037.2026考研数学零基础提前学作业答案解析（3）_已解密_04.2026考研数学周洋鑫数学笑过_00.随课资料

2026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 2026 年考研数学零基础提前学同步作业 作业 7·导数计算解析 1 【50】【解析】（1）y= ( −cscxcotx+csc2 x ) =cscx； cscx−cotx x 1 （2） y=2arcsin  ； 2 4−x2 1 1 lnx （3） y= 2lnx = ； 2 1+ln2 x x x 1+ln2 x 1 1 （4） y=earctan x   ； 1+x 2 x 1 1 1 （5） y=   ； lnlnx lnx x ( ) 1 −x −x （6）y= arcsin 1−x2 =  = ； 1− ( 1−x2) 1−x2 |x| 1−x2   1 1 2 1 （7） y=  −  =− ； 1− 1−x 2 1−x  (1+x)2  (1+x) 2x(1−x) 1+x 1+x （8） y=2sinxcosxsin ( x2) +sin2 xcos ( x2) 2x； （9） y= ( esinxlnx) =esinxlnx   sinx 1 +cosxlnx  ；  x  （10）对数求导法（多乘除、多开方） 两边同时取对数，得 1 ln y = ln(x−1)+ln(x−2)−ln(x−3)−ln(x−4)，   2 所以，方程两边同时对x求导，得 1 1 1 1 1 1  y= + − − ，   y 2x−1 x−2 x−3 x−4 y  1 1 1 1  因此， y= + − − ；   2 x−1 x−2 x−3 x−4 12026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 1 x 1 sec2 x （11）y= sec2  +sinxlntanx−cosx x 2 2 tanx tan 2 1 x x = csc sec +sinxlntanx−cscx； 2 2 2 1  2e2x  ex （12）y= ex + = . ex + 1+e2x  2 1+e2x  1+e2x 【51】【解析】（1）由题意可知， dy =2xf ( x2) , dx d2y =2f ( x2) +4x2f ( x2) . dx2 （2）由题意可知， dy f(x) = , dx f (x) d2y f(x) f (x)− f2(x) = . dx2 f 2(x) 【52】【解析】（1）方程两边同时对x求导，得 dy  dy =−sin(x+ y)  1+  ， dx  dx dy −sin(x+ y) 解得 = ． dx 1+sin(x+ y) （2）方程两边同时对x求导，得 dy dy =ey +xey ， dx dx dy ey 解得 = ． dx 1−xey 【53】【答案】D 2tx  1 【解析】显然lim  1+  为“1 ”型未定式极限，于是 t→ t 22026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 f (x)=xlim   1+ 1  2tx =xet l → im  2txln    1+ 1 t    =xe 2x t l → im  tln    1+ 1 t    =xe2x ， t→ t 所以 f(x)=e2x(2x+1)，应选D. 【54】【答案】D 【解析】因为g(x)=3f( f (1+3x))  f(1+3x)，所以 g(0)=3f( f (1))  f(1)=3f(1) f(1)=322=12， 应选D. 【55】【答案】C 【解析】根据复合函数链式求导法则，知 f(x)=h(x)gh(x) . 令x=2，代入得 f(2)=h(2)gh(2) ，解得h(2)=1，应选C. 【56】【答案】A 【解析】由复合函数的链式求导法则，知 df g(x)   = fg(x)g(x)， dx 于是，b= fg(1)g(1)=4f(a). 显然，当a =1时，b=4f(1)=4，应选A. 【57】【答案】B 【解析】根据复合函数的链式求导法则，知  dy 2x−1 2x−1 2x−1 3 = f      = f    . dx  x+1   x+1   x+1  (x+1)2 1 1 又 f(x)=lnx3 = lnx，于是 3 dy 1 2x−1 3 = ln    ， dx 3  x+1  (x+1)2 dy 1 故 =− ln2，应选B. dx x=1 4 【58】【解析】方程两边同时对x求导，则 eyy+6y+6xy+2x=0 ① 上式两边再对x求导，得 ey(y)2 +eyy+6y+6y+6xy+2=0 ② 32026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 由原方程知x=0时，y=0, 代入①式得 y(0)=0， 再将x=0，y=0， y(0)=0代入②式得y(0)=−2. 【59】【解析】由题意可知， dy = y(t) = 3+3t2 =3 ( 1+t2)2 dx x(t) 1 1+t2 dy d   d2y = dx  1 =6 ( 1+t2) 2t 1 =12t ( 1+t2)2 ， dx2 dt dx 1 dt 1+t2 d2y 因此， =48. dx2 t =1 2x 【60】【解析】当x0时， f(x)=−sinx；当x0时， f(x)= ， 1+x2 当x=0时，因为 f (x)− f (0) cosx−0 f(0)= lim lim =（不存在）， − x→0− x−0 x→0− x−0 所以 f (x)在x=0处不可导. 因此 −sinx, x0  f(x)= 2x , x0  1+x2 又因为 2x lim f(x)= lim =0， x→0+ x→0+1+x2 lim f(x)= lim(−sinx)=0， x→0− x→0− 所以 lim f(x)= lim f(x) f(0)，即 f(x)在x=0处不连续. x→0+ x→0− 【小课堂】当然，根据 f(0)不存在，也可以秒判 f(x)在x=0处一定不连续，这是因为 函数要在该点连续，前提得有定义. 【61】【解析】当x0时， f(x)= ( −2x−3) e − x 1 2 = 2 e − x 1 2 , x3 42026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 f (x)− f (0) e − x 1 2 −0 1 − 1 令x= 1 t t 当x=0时， f(0)=lim =lim =lim e x2 = lim , x→0 x−0 x→0 x−0 x→0 x t→ et2 t 又当t →时，t2 →+，et2 →+，et2 t ，于是 f(0)=lim =0. t→ et2  2 − 1  e x2,x0 所以， f(x)=x3  0, x=0 又因为 1 2 − 1 令x= t t3 lim f(x)=lim e x2 = 2lim =0= f(0) x→0 x→0 x3 t→ et2 所以 f(x)在x=0处连续. 【62】【答案】D xcosx−sinx 【解析】当x0时， f(x)= . x2 当x=0时，由导数定义知 sinx 1 f(0)=lim f (x)− f (0) =lim x −1 =lim sinx−x =lim − 6 x3 =0， x→0 x x→0 x x→0 x2 x→0 x2 进而，再利用导数定义可得 f(x)− f(0) xcosx−sinx f(0)=lim =lim x→0 x x→0 x3 xcosx−x+x−sinx x(cosx−1) x−sinx =lim =lim +lim x→0 x3 x→0 x3 x→0 x3 1 1 − x2 x3 2 6 1 =lim +lim =− ， x→0 x2 x→0 x3 3 应选D. 【63】【答案】D 1 1 −2 1 2x2 【解析】当x0时， f(x)=arctan +x  =arctan − . x2 1 x3 x2 1+x4 1+ x4 1 xarctan 当x=0时， f(0)=lim f (x)− f (0) =lim x2 =limarctan 1 =  . x→0 x−0 x→0 x x→0 x2 2 又因为 52026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫  1 2x2  1 2x2   lim f(x)=limarctan − =limarctan −lim = −0= ， x→0 x→0 x2 1+x4  x→0 x2 x→01+x4 2 2 所以lim f(x)= f(0)，即 f(x)在x=0处连续，应选D. x→0 2026 年考研数学零基础提前学同步作业 作业 8·不定积分计算提前学训练 40 题解析 1 【解析】（1）(1+x)15dx=(1+x)15d(x+1)= (1+x)16 +C． 16 dx 1 1 1 （2） =  d(2x−5)=− (2x−5)−4 +C． (2x−5)5 2 (2x−5)5 8 dx 1 1 ( ) 1 2 （3） =  d 2x = arcsin x+C．（套公式） 3−2x2 2 ( )2 ( )2 2 3 3 − 2x dx 1 ( ) 1 2 （4） = d 2x = arctan x+C．（套公式） 9+2x2 33 + ( 2x )2 3 2 3 x 1 1 1 （5） dx =  d ( x2 +1 ) = ln ( 1+x2) +C 1+x2 2 1+x2 2 ex 1 （6） dx= d ( 1+ex) =ln ( 1+ex) +C． 1+ex 1+ex x3 1 1 3 2 （7） dx=  d ( 1+x4) = ( 1+x4) 3 +C 31+x4 4 31+x4 8 exdx 1 （8） = dex =arctanex +C. 1+e2x 1+e2x lnx 2 3 （9） dx= lnxdlnx= (lnx)2 +C x 3 arctanx 1 （10） dx=arctanxdarctanx= (arctanx)2 +C． 1+x2 2 dx   1     （11） =sec2  2x−  dx= sec2  2x−  d  2x−     4 2  4  4 cos2 2x−   4 1   = tan  2x−  +C 2  4 62026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 dx sec2xdx 1 （12） = = dtanx cos2 x 1+tanx 1+tanx 1+tanx 1 =2 d(tanx+1)=2 1+tanx+C 2 1+tanx cosxdx 1 1 3 （13） = dsinx=(sinx)− 3dsinx= 3sin2x +C． 3sinx 3sinx 2 exdx 1 （14） = dex =arctanex +C． 1+e2x 1+e2x x2 dx 1 1 2 （15） =  d ( 1+x3) = 1+x3 +C． 1+x3 3 1+x3 3 x2 1 1 1 x3 （16） dx=  ?d ( x3) = arctan +C． 4+x6 3 22 + ( x3)2 6 2 1 （17）cos3xdx= ( 1−sin2 x ) dsinx=sinx− sin3x+C 3 x2 令x=sint 1 1 1 （18） dx sin2tdt = (1−cos2t)dt = t− sin2t+C 1−x2 2 2 4 1 1 = arcsinx− x 1−x2 +C ． 2 2 1 1 1 1 1 （19）xsin2xdx=− xdcos2x =− xcos2x+ cos2xdx =− xcos2x+ sin2x+C． 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 （20）x2lnxdx= lnxdx3 = x3lnx− x2dx = x3lnx− x3 +C． 3 3 3 3 9 1 1 1 1 1 （21）xe−3xdx=− xde−3x =− xe−3x + e−3xdx =− xe−3x − e−3x +c． 3 3 3 3 9 1 1 1 x2 （22）xarctanxdx = arctanxdx2 = x2arctanx−  dx 2 2 2 1+x2 1 1 1 = x2arctanx− x+ arctanx+C． 2 2 2  e−x  1 （23）ex 1− dx=exdx− dx=ex −2 x +C  x  x 1 1 （24）3xexdx=(3e)x dx= (3e)x +C = 3xex +C ln(3e) 1+ln3 23x −52x 2 5 2 （25） dx=21dx−5( )xdx=2x− ( )x +C 3x 3 2 3 ln 3 5 2 =2x− ( )x +C . ln2−ln3 3 72026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 x 1+cosx x+sinx （26）cos2 dx= dx= +C 2 2 2 cos2x cos2 x−sin2 x （27） dx= dx=sinx−cosx+C cosx−sinx cosx−sinx cos2x cos2 x−sin2 x （28） dx= dx=(csc2 x−sec2 x)dx cos2 xsin2 x cos2 xsin2 x =−(cotx+tanx)+C 1 （29）tan10 xsec2 xdx=tan10 xd(tanx)= tan11x+C 11 1 d(arcsinx) 1 （30） dx= =− +C (arcsinx)2 1−x2 (arcsinx)2 arcsinx 1 （31）cos2(t+)sin(t+)dx=− cos2(t+)d[cos(t+)]  1 =− cos3(t+)+C 3 x3 x(x2 +9)−9x x （32） dx= dx=xdx−9 dx 9+x2 9+x2 9+x2 9 1 x2 9 =xdx−  d(x2 +9)= − ln(x2 +9)+C 2 x2 +9 2 2 dx 1  1 1  1 x−2 （33） =   −  dx= ln +C (x+1)(x−2) 3  x−2 x+1 3 x+1 （34）令x=3sect，所以 x2 −9  dx=3tan2tdt =3(sec2t−1)dt =3tant−3t+C x 3 因此，回代得原式= x2 −9−3arccos +C. x 1 （35）xtan2 xdx=x ( sec2 x−1 ) dx=xdtanx− x2 2 1 = xtanx+ln cosx − x2 +C 2 （36）x2cosxdx=x2dsinx= x2sinx−2xsinxdx = x2sinx+2xdcosx = x2sinx+2xcosx−2cosxdx= x2sinx+2xcosx−2sinx+C （37）ln2 xdx= xln2 x−2lnxdx= xln2 x−2xlnx+2dx 82026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 = xln2 x−2xlnx+2x+C x xcos2x 1 （38）xsinxcosxdx=− dcos2x=− + cos2xdx 4 4 4 xcos2x sin2x =− + +C 4 8 x x x x x x （39）xcos dx=2xdsin =2xsin −2sin dx=2xsin +4cos +C 2 2 2 2 2 2 1 （40） ( x2 −1 ) sin2xdx =−  ( x2 −1 ) dcos2x 2 1 =− ( x2 −1 ) cos2x+xcos2xdx 2 1 1 =− ( x2 −1 ) cos2x+ xdsin2x 2 2 1 1 1 =− ( x2 −1 ) cos2x+ xsin2x− sin2xdx 2 2 2 1 3 1 =− x2 − cos2x+ xsin2x+C   2 2 2 9