(2.3.16)--高数-第六章二重积分._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件

更懂考研，更懂你
第六章 二重积分章节测试答案
一．选择题，每题 5 分，共 25 分.
x y x y  2 x y  3
1.I  sin dxdy,I  sin  dxdy,I  sin dxdy ，其中
1 2 2  2  3  2 
D D D
 
D   x,y   x1 2 y1 2 2 ，则( ).
A.I  I  I B.I  I  I
1 2 3 2 3 1
C.I  I  I D.I  I  I
3 1 2 3 2 1
【答案】D
【解析】当 x,y D时， 则
，则当
x,y
D，且
x,y

0,2
，
x y  x y 2 x y 2 x y
时，0 1，从而0
 
  1，
2  2  2 2
 x y 2 x y
所以0 sin  dxdy sin dxdy
 2  2
D D
 x y 3
又由轮换对称性知，I  sin  dxdy 0，于是I  I  I .
3  2  3 2 1
D
2.设 f(x,y)连续，且 f(x,y) xy f  u,v  dudv，其中D是由y 0,y  x2,x1所围
D
区域，则 f(x,y)=（ ）
1
A.xy B.2xy C.xy D.xy1
8
【答案】C
内部资料，翻印必究 1更懂考研，更懂你
【解析】记 f  u,v  dudv I ，则 f(x,y) xyI 等式两端同时取之重积分得
D
1 1 1 1
故I   I ，解得I  ，所以， f(x,y) xf  .故应选(C).
12 3 8 8
3.设 f(x)为连续函数，F  t   t dy t f  x  dx，则F 2 等于（ ）
1 y
A.2f  2  B. f  2  C.f  2  D.0
【答案】B
【解析】(方法一)交换积分次序得
F  t   t dx x f  x  dy  t x1  f  x  dx ，则F t  t1  f  t ，从而F 2  f  2  .
1 1 1
故应选(B).
4.平面区域D {  x,y  |x2 y2 1}，并设 ，N  cos2 xcos2 ydxdy,
D
P  

e
  x2y2
1

dxdy,则有（ ）
 
D
A.M  N  P B.N M  P
C.M  P  N D.N  P M
【答案】B
【解析】D区域如右图所示，显然区域关于x,y轴均对称，则
，
又因为当0 x2  y2 1时，cos2 xcos2 y 0，e

 x2y2
10，则
N  cos2xcos2 ydxdy;P    e   x2y2 1  dxdy 0 ，因此，N M  P，故应选(B).
 
D D
内部资料，翻印必究 2更懂考研，更懂你
16
5.设 a2 x2  y2dxdy  ，其中D:x2  y2 a2，则a的值为（ ）
3
D
A.1 B.2 C. 2 D. 3
【答案】B
xrcos,
【解析】令  02,0 r a ，
 y rsin
1
2 a a   
由 a2 x2  y2dxdy  d r a2 r2dr  a2 r2 2d a2 r2
0 0 0
D
2  3 2a3 16
 a2r2 2 a  ，解得a 2，选(B).
3 0 3 3
二．填空题，每题 5 分，共 25 分.
 x2 y2 
6.设区域D为x2  y2  R2，则   d______.
a2 b2

D
R4  1 1 
【答案】 
 
4 a2 b2 
 x2 y2  2 R  cos2 sin2 R4  1 1 
【解析】(方法一)   d d   r3dr    .
a2 b2  0 0  a2 b2  4 a2 b2 
D
(方法二)由于积分域D:x2  y2 R2关于直线y  x对称，则
 x2 y2   y2 x2 
   d   d，
a2 b2

a2 b2

D D
 x2 y2  1  x2 y2   y2 x2  1  1 1   
从而有   d     d     x2 y 2d
a2 b2  2 a2 b2  a2 b2  2 a2 b2 
D D D
1 1 1  2 R R4 1 1 
     d r3dr    .
2a2 b2  0 0 4 a2 b2 
内部资料，翻印必究 3更懂考研，更懂你
7.将二重积分 f  x,y  dxdy  e dx lnx f  x,y  dy 化为先对x，后对y的二次积分，则
1 0
D
 f  x,y  dxdy 
_______.
D
【答案】 1 dy e f  x,y  dx
0 ey
 1 xe  0 y1
【解析】将D: 改记成D:
0 ylnx ey  xe
所以 f  x,y  dxdy  1 dy e f  x,y  dx .故应填 1 dy e f  x,y  dx.
0 ey 0 ey
D
a, 若0 x1
8.设a 0, f x gx ，而D表示全平面，则I= f  x  g  yx  dxdy
0, 其他.
D
_______.
【答案】a2
【解析】I= f  x  g  yx  dxdy   a2dxdy a2 1 dx x1 dy
0 x
D 0x1,0yx1
a2 1  x1 xdxa2
 
0
故应填a2.
9.设区域D {  x,y  |  x2 y2 2 4  x2 y2  ,x0,y 0} ，则2xydxdy _______.
D
2
【答案】
3
【解析】令 则
内部资料，翻印必究 4更懂考研，更懂你
1x y
10设D:x2  y2 1,x0,y 0 ，则I   dxdy _______.
1x2  y2
D

【答案】 ln2
4
1x y
【解析】由于D关于直线y  x对称，所以I   dxdy
1x2  y2
D
 1  2 dxdy   2d 1 r dr    1  1d1r2   ln  1 r2  1  ln2
2 1x2  y2 0 01r2 2 2 0 1r2 4 0 4
D
三．解答题，每题 10 分，共 50 分.
11.计算二重积分I  sinx2cosy2dxdy，其中D   x,y  |x2 y2 1  .
D
【解析】因为D关于y  x对称，所以由轮换对称性得
I  sinx2cosy2dxdy  siny2cosx2dxdy
D D
 
2I   sinx2cosy2sin y2cosx2 dxdy
D
 sin  x2 y2  dxdy   2 d 1 sinr2rdr  1cos1  .
0 0
D

则I   1cos1  .
2
内部资料，翻印必究 5更懂考研，更懂你
 x2y2 
12.计算 y1xe 2 dxdy，其中平面区域D由直线y  x,y 1及x1所围成.
 
 
D
 x2y2  x2y2
【解析】 y1xe 2 dxdy  ydxdyxye 2 dxdy,
 
 
D D D
x2y2
其中xye 2 dxdy 可直接由区域对称性和函数奇偶性得其值为0，或者先化为累次
D
积分，再根据对称性得出0，如下:
 x2y2 
2
而 ，故 y1xe 2 dxdy 
 
3
 
D
12x2 xy
13.设平面区域D{x,y|x2  y2 1，x yo}，计算二重积分I   dxdy
1x2  y2
D
12x2 xy
【解析】I   dxdy dxdy  I I
1x2  y2 1x2  y2 1 2
D D
因为D关于y  x对称，
12x2 12y2
所以I   dxdy   dxdy,
1 1x2  y2 1x2  y2
D D
12x2 12y2  
2I   dxdy  2dxdy 2 .则I  .
1 1x2  y2 2 1 2
D D
用y  x.x轴.y轴将D分成4块即D,D ,D ,D .
1 2 3 4
因为D,D .关于y轴对称，D ,D 关于X轴对称，
1 2 3 4
xy
又 关于x,y都是奇函数，
1x2  y2
xy xy 
所以  dxdy 0,  dxdy 0.则I 0.故I  I I  .
1x2  y2 1x2  y2 2 1 2 2
DD D D
1 2 3 4
内部资料，翻印必究 6更懂考研，更懂你
 x2, x  y 1,

14.设二元函数 f  x,y  1 计算二重积分 f  x,y  d，其中
, 1 x  y 2.


x2  y2 D
D   x,y  | x  y 2  .
1 1x  2 1  d
【解析】原式=4 dx x2dy42dsincosdr  42
1
0 0 0 3 0 sincos
sincos

1 4  d 1 4     1  
  2   ln csc   cot   2  4 2ln 21 .
3 2 0   3 2  4   4  3
sin   0
 4
15.设D:x2  y2  2x,0 y  x，计算I   x2 y2 1dxdy .
D
11 
【答案】 
36 24
【解析】用x2  y2 1，即r 1将D划分为D 与D ，则
1 2
 2 2 1
 4 cos3cos2 d
 
24 0  3 6
内部资料，翻印必究 7