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高数基础班（23） 23 三重积分、线面积分的概念、计算方法及举例（曲线积分） P264-P277 主讲 武忠祥 教授第十二章 多元积分学及其应用 第一节 三重积分 第二节 曲线积分 第三节 曲面积分 第四节 多元积分应用 第五节 场论初步第一节 三 重 积 分 n 1. 定义  f (x, y, z)dV  lim  f (  , )v k, k k k 0  k1 2. 性质 3. 计算 1) 直角坐标 i) 先一后二; z (x,y)  f (x, y, z)dv  d 2 f (x, y, z)dz z (x,y) 1  D xy ii) 先二后一; c  f (x, y, z)dv  2 dz  f (x, y, z)dxdy c 1  D z2) 柱坐标 x  r cos, 0  r  ,   y  r sin, 0  2,   z  z,    z  .   dv rdrd dz  f ( x, y, z)dv  f (r cos  , r sin  , z)rdrddz  3) 球坐标 x  r sincos, 0  r  ,   y  r sinsin, 0 ,   z  r cos, 0  2.  2    dv r sin drd d  f (x, y, z)dv  f (r sincos,r sinsin,r cos)r 2 sindrdd  4) 利奇偶性 若积分域  关于 xoy 坐标面对称  2  f (x, y, z)dV f (x, y,z)  f (x, y, z).   f (x, y, z)dV    z0    0 f (x, y,z)   f (x, y, z). 5)利用变量的对称性常 考 题 型 与 典 型 例 题 常考题型 三重积分计算【例1】(1988年）设有空间区域  : x 2  y 2  z 2  R 2 , z  0; 1 及 则（ ）  : x 2  y 2  z 2  R 2 , x  0, y  0, z  0, 2 （A） x d v  4  x d v （B）  y d v  4  y d v     1 2 1 2 （C）  z d v  4  z d v （D）  xyz d v  4  xyz d v     1 2 1 2 【解】【例2】(2009年）设   {(x, y, z) | x 2  y 2  z 2  1} ，则 4  z 2 d x d y d z  ________ . [ ] 15  【解1】【例2】(2009年）设   {(x, y, z) | x 2  y 2  z 2  1} ，则 4  z 2 d x d y d z  ________ . [ ] 15  【解2】【例3】(2015年）设  是由平面 x  y  z  1 与三个坐标 平面成的空间区域，则  (x  2 y  3z)dxdydz  ___________ .  【解1】由变量的对称性知  xdxdydz   zdxdydz,    2 ydxdydz   2zdxdydz,   则  (x  2 y  3z)dxdydz  6  zdxdydz   1 1x 1x y  6  dx  dy  zdz 0 0 0 1 1x  3  dx  (1  x  y) 2 dy 0 0 1 1   (1  x) 3 dx  0 4【解2】由变量的对称性知  (x  2 y  3z)dxdydz  6  zdxdydz   1  6  dz  zd x d y (先二后一) 0 D z 1 1 1  6  z  (1  z) 2 dz  0 2 4【例4】(1989年）计算三重积分  (x  z)d v ，其中   是由曲面 z  x 2  y 2 与 z  1  x 2  y 2 所围成的区域. 【解1】由  关于 yOz 坐标面对称， x 是 x 的奇函数,则  x d v  0.  利用球面坐标计算  2 1  z d v   d 4 d r cos r 2 sind r 0 0 0   1 1  4  2 sin 2   . 2 4 8 0  所以  (x  z)d v  . 8 【例4】(1989年）计算三重积分  (x  z)d v ，其中   是由曲面 z  x 2  y 2 与 z  1  x 2  y 2 所围成的区域. 【解2】 【解3】 【解4】第二节 曲 线 积 分 （一）对弧长的线积分（第一类线积分） n 1. 定义  f (x, y)ds  lim  f ( , )s i i i L 0 i1 2.性质  f (x, y)ds   f (x, y )d s （与路径方向无关）   L(AB) L(BA) 3.计算方法： 1. 直接法 x  x(t) 1) 若  t   C :   y  y(t)  则  f (x, y)ds   f (x(t), y(t)) x 2 (t)  y 2 (t)dt C  2) 若 C : y  y( x), a  x  b b 则  f (x, y)ds   f (x, y(x)) 1  y 2 (x)dx C a3) 若 C : ()    则  f (x, y)ds   f (()cos,()sin) 2 ()  2 ()d C  2. 利用奇偶性 i) 若积分曲线关于 轴对称, 则. y  2  f (x, y)ds, f ( x, y)  f (x, y)  f (x, y)ds   C x0 C  0, f ( x, y)   f (x, y) ii)若积分曲线关于 轴对称,则 x   2  f (x, y)ds, f (x, y)  f (x, y)  f (x, y)ds   C y0 C   0, f (x, y)   f (x, y)3.利用对称性 若积分曲线关于直线 y  x 对称,则  f (x, y)ds  f ( y, x)ds C C 特别的  f (x)ds   f ( y)ds C C 设空间曲线 的方程为： L x  x(t), y  y(t), z  z(t) ( t  ) 则   f (x, y, z)ds   f (x(t), y(t), z(t)) x 2 (t)  y 2 (t)  z 2 (t)dt L (二）对坐标的线积分（第二类线积分） 1. 定义  P(x, y)dx  Q(x, y)dy L n   lim [P( , )x  Q( , )y ] i i i i i i 0 i1 2. 性质  Pdx  Qdy   Pdx  Qdy   L(AB) L(BA) （与积分路径方向有关） 3. 计算方法 (平面) x  x(t) 1)直接法 设 L :  , t [,], 则  y  y(t)   Pdx  Qdy   [P( x(t), y(t))x  (t)  Q( x(t), y(t)) y  (t)]dt L  Q P  2)格林公式  Pdx  Qdy     d L  x y  D 3)补线用格林公式 4)利用线积分与路径无关 P Q i) 判定: （区域 单连通）  D y x ii)计算: a) 改换路径; (x ,y ) b) 利用原函数  2 2 Pdx  Qdy  F(x , y )  F(x , y ) 2 2 1 1 (x ,y ) 1 1 Pdx  Qdy  dF(x, y) 求原函数方法:①偏积分;②凑微分. 4.两类线积分的联系:  Pdx  Qdy   (P cos Q cos)ds L L5.计算方法（空间） 1)直接法 设 L : x  x(t), y  y(t), z  z(t), t [,]  P(x, y, z)dx  Q(x, y, z)dy  R(x, y, z)dz L    {P[x(t), y(t), z(t)]x  (t)  Q[x(t), y(t), z(t)]y  (t)     R[x(t), y(t), z(t)]z (t) dt 2)斯托克斯公式  P(x, y, z)dx  Q(x, y, z)dy  R(x, y, z)dz L cos cos cos      dS x y z  P Q R  R Q   P R   Q P      dydz    dzdx    dxdy  y z   z x   x y  常 考 题 型 与 典 型 例 题 常考题型 曲线积分计算一.第一类曲线积分的计算 【例1】(1989年）设平面曲线 L 为下半圆 y   1  x 2 , 则曲线积分  (x 2  y 2 )d s  ________ . [] L 【解】【例1】(1989年）设平面曲线 L 为下半圆 y   1  x 2 , 则曲线积分  x d s  ________ . [0] L 【解】【例1】(1989年）设平面曲线 L 为下半圆 y   1  x 2 , 则曲线积分  yd s  ________ . [2] L 【解】2 2 x y 【例2】(1998年）设 L 为椭圆   1 ，其周长记为 a 4 3 则  (2xy  3x 2  4 y 2 )d s  __________ . [12a] L 【解】【例3】(2009年）已知曲线 ，则 L : y  x 2 (0  x  2)  x d s  ____ . [ 13 ] 6 L 【解】二. 第二类曲线积分的计算 【例4】(2004年）设 L 为正向圆周 x 2  y 2  2 在第一象限 中的部分，则曲线积分 x d y  2 y d x  _________ . [ 3 ] 2 L 【解】【例5】(2010年）已知曲线 的方程为 y  1 | x | (x [1,1]), L 起点是 (1,0) ，终点为 (1,0) ，则曲线积分  xy d x  x 2 d y  ______ . L 【解1】 ,其中 L  L  L L : y  1  x (1  x  0) 1 2 1 L : y  1  x (0  x  1) 2  xy d x  x 2 d y L 1 1 0 0   [x(1  x)  x 2 ]d x   (2x 2  x)d x  1 1 6  xy d x  x 2 d y  L 2 1 1 1  [x(1  x)  x 2 ]d x   (x  2x 2 )d x   0 0 6  xy d x  x 2 d y  0 L【例5】(2010年）已知曲线 的方程为 y  1 | x | (x [1,1]), L 起点是 (1,0) ，终点为 (1,0) ，则曲线积分  xy d x  x 2 d y  ______ . L 【解2】补线用格林公式【例6】(99年）求 I   (e x sin y  b(x  y))d x  (e x cos y  ax)d y L 其中 a,b 为正的常数， L 为从点 A(2a,0) 沿曲线 y  2ax  x 2 到点 的弧. O(0,0) 【解1】 添加从点 O(0,0) 沿 y  0 到点 A(2a,0) 的有向直线段 L 1 I   (e x sin y  b(x  y))d x  (e x cos y  ax)d y LL 1   (e x sin y  b(x  y))d x  (e x cos y  ax)d y. L 1  I   ( b  a ) d  a 2 (b  a), 1 2 D 2a I   (bx)d x  2a 2 b. 2 0     从而 I  I  I  a 2 (b  a)  2a 2 b    2a 2 b  a 3 . 1 2 2  2  2【解2】 I   (e x sin y  b(x  y)d x  (e x cos y  ax)d y L   e x sin y d x  e x cos y d y   b(x  y)d x  ax d y. L L 前一积分与路径无关,所以 (0,0)  e x sin y d x  e x cos y d y  e x sin y  0. L (2a,0) x  a  a cos t, 对后一积分，取得参数方程：   y  a sin t,  b(x  y)d x  ax d y L    (a 2 bsin t  a 2 bsin t cos t  a 2 bsin 2 t  a 3 cos t  a 3 cos 2 t)d t 0 1 1  2a 2 b  a 2 b  a 3 , 2 2【例7】(2008年）计算曲线积分  sin 2x d x  2(x 2  1) yd y L 其中 L 是曲线 y  sin x 上从点 (0,0) 到点 (,0) 的一段. 【解1】   sin 2x d x  2(x 2  1) y d y   [sin 2x  2(x 2  1)sin x  cos x]d x L 0      x 2 dsin 2 x  x 2 sin x  2  x sin 2 x d x 0 0 0    (2)  sin 2 x d x 2 0  1  2  2 2 sin 2 xdx  (2)    0 2 2 2【解2】取 L 为 x 轴上从点 (,0) 到点 (0,0) 的一段， 1  sin 2x d x  2(x 2  1) y d y L   sin 2x d x  2(x 2  1) y d y   sin 2x d x  2(x 2  1) y d y LL L 1 1  0  sin x 1     4 x y d x d y   sin 2x d x   d x  4xy d y  cos 2x  0 0 2 D 0   2  x sin 2 x d x 0    (2)  sin 2 x d x 2 0  1  2  2 2 sin 2 xdx  (2)    0 2 2 2【例8】(2014年）设 L 是柱面 x 2  y 2  1 与平面 y  z  0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分  z d x  y d z  ________ . L 【解1】直接法 参数方程 x  cos t, y  sin t, z   sin t 2 I   (sin 2 t  sin t cos t)dt 0  1   4  2 sin 2 tdt  4    0 2 2【例8】(2014年）设 L 是柱面 x 2  y 2  1 与平面 y  z  0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分  z d x  y d z  ________ . L 【解2】 利用斯托克斯公式  z d x  y d z   (1  0)dydz  (1  0)dzdx  (0  0)dxdy L    dzdx     dzdx D zx【例8】(2014年）设 L 是柱面 x 2  y 2  1 与平面 y  z  0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分  z d x  y d z  ________ . L 【解3】 化为平面线积分  z d x  y d z   ( ydx  ydy) (C : x 2  y 2  1) L C   dxdy （格林公式） x 2 y 21  