ，该项正确；
D． ，该项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查整式的运算，掌握合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘的法则是解题
的关键．
5. 关于x的方程x2 4x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＞2 B. m＜2 C. m＞4 D. m＜4
【答案】D
【解析】
【分析】根据方程x2 4x＋m＝0有两个不相等的实数根，可得 ，进而即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程x2 4x＋m＝0有两个不相等的实数根，
∴ ，解得：m＜4，
故选D．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握ax2+bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，
则判别式大于零，是解题的关键．
6. 超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量
（单位：g）平均数和方差分别为 ，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差 ， ，则下列结论一
1
定成立的是（ ）
A. B. C. s2＞ D. s2
1 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数和方差的意义，即可得到答案．
【详解】解：∵顾客从一批大小不一的鸡蛋中选购了部分大小均匀的鸡蛋，
∴ ＜s2， 和 的大小关系不明确，
1
故选C
【点睛】本题主要考查平均数和方差的意义，掌握一组数据越稳定，方差越小，是解题的关键．
7. 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（ ）
A. 40° B. 43° C. 45° D. 47°
【答案】B
【解析】
【分析】过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，
∵直尺的两边互相平行，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
8. 已知（a＋b）2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝（ ）
A. 24 B. 48 C. 12 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用完全平方公式计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查整体法求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键．
9. 将x克含糖10 的糖水与y克含糖30 的糖水混合，混合后的糖水含糖（ ）
A. 20 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出两份糖水中糖的重量，再除以混合之后的糖水总重，即可求解．
【详解】解：混合之后糖的含量： ，
故选：D．【点睛】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键．
10. 如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若
∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）
A. （36 ）cm2 B. （36 ）cm2 C. 24 cm2 D. 36 cm2
【答案】A
【解析】
【分析】过点 C 作 ，过点 B 作 ，根据折叠的性质求出 ，
，分别解直角三角形求出AB和AC的长度，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作 ，过点B作 ，
∵长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查折叠的性质、解直角三角形，掌握折叠的性质是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11. 因式分解：xy y2＝_____．
【答案】y(x-y)
【解析】
【分析】根据提取公因式法，即可分解因式．
【详解】解：原式= y(x-y)，
故答案是：y(x-y)．
【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法分解因式，是解题 的关键．
12. 一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机模出一个小球，该
小球是红色的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用概率公式即可求解．
【详解】解： ，
故答案 为： ．
【点睛】本题考查求概率，掌握概率公式是解题的关键．
13. 如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径 长度为
_____．（结果保留π）【答案】
【解析】
【分析】直接利用弧长公式即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键．
14. 如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，
则BF＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】先证明 ，得到 ，进而即可求解．
【详解】∵在正方形ABCD中，AF⊥EG，
∴∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，
∴∠FAB =∠AGE，
又∵∠ABF=∠GAE=90°，
∴ ，
∴ ，即： ，∴BF= ．
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查正方形 的性质，相似三角形的判定和性质，证明 ，是解题的关键．
15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，
两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于
点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】根据作图可得DF垂直平分线段AB，利用线段垂直平分线的性质可得 ，再根据等腰三
角形的三线合一可得△AFH的周长 ，即可求解．
【详解】解：由作图可得DF垂直平分线段AB，
∴ ，
∵以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴△AFH的周长 ，
故答案为：6．
【点睛】本题考查尺规作图—线段垂直平分线、等腰三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键．
16. 以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：
m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt 4.9t2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，
初速度为v，经过时间t 落回地面，运动过程中小球的最大高度为h（如图1）；小球落地后，竖直向上
1 1 1
弹起，初速度为v，经过时间t 落回地面，运动过程中小球的最大高度为h（如图2）．若h＝2h，则
2 2 2 1 2
t：t＝_____．
1 2
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图像分别求出两个函数解析式，表示出 ， ， ， ，
结合h＝2h，即可求解．
1 2
【详解】解：由题意得，图1中的函数图像解析式为：h＝vt 4.9t2，令h=0， 或 （舍去），
1
，
图2中的函数解析式为：h＝vt 4.9t2， 或 （舍去）， ，
2
∵h＝2h，
1 2
∴ =2 ，即： = 或 =- （舍去），∴t：t ： = ，
1 2=
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图像和性质，二次函数的顶点坐标公式，是
解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，第17~20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，
第24分14分，共80分）
17. 计算：| 2|＋ ．
【答案】2+
【解析】
【分析】先算绝对值，化简二次根式，再算加减法，即可求解．
【详解】解：原式=2＋
=2+ ．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质以及合并同类二次根式法则，是解题的
关键．
18. 解方程组：
【答案】 .
【解析】
【分析】观察方程组中同一未知数的系数特点：x的系数存在倍数关系，而y的系数互为相反数，因此将
两方程相加，消去y求出x，再求出y的值，可得到方程组的解.
【详解】解：①+②得：3x=3，
即x=1，
把x=1代入①得：y=2，
则方程组的解为 .【点睛】此题考查解二元一次方程组，解题关键在于利用加减消元法.
19. 图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地l，活动杆CD
固定在支撑杆上的点E处，若∠AED＝48°，BE＝110 cm，DE＝80 cm，求活动杆端点D离地面的高度
DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74， cos48°≈0.67， tan48°≈1. 11）
【答案】
【解析】
【分析】过点E作 ，易得四边形EBFM是矩形，即 ，再通过解直角三角形
可得 ，即可求解．
【详解】解：过点E作 ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴四边形EBFM是矩形，
∴ ，
∵∠AED＝48°，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，做出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20. 小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速
为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为
160毫升．
（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；
（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．
【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60
分钟．
【解析】
【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解；
（2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解．
【详解】（1）解：75÷15=5（毫升/分钟），
250-5×10=200（毫升），
答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；
（2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟），
160÷4+20=60（分钟），
答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．
【点睛】本题主要考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关系，是解题的
关键．
21. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．
【答案】（1）见详解；（2）60°
【解析】
【分析】（1）通过SSS证明△ABC≌△ADC，即可；
（2）先证明AC垂直平分BD，从而得 是等腰直角三角形，求出BO= 10，从而得BD=20，
是等边三角形，进而即可求解．
【详解】（1）证明：在△ABC和△ADC中，
∵
∴△ABC≌△ADC（SSS），
（2）连接BD，交AC于点O，
∵△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，BC=DC，
∴AC垂直平分BD，即：∠AOB=∠BOC=90°，
又∵∠BCA＝45°，
∴ 是等腰直角三角形，
∴BO=BC÷ =10 ÷ =10，
∴BD=2BO=20，
∵AB＝AD＝20，∴ 是等边三角形，
∴∠BAD=60°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性
质，掌握垂直平分线的判定定理，是解题的关键．
22. 杨梅果实成熟期正值梅雨季节，雨水过量会导致杨梅树大量落果，给果农造成损失．为此，市农科所
开展了用防雨布保护杨梅果实的实验研究．在某杨梅果园随机选择40棵杨梅树，其中20棵加装防雨布
（甲组），另外20棵不加装防雨布（乙组）．在杨梅成熟期，统计了甲、乙两组中每一棵杨梅树的落果率
（落地的杨梅颗数占树上原有杨梅颗数的百分比），绘制成如下统计图表（数据分组包含左端值不包含右
端值）．
甲组杨梅树落果率频数分布表
落果率 组中值 频数（棵）
0≤x＜10% 5% 12
10%≤x＜20% 15% 4
20%≤x＜30% 25% 2
30%≤x＜40% 35% 1
40%≤x＜50% 45% 1
乙组杨梅树落果率频数分布直方图（1）甲、乙两组分别有几棵杨梅树的落果率低于20%？
（2）请用落果率的中位数或平均数，评价市农科所“用防雨布保护杨梅果实”的实际效果；
（3）若该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低多少？说出你的推断依据．
【答案】（1）甲、乙两组分别有16棵和2棵杨梅树的落果率低于20%；（2）“用防雨布保护杨梅果实”
大大降低了杨梅树的落果率，理由见详解；（3）该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低
21%．
【解析】
【分析】（1）根据频数直方图和频数统计表，直接求解即可；
（2）分别求出甲乙两组杨梅树落果率的组中值的中位数，即可得到结论；
（3）分别求出甲乙两组杨梅的落果率的平均数，即可得到答案．
【详解】解：（1）12+4=16（棵），1+1=2（棵），
答：甲、乙两组分别有16棵和2棵杨梅树的落果率低于20%；
（2）∵甲组杨梅树落果率的组中值从小到大排列：5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，
5%，5%，15%，15%，15%，15%，25%，25%，35%，45%，
∴甲组杨梅树落果率的组中值的中位数为：5%，
∵乙组杨梅树落果率的组中值从小到大排列：5%，15%， 25%，25%，25%，35%，35%，35%，35%，
35%，35%，35%，35%，35%，35%，45%，45%，45%，45%，45%，
∴乙组杨梅树落果率的组中值的中位数为：35%，
∴“用防雨布保护杨梅果实”的落果率的中位数低于“不加装防雨布”的落果率的中位数，
∴“用防雨布保护杨梅果实”大大降低了杨梅树的落果率；（3）（12×5%+4×15%+2×25%+1×35%+1×45%）÷20=12.5%，
（1×5%+1×15%+3×25%+10×35%+5×45%）÷20=33.5%，
.
335%-12.5%=21%，
答：该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低21%．
【点睛】本题主要考查频数直方图和频数统计表，中位数和平均数，准确从统计图表中找出数据，求出中
位数和平均数，是解题的关键．
23. 电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：
制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R， R 与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R
1 1 1
＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定
值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质
量m，
温馨提示：
①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝ ；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求k，b的值；
（2）求R 关于U 的函数解析式；
1 0
（3）用含U 的代数式表示m；
0
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
【答案】（1） ；（2） ；I（3） ；（4）该电子体重秤可称的最大
质量为460千克．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解；
（3）由R＝ m＋240， ，即可得到答案；
1
（4）把 时，代入 ，进而即可得到答案．
【详解】解：（1）把（0，240），（120，0）代入R＝km＋b，得 ，解得： ；
1
（2）∵ ，
∴ ；
（3）由（1）可知： ，
∴R＝ m＋240，
1
又∵ ，
∴ = m＋240，即： ；
（4）∵电压表量程为0~6伏，
∴当 时，
答：该电子体重秤可称的最大质量为460千克．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．
24. 如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4 ，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD．
（1）如图2，若点A是劣弧 的中点．
①求证：平行四边形ABCD是菱形；
②求平行四边形ABCD的面积．
（2）若点A运动到优弧 上，且平行四边形ABCD有一边与⊙O相切．
①求AB的长；
②直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值．
【答案】①证明见解析；② ；（2）①AB的长为 或 ；②
【解析】
【分析】（1）①利用等弧所对的弦相等可得 ，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得证；
②连接AO，交BD于点E，连接OD，根据垂径定理可得 ，利用勾股定理求出OE的长，
即可求解；
（2）①分情况讨论当CD与 相切时、当BC与 相切时，利用垂径定理即可求解；②根据等面积法
求出AH的长度，利用勾股定理求出DH的长度，根据正切的定义即可求解．
【详解】解：（1）①∵点A是劣弧 的中点，
∴ ，
∴ ，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②连接AO，交BD于点E，连接OD，
，
∵点A是劣弧 的中点，OA为半径，
∴ ，OA平分BD，
∴ ，
∵平行四边形ABCD是菱形，
∴E为两对角线的交点，
在 中， ,
∴ ，
∴ ；
（2）①如图，当CD与 相切时，连接DO并延长，交AB于点F，∵CD与 相切，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ；
如图，当BC与 相切时，连接BO并延长，交AD于点G，同理可得 ， ，
所以 ,
综上所述，AB的长为 或 ；
②过点A作 ，
，
由（2）得：
根据等面积法可得 ，
解得 ，
在在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查垂径定理、平行四边形的判定与性质、解直角三角形等内容，掌握分类讨论的思想是解
题的关键．
