(2.3.16)--高数-第六章二重积分._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件

更懂考研，更懂你 第六章 二重积分章节测试答案 一．选择题，每题 5 分，共 25 分. x y x y  2 x y  3 1.I  sin dxdy,I  sin  dxdy,I  sin dxdy ，其中 1 2 2  2  3  2  D D D   D   x,y   x1 2 y1 2 2 ，则( ). A.I  I  I B.I  I  I 1 2 3 2 3 1 C.I  I  I D.I  I  I 3 1 2 3 2 1 【答案】D 【解析】当 x,y D时， 则 ，则当 x,y D，且 x,y  0,2 ， x y  x y 2 x y 2 x y 时，0 1，从而0     1， 2  2  2 2  x y 2 x y 所以0 sin  dxdy sin dxdy  2  2 D D  x y 3 又由轮换对称性知，I  sin  dxdy 0，于是I  I  I . 3  2  3 2 1 D 2.设 f(x,y)连续，且 f(x,y) xy f  u,v  dudv，其中D是由y 0,y  x2,x1所围 D 区域，则 f(x,y)=（ ） 1 A.xy B.2xy C.xy D.xy1 8 【答案】C 内部资料，翻印必究 1更懂考研，更懂你 【解析】记 f  u,v  dudv I ，则 f(x,y) xyI 等式两端同时取之重积分得 D 1 1 1 1 故I   I ，解得I  ，所以， f(x,y) xf  .故应选(C). 12 3 8 8 3.设 f(x)为连续函数，F  t   t dy t f  x  dx，则F 2 等于（ ） 1 y A.2f  2  B. f  2  C.f  2  D.0 【答案】B 【解析】(方法一)交换积分次序得 F  t   t dx x f  x  dy  t x1  f  x  dx ，则F t  t1  f  t ，从而F 2  f  2  . 1 1 1 故应选(B). 4.平面区域D {  x,y  |x2 y2 1}，并设 ，N  cos2 xcos2 ydxdy, D P    e   x2y2 1  dxdy,则有（ ）   D A.M  N  P B.N M  P C.M  P  N D.N  P M 【答案】B 【解析】D区域如右图所示，显然区域关于x,y轴均对称，则 ， 又因为当0 x2  y2 1时，cos2 xcos2 y 0，e   x2y2 10，则 N  cos2xcos2 ydxdy;P    e   x2y2 1  dxdy 0 ，因此，N M  P，故应选(B).   D D 内部资料，翻印必究 2更懂考研，更懂你 16 5.设 a2 x2  y2dxdy  ，其中D:x2  y2 a2，则a的值为（ ） 3 D A.1 B.2 C. 2 D. 3 【答案】B xrcos, 【解析】令  02,0 r a ，  y rsin 1 2 a a    由 a2 x2  y2dxdy  d r a2 r2dr  a2 r2 2d a2 r2 0 0 0 D 2  3 2a3 16  a2r2 2 a  ，解得a 2，选(B). 3 0 3 3 二．填空题，每题 5 分，共 25 分.  x2 y2  6.设区域D为x2  y2  R2，则   d______. a2 b2  D R4  1 1  【答案】    4 a2 b2   x2 y2  2 R  cos2 sin2 R4  1 1  【解析】(方法一)   d d   r3dr    . a2 b2  0 0  a2 b2  4 a2 b2  D (方法二)由于积分域D:x2  y2 R2关于直线y  x对称，则  x2 y2   y2 x2     d   d， a2 b2  a2 b2  D D  x2 y2  1  x2 y2   y2 x2  1  1 1    从而有   d     d     x2 y 2d a2 b2  2 a2 b2  a2 b2  2 a2 b2  D D D 1 1 1  2 R R4 1 1       d r3dr    . 2a2 b2  0 0 4 a2 b2  内部资料，翻印必究 3更懂考研，更懂你 7.将二重积分 f  x,y  dxdy  e dx lnx f  x,y  dy 化为先对x，后对y的二次积分，则 1 0 D  f  x,y  dxdy  _______. D 【答案】 1 dy e f  x,y  dx 0 ey  1 xe  0 y1 【解析】将D: 改记成D: 0 ylnx ey  xe 所以 f  x,y  dxdy  1 dy e f  x,y  dx .故应填 1 dy e f  x,y  dx. 0 ey 0 ey D a, 若0 x1 8.设a 0, f x gx ，而D表示全平面，则I= f  x  g  yx  dxdy 0, 其他. D _______. 【答案】a2 【解析】I= f  x  g  yx  dxdy   a2dxdy a2 1 dx x1 dy 0 x D 0x1,0yx1 a2 1  x1 xdxa2   0 故应填a2. 9.设区域D {  x,y  |  x2 y2 2 4  x2 y2  ,x0,y 0} ，则2xydxdy _______. D 2 【答案】 3 【解析】令 则 内部资料，翻印必究 4更懂考研，更懂你 1x y 10设D:x2  y2 1,x0,y 0 ，则I   dxdy _______. 1x2  y2 D  【答案】 ln2 4 1x y 【解析】由于D关于直线y  x对称，所以I   dxdy 1x2  y2 D  1  2 dxdy   2d 1 r dr    1  1d1r2   ln  1 r2  1  ln2 2 1x2  y2 0 01r2 2 2 0 1r2 4 0 4 D 三．解答题，每题 10 分，共 50 分. 11.计算二重积分I  sinx2cosy2dxdy，其中D   x,y  |x2 y2 1  . D 【解析】因为D关于y  x对称，所以由轮换对称性得 I  sinx2cosy2dxdy  siny2cosx2dxdy D D   2I   sinx2cosy2sin y2cosx2 dxdy D  sin  x2 y2  dxdy   2 d 1 sinr2rdr  1cos1  . 0 0 D  则I   1cos1  . 2 内部资料，翻印必究 5更懂考研，更懂你  x2y2  12.计算 y1xe 2 dxdy，其中平面区域D由直线y  x,y 1及x1所围成.     D  x2y2  x2y2 【解析】 y1xe 2 dxdy  ydxdyxye 2 dxdy,     D D D x2y2 其中xye 2 dxdy 可直接由区域对称性和函数奇偶性得其值为0，或者先化为累次 D 积分，再根据对称性得出0，如下:  x2y2  2 而 ，故 y1xe 2 dxdy    3   D 12x2 xy 13.设平面区域D{x,y|x2  y2 1，x yo}，计算二重积分I   dxdy 1x2  y2 D 12x2 xy 【解析】I   dxdy dxdy  I I 1x2  y2 1x2  y2 1 2 D D 因为D关于y  x对称， 12x2 12y2 所以I   dxdy   dxdy, 1 1x2  y2 1x2  y2 D D 12x2 12y2   2I   dxdy  2dxdy 2 .则I  . 1 1x2  y2 2 1 2 D D 用y  x.x轴.y轴将D分成4块即D,D ,D ,D . 1 2 3 4 因为D,D .关于y轴对称，D ,D 关于X轴对称， 1 2 3 4 xy 又 关于x,y都是奇函数， 1x2  y2 xy xy  所以  dxdy 0,  dxdy 0.则I 0.故I  I I  . 1x2  y2 1x2  y2 2 1 2 2 DD D D 1 2 3 4 内部资料，翻印必究 6更懂考研，更懂你  x2, x  y 1,  14.设二元函数 f  x,y  1 计算二重积分 f  x,y  d，其中 , 1 x  y 2.   x2  y2 D D   x,y  | x  y 2  . 1 1x  2 1  d 【解析】原式=4 dx x2dy42dsincosdr  42 1 0 0 0 3 0 sincos sincos  1 4  d 1 4     1     2   ln csc   cot   2  4 2ln 21 . 3 2 0   3 2  4   4  3 sin   0  4 15.设D:x2  y2  2x,0 y  x，计算I   x2 y2 1dxdy . D 11  【答案】  36 24 【解析】用x2  y2 1，即r 1将D划分为D 与D ，则 1 2  2 2 1  4 cos3cos2 d   24 0  3 6 内部资料，翻印必究 7