1994年全国硕士研究生招生考试
数学(一)
(科目代码：301)
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)
(1) limcot x
x-*-0
(2) 曲面z — ez - 2xy = 3在点(1,2,0)处的切平面方程为________ .
(3) 设u = e_J sin —,则-~~在点(2,丄)处的值为________ .
y dx dy \ 兀 /
(4) 设区域 D 为工2 +亍 W R?，则dzdy =________ .
D
(5) 已知 a=(l,2,3),0 = (l,*,*)，设 A = a「“，其中 a「是 a 的转置，则 An =
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)
(1) 设 M —\2 n Sm X 2 cos4x d.z ,N = \ (sin3 j: +cosL)cLz ,P = \ (j^sin3# —cosG)(lz，则
J -号1 + z J —今 J _今
( ).
(A)N <P <M (B)M <P <N
(C)N <M <P (D)P <M <N
(2) 二元函数fCx ,y)在点(工0,%)处两个偏导数允(zo，》o)，于；(攵0，%)存在是于(攵，夕)在
该点连续的( )•
(A)充分条件但非必要条件 (E)必要条件但非充分条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件
OO OO
(3) 设常数入〉0,且级数工山收敛，则级数工(一1)" 7" ■( ).
n = l n = \
a/7? H- A
(A)发散 (E)条件收敛
(C)绝对收敛 (D)收敛性与入有关
( “ 4 ， ) 、 设 、n, l . i m--- a -- t - a -- n -- - j - c - - + --- - 6 -- ( - 1 -- 一 ---- c - o -- s - -- x -- ) - =2 c ,其 甘宀 中 / 2 + > c 2 ' H / O 八 ,则 血 必 ” 士 有 / ( 、 ).
…cln(l - 2jc) +/(1 —严)
(A)b=4“ (B)6 = — 4<7
(C)a=4c (D)a= —4c(5)已知向量组ax ,a2 ,a3 ,a4线性无关，则向量组( ).
(A) “i + a2 ,a2 +a3，a3 + 见山4 +ax 线性无关
(B) a! — a2,a2 —a3,a3 — a4 ,a4 —ax 线性无关
(C) a] + a2 ,a2 + a3 ,a3 + a4 ,a4 —a】线性无关
(D) a ] + a2,a2 + a3，a3—5,5 — a ]线性无关
二、（本题共3小题，每小题5分，满分15分）
\x = COS t2 9
⑴设］ 2 1 ‘求算當在t= 时的值.
\y =tcos t 一 ----cos 况diz 9 dz dr v 2
〔 J 1 2 贏
1 1 4- T i
⑵将函数心）=fn w +彗ctan ”7展开成”的幕级数.
⑶求J
sin 2x + 2sin x
四、（本题满分6分）
计算曲面积分『空警土丰学，其中S是由曲面x2+y2 =R2及两个平面z =R ,
弋 攵十夕十z
z = _R （R > 0）所围成的立体表面的外侧.五、（本题满分9分）
设/（^）具有二阶连续导数，/'（0） =0,/（0） =1,且
（x + y ） — f （x ） y^\dx + \_f' （x ） x2 y~\dy = 0
为一个全微分方程，求 g 及此全微分方程的通解.
六、（本题满分8分）
设yQ）在工=0的某一邻域内具有二阶连续导数，且lim心空=0,证明：级数乞”丄）绝
L0 ”=] \ 九 /
X
对收敛.
七、（本题满分6分）
已知点A与点£的直角坐标分别为（1,0,0）与（0,1,1）,线段绕z轴旋转一周所围成的
旋转曲面为S,求由S及两平面z =0,z = 1所围成的立体的体积.
八、（本题满分8分）
1 + = 0 ,
[x X 2
设四元齐次线性方程组（I）为 又已知某线性齐次方程组（U）的通解为
2 4 = 0.
\X — X
紅（0,1,1,0）T +匕（一 1,2,2,1）T.
（1） 求线性方程组（I ）的基础解系；
（2） 问线性方程组（I ）与（H）是否有非零公共解？若有，求出所有非零的公共解；若没有，说
明理由.九、(本题满分6分)
设A为兀阶非零方阵,A *为A的伴随矩阵,人丁是A的转置矩阵，当A" =At时，证明:
|A|HO.
十、填空题(本题共2小题，每小题3分，满分6分)
(1) 设随机事件满足条件P(AB) =P(A B),且P(A) =p,则P(B) =_______ .
(2) 设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律，且X的分布律为
X 0 1
1 1
P
2
则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为________.
十一、(本题满分6分)
已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),
V
1 y
X ,Y的相关系数 pxy = ，设Z = — + —.
(1) 求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；
(2) 求X与Z的相关系数。农；
(3) 问X与Z是否相互独立？为什么？
