078.2026不定积分百题带刷题目+解析(周洋鑫）_已解密_04.2026考研数学周洋鑫数学笑过_00.随课资料

2026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 不定积分 100 题带刷   【1】  x x x +3xex  dx．    1   3  解析：原式= x xx2 +(3e)x dx= xx4 +(3e)xdx          7  8 15 1 8 15 3xex = x8 +(3e)x dx= x8 + (3e)x +C = x8 + +C．   15 ln3e 15 ln3+1 cos2x 【2】 dx． cos2xsin2x cos2x−sin2x  1 1  解析：原式= dx=  −  dx cos2xsin2x sin2x cos2x = ( csc2x−sec2x ) dx=−cotx−tanx+C． dx 【3】 ． sin2xcos2x 解析：方法一：原式= sin2x+cos2x dx= ( sec2 x+csc2 x ) dx=tanx−cotx+C． sin2xcos2x 1 方法二：原式= dx=4csc22xdx=−2cot2x+C． 1 sin22x 4 【4】tan2xdx． 解析：原式= ( sec2 x−1 ) dx=tanx−x+C． x2 【5】 dx． x2 +1 ( x2 +1 ) −1  1  解析：原式= dx=  1−  dx=x−arctanx+C． x2 +1  1+x2  12026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 (1−x)2 【6】 dx． x 1−2x+x2  1 3 4 3 2 5 解析：原式= dx= −2 x +x2dx=2 x − x2 + x2 +C． x  x  3 5   【7】(3−2x)3dx． 1 1 解析：原式=− (3−2x)3 d(3−2x)=− (3−2x)4 +C． 2 8 1 【8】 dx． 3 2−3x 1 1 1 2 解析：原式=− (2−3x)− 3d(2−3x)=− (2−3x) 3 +C． 3 2 【9】x 1−x2dx． 解析：原式=− 1  1−x2d ( 1−x2) =− 1( 1−x2) 3 2 +C． 2 3 x 【10】 dx． 1+x2 解析：原式= 1 d ( x2 +1 ) = x2 +1+C ． 2 x2 +1 x3 【11】 dx． 1+x2 1 x2 1 x2 +1−1 解析：原式=  dx2 =  dx2 2 x2 +1 2 x2 +1 1 1 1 =  x2 +1d ( x2 +1 ) −  d ( x2 +1 ) 2 2 x2 +1 22026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 1 3 = ( x2 +1 ) 2 − x2 +1+C． 3 dx 【12】 ． xln2x 1 1 解析：原式= d(lnx)=− +C． ln2x lnx x 【13】 dx． 1−x4 1 1 1 解析：原式=  dx2 = arcsinx2 +C ． 2 1− ( x2)2 2 dx 【14】 ． 3+2x−x2 1 x−1 解析：原式= d(x−1)=arcsin +C． 4−(x−1)2 2 dx 【15】 . x(x+1)  1 dx+  dx  2 1 解析： = =ln x+ + x2 +x +C． x(x+1) 2 2 2  1 1 x+  −   2 2 1 − 1 【16】 e xdx． x2 − 1  1 − 1 解析：原式=e xd− =e x +C．  x 32026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【17】tan10xsec2xdx． 1 解析：原式=tan10 xd(tanx)= tan11x+C． 11 dx 【18】 ． (arcsinx)2 1−x2 1 1 解析：原式= d(arcsinx)=− +C ． (arcsinx)2 arcsinx x 【19】tan 1+x2  dx． 1+x2 解析：原式=tan 1+x2  1 d ( x2 +1 ) =tan 1+x2d 1+x2 2 1+x2 =−ln cos 1+x2 +C． 1+lnx 【20】 dx． (xlnx)2 (xlnx) 1 1 解析：原式= dx= d(xlnx)=− +C． (xlnx)2 (xlnx)2 xlnx 3 【21】(xlnx)2(lnx+1)dx． 3 2 5 解析：原式=(xlnx) 2d(xlnx)= (xlnx) 2 +C． 5 lntanx 【22】 dx． cosxsinx 1 1 解析：由于(lntanx) = sec2x= ， tanx sinxcosx 1 故原式=lntanx(lntanx) dx=lntanxdlntanx= (lntanx)2 +C． 2 42026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【23】sin2xdx,cos3xdx,cos4xdx． 1−cos2x 1 1 解析：sin2xdx= dx= x− sin2x+C． 2 2 4 cos3xdx= ( 1−sin2x ) d(sinx)=sinx− 1 sin3x+C． 3 2 cos4xdx=   1+cos2x  dx= 1  ( 1+2cos2x+cos22x ) dx  2  4 1 1 1 1 1 1 = x+ sin2x+ cos22xdx= x+ sin2x+ (1+cos4x)dx 4 4 4 4 4 8 1 1 1 1 3 1 1 = x+ sin2x+ x+ sin4x+C = x+ sin2x+ sin4x+C ． 4 4 8 32 8 4 32 1 【24】 dx． ex +e−x 解析：原式= ex dx= 1 d ( ex) =arctanex +C． ( ex)2 +1 ( ex)2 +1 1 【25】 dx． 1+ex 解析：原式= 1+ex −ex dx=  1− ex  dx=x−ln ( 1+ex) +C． 1+ex  1+ex  【26】tan3xsecxdx． 解析：原式=tan2xd(secx)= ( sec2x−1 ) d(secx)= 1 sec3x−secx+C． 3 【27】tan3xdx． 解析：原式=tanx ( sec2x−1 ) dx=tanxsec2 xdx−tanxdx 1 =tanxd(tanx)−tanxdx= tan2x+ln cosx +C． 2 52026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 ( ) ln x+ x2 +1 +3 【28】 dx． x2 +1 解析：原式= ln ( x+ x2 +1 ) +3d  ln ( x+ x2 +1 ) +3    3 = 2 ln ( x+ x2 +1 ) +3 2 +C． 3  1−lnx 【29】 dx． (x−lnx)2  1−lnx lnx   x2  x  1 lnx 解析：原式= dx= dx= d   lnx 2  lnx 2  lnx 2  x  1−  1−  1−   x   x   x  1  lnx 1 x =− d1− = +C= +C．  lnx 2  x  1− lnx x−lnx 1−  x  x  sin(lnx)cos(lnx) 【30】 dx． x 1 解析：原式=sin(lnx)cos(lnx)d(lnx)=sin(lnx)dsin(lnx)= sin2(lnx)+C ．   2 earctanx +xln ( 1+x2) 【31】 dx． 1+x2 解析：原式= earctanx dx+ x ln ( 1+x2) dx 1+x2 1+x2 =earctanxd(arctanx)+ 1 ln ( 1+x2) dln ( 1+x2)=earctanx + 1 ln2( 1+x2) +C． 2   4 62026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 sinx 【32】 dx． sinx+cosx 解析：令 sinx= A(sinx+cosx) +B(sinx+cosx) =(A+B)cosx+(B−A)sinx， A+B=0, 1 1 则  A=− ,B= ，于是 B−A=1 2 2 1 1 − (sinx+cosx) + (sinx+cosx) 2 2 原式= dx sinx+cosx 1 1 1 =−  d(sinx+cosx)+ x 2 sinx+cosx 2 1 1 =− ln sinx+cosx + x+C ． 2 2 7cosx−3sinx 【33】 dx． 5cosx+2sinx 解析：令 7cosx−3sinx= A(5cosx+2sinx) +B(5cosx+2sinx) =(−5A+2B)sinx+(2A+5B)cosx， −5A+2B=−3, 则  A=1,B=1，于是 2A+5B=7 (5cosx+2sinx) +(5cosx+2sinx) 原式= dx=ln 5cosx+2sinx +x+C． 5cosx+2sinx x2 【34】 dx(a0)． a2 −x2 解析：令x=asint，则如右图所示． a2sin2t 1 原式= acostdt =a2sin2tdt = a2(1−cos2t)dt acost 2 1 1 1 1 = a2t− a2sin2t+C = a2t− a2sintcost+C． 2 4 2 2 72026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 1 x 1 回代可得，原式= a2arcsin − x a2 −x2 +C． 2 a 2 x2 −a2 【35】 dx(a0)． x 解析：令x=asect，则如右图所示． atant 原式= asecttantdt =atan2tdt asect =a ( sec2t−1 ) dt a =atant−at+C = x2 −a2 −aarccos +C． x dx 【36】 ． x2 x2 +1 解析：令x=tant，则如右图所示． 1 sect 原式= sec2tdt= dt tan2tsect tan2t cost 1 = dt =− +C sin2t sint x2 +1 =− +C． x x3 dx 【37】 (a0)． 3 ( x2 +a2) 2 解析：令x=atant，则如右图所示． a3tan3t atan3t sin3t 原式= asec2tdt = dt =a dt a3sec3t sect cos2t 1−cos2t 1 =−a d(cost)=−a d(cost)+ad(cost) cos2t cos2t 1 a2 =a +acost+C= x2 +a2 + +C ． cost x2 +a2 82026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 x 【38】 dx． x −3 x 解析：令6 x =t，则x=t6．故 t3 t6 原式= 6t5dt =6 dt t3 −t2 t−1 t5(t−1)+t4(t−1)+t3(t−1)+t2(t−1)+t(t−1)+t−1+1 =6 dt t−1  1  =6 t5 +t4 +t3 +t2 +t+1+ dt  t−1 6 3 =t6 + t5 + t4 +2t3+3t2 +6t+6ln t−1+C 5 2 6 5 3 2 1 1 1 =x+ x6 + x3 +2x2 +3x3 +6x6 +6ln 6 x −1+C． 5 2 1+ x+1 【39】 dx． 1− x+1 解析：令 x+1=t，则x=t2 −1．故 1+t t2 +t ( t2 −1 ) +(t−1)+2 原式 = 2tdt=−2 dt=−2 dt 1−t t−1 t−1  2  =−2 t+2+ dt =−t2 −4t−4ln t−1+C  t−1 =−(x+1)−4 x+1−4ln x+1−1+C =−x−4 x+1−4ln x+1−1+C （其中C =C−1）． 1 1 92026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 1−x 1 【40】  dx． 1+x x 1−x 1−u2 解析：方法一：令 =u，则x= ．故 1+x 1+u2 1+u2 −4u −4u2  2 1 1  原式=u 1−u2  ( 1+u2)2 du = ( 1−u2)( 1+u2) du =  1+u2 − 1−u − 1+u   du =2arctanu+ln1−u −ln1+u +C 1−x 1+x − 1−x =2arctan +ln +C ． 1+x 1+x + 1−x 令x=sint 1−x 1−sint 方法二：原式= dx  dt = cscxdt−dt x 1−x2 sint 1− 1−x2 =ln csct−cott −t+C=ln −arcsinx+C． x x(1+x) 【41】 dx． x + 1+x 解析：原式= x(x+1) ( x+1− x ) dx  3  = x(x+1)−x x+1dx=x2 + x −x x+1dx       2 5 2 3 = x2 + x2 −x x+1dx，令 x+1=t 5 3 = 2 x 5 2 + 2 x 3 2 − ( 2t4 −2t2) dt 5 3 2 5 2 3 2 2 = x2 + x2 − t5 + t3 +C 5 3 5 3 2 5 2 3 2 5 2 3 = x2 + x2 − (x+1) 2 + (x+1) 2 +C． 5 3 5 3 102026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 xex 【42】 dx． ex −1 解析：原式=2xd ex −1=2x ex −1−2 ex −1dx， 令 ex −1=t则x=ln ( t2 +1 ) ．故 2t t2 原式=2x ex −1−2t dt =2x ex −1−4 dt t2 +1 t2 +1  1  =2x ex −1−4 1− dt  t2 +1 =2x ex −1−4t+4arctant+C =2x ex −1−4 ex −1+4arctan ex −1+C． 【43】e 2x−1dx． 解析：令 2x−1=t，则x= 1( t2 +1 ) ．故 2 原式=et tdt =tdet =et t−et +C =e 2x−1 2x−1−e 2x−1 +C． 【44】x2e−2xdx． 1 1 1 解析：原式=− x2de−2x =− x2e−2x + e−2x2xdx 2 2 2 1 1 1 1 1 =− x2e−2x − xde−2x =− x2e−2x − xe−2x + e−2xdx 2 2 2 2 2 1 1 1 =− x2e−2x − xe−2x − e−2x +C ． 2 2 4 【45】xtan2xdx． 解析：原式=x ( sec2 x−1 ) dx=xsec2xdx− 1 x2 2 1 1 1 =xd(tanx)− x2 =xtanx−tanxdx− x2 =xtanx+ln cosx − x2 +C ． 2 2 2 112026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 ln(1+x) 【46】 dx． x x 解析：原式=2ln(1+x)d x =2ln(1+x) x −2 dx（令 x =t） 1+x t t2 =2ln(1+x) x −2 2tdt =2ln(1+x) x −4 dt 1+t2 t2 +1  1  =2ln(1+x) x −4 1− dt =2ln(1+x) x −4t+4arctant+C  t2 +1 =2ln(1+x) x−4 x+4arctan x+C． 【47】x2cos2xdx． 1+cos2x 1 1 1 1 解析：原式=x2 dx= x2dx+ x2cos2xdx= x3 + x2d(sin2x) 2 2 2 6 4 1 1 1 1 1 1 = x3 + x2sin2x− sin2x2xdx= x3 + x2sin2x+ xd(cos2x) 6 4 4 6 4 4 1 1 1 1 = x3 + x2sin2x+ xcos2x− sin2x+C． 6 4 4 8 【48】sin(lnx)dx． 解析：原式=xsin(lnx)−cos(lnx)dx =xsin(lnx)−xcos(lnx)−sin(lnx)dx, 1 故原式= xsin(lnx)−cos(lnx)+C ．   2 ln2x 【49】 dx． x2 1 1 1 1 解析：原式=−ln2xd =−ln2x + 2lnx dx x x x x 1 1 1 1 1 1 =−ln2 x −2lnxd =−ln2 x −2lnx + 2 dx x x x x x x 1 1 2 =−ln2x −2lnx − +C． x x x 122026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【50】arctan xdx． 解析：arctan xdx = xarctan x −xd(arctan x) x 1 = xarctan x −  dx 1+x 2 x 1 x = xarctan x −  dx 2 1+x 1 x x=t2 t2  1  其中  dx  dt =1− dt 2 1+x 1+t2  1+t2 =t−arctant+C = x −arctan x +C ， 1 1 故 arctan xdx=(x+1)arctan x − x +C.  1 【51】 lnx+ exdx．  x  1  1 解析：原式= lnxex + ex dx=lnxdex + exdx  x  x 1 1 =lnxex −ex dx+ exdx=lnxex +C ． x x ex(1+sinx) 【52】 dx． 1+cosx  x x ex 1+2sin cos   2 2 1 x x 解析：原式= dx=ex sec2 dx+extan dx x 2 2 2 2cos2 2 1 x x 1 x x 1 x =ex sec2 dx+tan dex =ex sec2 dx+extan −ex sec2 dx 2 2 2 2 2 2 2 2 x =extan +C． 2 132026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【53】e2x(tanx+1)2dx． 解析：原式=e2x ( tan2x+2tanx+1 ) dx =e2x( sec2 x+2tanx ) dx=e2xsec2 xdx+e2x 2tanxdx =e2xd(tanx)+e2x2tanxdx=e2x tanx−tanx2e2xdx+e2x 2tanxdx =e2x(tanx)+C． dx 【54】 ． (2−x) 1−x 解析：令 1−x =t，则x=1−t2，于是 1 1 原式= (−2tdt)=−2 dt=−2arctant+C=−2arctan 1−x+C． ( 1+t2) t 1+t2 【55】xln(1+x)dx． 1  1 1 x2 解析：xln(1+x)dx=ln(1+x)d x2 = x2ln(1+x)−  dx 2  2 2 1+x 1 1 1 1 = x2ln(1+x)− (x−1)dx−  dx 2 2 2 1+x 1 1 1 = ( x2 −1 ) ln(1+x)− x2 + x+C． 2 4 2 1 【56】 arctanxdx． x3  1  1 1 1 1 解析：原式=arctanxd− =− arctanx+   dx  2x2  2x2 2 x2 1+x2 1 1  1 1  =− arctanx+   − dx 2x2 2 x2 1+x2  1 1 1 =− arctanx− − arctanx+C． 2x2 2x 2 142026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【57】sec3xdx． 解析：sec3xdx =secxdtanx=secxtanx−tanxdsecx =secxtanx−tan2 xsecxdx =secxtanx− ( sec2x−1 ) secxdx =secxtanx−sec3xdx+secxdx， 1 1 于是sec3xdx= secxtanx+ ln secx+tanx +C ． 2 2 【58】sec4xdx． 解析：sec4xdx =sec2xdtanx 1 = ( tan2 x+1 ) dtanx = tan3x+tanx+C ． 3 x2 【59】 arctanxdx． 1+x2 x2 +1−1 解析：原式= arctanxdx x2 +1 1 =arctanxdx− arctanxdx 1+x2 x =xarctanx− dx−arctanxd(arctanx) 1+x2 =xarctanx− 1 ln ( 1+x2) − 1 arctan2x+C ． 2 2 arctan ( ex) 【60】 dx． ex 解析：原式=−arctan ( ex) de−x =−arctan ( ex) e−x +e−x ex dx 1+e2x =−arctan ( ex) e−x + 1 dx=−arctan ( ex) e−x + ex dx 1+e2x ex( 1+e2x) 152026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 =−arctan ( ex) e−x + 1 dex（令ex =t） ex( 1+e2x) =−arctan ( ex) e−x + t ( 1+ 1 t2) dt =−arctan ( ex) e−x +    1 t − 1+ t t2    dt =−arctan ( ex) e−x +ln t − 1 ln ( 1+t2) +C 2 =−arctan ( ex) e−x +x− 1 ln ( 1+e2x) +C ． 2 ln(sinx) 【61】 dx． sin2x 解析：原式=ln(sinx)csc2 xdx=−ln(sinx)d(cotx) 1 =−ln(sinx)cotx+cotx cosxdx sinx cos2x =−ln(sinx)cotx+ dx sin2x 1−sin2 x =−ln(sinx)cotx+ dx sin2 x =−ln(sinx)cotx+ ( csc2x−1 ) dx =−ln(sinx)cotx−cotx−x+C ． 1 【62】 dx． x2 +4x+6 1 1 1 x+2 解析： dx = d(x+2) = arctan +C． x2 +4x+6 (x+2)2 + ( 2 )2 2 2 x3 【63】 dx． x+2 x3 x3+8−8 (x+2) ( x2 −2x+4 ) −8 解析： dx= dx= dx x+2 x+2 x+2  8  1 =x2 −2x+4− dx = x3−x2 +4x−8ln|x+2|+C．  x+2 3 162026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 x+1 【64】 dx． x2 +4x+13 1 (2x+4)−2 解析：原式=  dx 2 x2 +4x+13 1 2x+4 1 =  dx− dx 2 x2 +4x+13 x2 +4x+13 1 1 = ln x2 +4x+13 − d(x+2) 2 (x+2)2 +32 1 1 x+2 = ln x2 +4x+13 − arctan +C． 2 3 3 x2 +1 【65】 dx． (x+1)2(x−1)   1 1 1 解析：原式= + − dx 2(x−1) 2(x+1) (x+1)2    1 1 1 = ln x−1+ ln x+1+ +C 2 2 x+1 1 1 = ln x2 −1+ +C． 2 x+1 x5 +x4 −8 【66】 dx． x3 −4x x2( x3−4x ) +x ( x3−4x ) +4 ( x3−4x ) +4x2 +16x−8 解析：原式= dx x3−4x  4x2 +16x−8  =x2 +x+4+ dx  x(x−2)(x+2)   2 5 3  = x2 +x+4+ + − dx  x x−2 x+2 1 1 = x3 + x2 +4x+2ln x +5ln x−2 −3ln x+2 +C． 3 2 172026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 dx 【67】 ． 6x3 −7x2 −3x  1 4 9  − 1  3 33 11  解析：原式= dx= + + dx x(2x−3)(3x+1) x 2x−3 3x+1     1 2 3 =− ln x + ln 2x−3 + ln 3x+1+C． 3 33 11 ( ) 【68】ln2 x+ 1+x2 dx． ( ) ( ) 1 解析：原式=xln2 x+ x2 +1 −x2ln x+ x2 +1  dx x2 +1 ( ) ( ) x =xln2 x+ x2 +1 −2ln x+ x2 +1  dx x2 +1 ( ) ( ) =xln2 x+ x2 +1 −2ln x+ x2 +1 d x2 +1 ( ) ( ) 1 =xln2 x+ x2 +1 −2 x2 +1ln x+ x2 +1 +2 x2 +1 dx x2 +1 ( ) ( ) =xln2 x+ x2 +1 −2 x2 +1ln x+ x2 +1 +2x+C． dx 【69】 (a,b0)． a2sin2x+b2cos2x sec2 x 1 1 1 atanx 解析：原式= dx=  d(atanx)= arctan +C ． a2tan2x+b2 a (atanx)2 +b2 ab b arcsin x +lnx 【70】 dx． x 解析：原式=2arcsin xd x +2lnxd x x 1 1 =2arcsin x x−2  dx+2lnx x−2 x dx 1−x 2 x x 1 1 =2arcsin x x − dx+2lnx x −2 dx 1−x x =2arcsin x x +2 1−x +2lnx x −4 x +C． 182026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 dx 【71】 ． sin2x+2sinx 1 1 解析：原式= dx= dx 2sinx(1+cosx) x x x 4sin cos 2cos2 2 2 2 1 1 x 1  x =  sec2 dx= d  tan  x x 2 2 x x  2 4sin cos 4sin cos 2 2 2 2 x x sec2 1+tan2 2  x 2  x = d  tan  = d  tan  x  2 x  2 4tan 4tan 2 2 1 x 1 x = tan2 + ln tan +C． 8 2 4 2 x2arccosx 【72】 dx． 1−x2 解析：令x=cost，则如右图所示． cos2tt 1+cos2t 原式= (−sint)dt=−tcos2tdt=−t dt sint 2 1 1 1 1 =− tdt− tcos2tdt =− t2 − td(sin2t) 2 2 4 4 1 1 1 1 1 1 =− t2 − sin2tt+ sin2tdt =− t2 − sin2tt− cos2t+C 4 4 4 4 4 8 =− 1 (arccosx)2 − 1 2 1−x2 xarccosx− 1( 2x2 −1 ) +C 4 4 8 =− 1 4 (arccosx)2 − 1 2 x 1−x2 arccosx− 1 4 x2 +C 1    C+ 1 8 =C 1    ． xlnx 【73】 dx． ( 1+x2)2 1 1 1 1 1 1 解析：原式=− lnxd =− lnx +  dx 2 1+x2 2 1+x2 2 x ( 1+x2) 1 1 1 1 x  =− lnx +   − dx 2 1+x2 2 x x2 +1 192026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 =− 1 lnx 1 + 1 ln x − 1 ln ( 1+x2) +C． 2 1+x2 2 4 x+sinx 【74】 dx． 1+cosx x x x+2sin cos 2 2 解析：原式= dx x 2cos2 2 1 x x  x x = xsec2 dx+tan dx=xdtan +tan dx 2 2 2  2 2 x x x x =xtan −tan dx+tan dx=xtan +C ． 2 2 2 2 sin2x 【75】 dx． cos3x 解析：原式= 1−cos2 x dx= ( sec3x−secx ) dx，其中 cos3x sec3xdx=secxd(tanx)=secxtanx−tan2xsecxdx =secxtanx− ( sec3x−secx ) dx=secxtanx−sec3xdx+secxdx， 1 1 则sec3xdx= secxtanx+ secxdx．故 2 2 1 1 原式= secxtanx− ln secx+tanx +C． 2 2 arcsinx 【76】 dx． x2 1 1 1 解析：原式=−arcsinxd =− arcsinx+ dx?（令x=sint，如下图所示） x x x 1−x2 1 cost =− arcsinx+ dt x sintcost 1 =− arcsinx+ln csct−cott +C x 1 1 1−x2 =− arcsinx+ln − +C． x x x 202026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 arctanx 【77】 dx． x4 1 1 1 1 1 1 解析：原式=− arctanxd =− arctanx +  dx 3 x3 3 x3 3 x3( 1+x2)   1 1 1 1 1 =− arctanx +  − dx 3 x3 3 x3 x ( 1+x2)    1 1 1  1 1 x  =− arctanx +   − + dx 3 x3 3 x3 x 1+x2  =− 1 arctanx 1 − 1 − 1 ln x + 1 ln ( 1+x2) +C． 3 x3 6x2 3 6 xcos3x−sinx 【78】esinx dx． cos2x 解析：原式=esinxxcosxdx−?esinxtanxsecxdx =xdesinx −esinxd(secx) =xesinx −esinxdx−esinxsecx+secxesinxcosxdx =esinx(x−secx)−esinxdx+esinxdx =esinx(x−secx)+C． ex(1+xlnx) 【79】 dx． x 解析：原式=  ex 1 +exlnx  dx= ( exlnx ) dx=exlnx+C ．  x  【80】e2xarctan ex −1dx． 1 解析：原式= arctan ex −1de2x 2 1 1 1 ex = arctan ex −1e2x − e2x  dx 2 2 1+ ( ex −1 ) 2 ex −1 212026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 1 1 e2x = arctan ex −1e2x −  dx 2 4 ex −1 1 1 ex ( ex −1 ) +ex = arctan ex −1e2x −  dx 2 4 ex −1 1 1 1 ex = arctan ex −1e2x − ex ex −1dx−  dx 2 4 4 ex −1 = 1 arctan ex −1e2x − 1( ex −1 ) 3 2 − 1 ex −1+C． 2 6 2  1+x  【81】ln1+ dx．   x   1+x 1 解析：令 =t，则x= ，故 x t2 −1 1 1 1 原式 =ln(1+t)d =ln(1+t) − dt t2 −1 t2 −1 ( t2 −1 )(1+t) 1 1 =ln(1+t) − dt t2 −1 (t−1)(t+1)2  1 1 1  =ln(1+t) 1 −   4 − 4 − 2  dt t2 −1  t−1 t+1 (t+1)2    1 1 t+1 1 1 =ln(1+t) + ln −  +C t2 −1 4 t−1 2 t+1  1+x  1 ( ) 1 ( ) =xln1+ + ln x+1+ x − x x+1− x +C．   x 2 2   arcsinex 【82】 dx． ex 解析：原式=−arcsin ( ex) de−x =−arcsin ( ex) e−x + 1  ex dx ex 1−e2x =−arcsin ( ex) e−x + 1 dx=−arcsin ( ex) e−x + e−x dx 1−e2x e−2x −1 222026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 =−arcsin ( ex) e−x − 1 de−x ( e−x)2 −1 =−arcsin ( ex) e−x −ln e−x + e−2x −1 +C． xearctanx 【83】 dx． 3 ( 1+x2) 2 解析：令x=tant，则如右图所示． et tant 原式= sec2tdt =et sintdt =sintdet sec3t =sintet −etcostdt =sintet −etcost−etsintdt， 1 故原式= et(sint−cost)+C 2 1  x 1  = earctanx  − +C ．   2  1+x2 1+x2  cosx 【84】 dx． 1+cosx cosx  1  dx 解析： dx=1− dx=dx− 1+cosx  1+cosx 1+cosx x d  dx 2 x =x− =x− =x−tan +C． x x 2 2cos2 cos2 2 2 dx 【85】 ． 2+sinx x 2t 2 解析：令t =tan ，则sinx= ，dx= dt，故 2 1+t2 1+t2 1 1 2 1 原式= dx=  dt = dt 2+sinx 2t 1+t2 t2 +t+1 2+ 1+t2 232026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 1  1 2 2t+1 = d  t+  = arctan +C  1 2  3 2  2 3 3 t+  +   2  2  x 2tan +1 2 2 = arctan +C． 3 3 dx 【86】 ． 4+5cosx x 1−t2 2 解析：令t =tan ，则cosx= ，dx= dt，故 2 1+t2 1+t2 1 1 2 2 原式= dx=  dt = dt 4+5cosx 1−t2 1+t2 9−t2 4+5 1+t2 x tan −3 1 t−3 1 2 =− ln +C =− ln +C． 3 t+3 3 x tan +3 2 dx 【87】 ． 2sinx−cosx+5 x 2t 1−t2 2 解析：令t =tan ，sinx= ，cosx= ，dx= dt，故 2 1+t2 1+t2 1+t2 1 1 2 原式= dx=  dt 2sinx−cosx+5 4t 1−t2 1+t2 − +5 1+t2 1+t2 1 1 1  1 = dt =  d  t+  3t2 +2t+2 3  1 2  5 2  3 t+  +   3  3   x  3tan +1 1 3t+1 1  2  = arctan +C = arctan +C． 5 5 5  5    242026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 1+sinx 【88】 dx． sinx(1+cosx) x 2t 1−t2 2 解析：令t =tan ，sinx= ，cosx= ，dx= dt，故 2 1+t2 1+t2 1+t2 2t 1+ 1+t2 2 t2 +2t+1 原式=  dt= dt 2t  1−t2  1+t2 2t 1+  1+t2  1+t2  1 1  1 1 =  t+1+ dt = t2 +t+ ln t +C 2 2t 4 2 1 x x 1 x = tan2 +tan + ln tan +C． 4 2 2 2 2 dx 【89】 ． sin3xcosx sin2x+cos2x 1 cosx 解析：原式= dx= dx+ dx sin3xcosx sinxcosx sin3x 1 1 1 =2 dx+ d(sinx)=2csc2xdx+ d(sinx) sin2x sin3x sin3x 1 =ln csc2x−cot2x − +C． 2sin2x dx 【90】 ． 1+tanx 1 cosx 解析：原式= dx= dx 1+tanx sinx+cosx 1 1 (sinx+cosx)+ (cosx−sinx) 2 2 = dx sinx+cosx 1 1 cosx−sinx = dx+  dx 2 2 sinx+cosx 1 1 = x+ ln sinx+cosx +C． 2 2 252026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 dx 【91】 ． 3sinx+4cosx 1 1  4 解析：原式= dx= dx  其中tan=  3sinx+4cosx 32 +42 sin(x+)  3 1 1 = csc(x+)d(x+)= ln csc(x+)−cot(x+) +C ． 5 5 sin2x 【92】 dx． sin4x+cos4x 2sinxcosx 2tanxsec2 x 解析：原式= dx= dx sin4 x+cos4x tan4x+1 = 2tanx d(tanx)= 1 d ( tan2x ) =arctan ( tan2x ) +C． tan4 x+1 ( tan2x )2 +1 dx 【93】 ． 1+sin2x 1 sec2 x 1 解析：原式= dx= dx= d(tanx) (sinx+cosx)2 (1+tanx)2 (1+tanx)2 1 =− +C． 1+tanx sin3x 【94】 dx． 2+cosx sin2x 1−cos2x 解析：原式=− d(cosx)=− d(cosx)，令cosx=t，则 2+cosx 2+cosx 1−t2  3  1 原式=− dt= (t−2)+ dt= t2 −2t+3ln t+2 +C   2+t  t+2 2 1 = cos2 x−2cosx+3ln 2+cosx +C． 2 【95】sin5xsin7xdx． 1 1 1 解析：原式=− (cos12x−cos2x)dx =− sin12x+ sin2x+C． 2 24 4 262026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 【96】sin2xcos3xdx． 1 1 1 解析：原式= (sin5x−sinx)dx=− cos5x+ cosx+C． 2 10 2 dx 【97】 ． sin4xcos4x 1 解析：原式=16 dx=8csc4(2x)d(2x)=−8csc22xd(cot2x) sin42x =−8 ( 1+cot22x ) d(cot2x)=−8cot2x− 8 cot32x+C． 3 sinx 【98】 dx． sin3x+cos3x tanxsec2x tanx 解析：原式= dx= d(tanx)，令tanx=t，则 tan3x+1 tan3x+1  1 1  − (t+1) t t  3 3  原式= dt = dt =  + dt t3 +1 (t+1)( t2 −t+1 )  t+1 t2 −t+1    1 1 2t−1+3 =− ln t+1+  dt 3 6 t2 −t+1 1 1 1 1 =− ln t+1+ ln t2 −t+1+  dt 3 6 2  1 2  3 2 t−  +   2  2  1 1 1 2t−1 =− ln t+1+ ln t2 −t+1+ arctan +C 3 6 3 3 1 1 1 2tanx−1 =− ln tanx+1+ ln tan2x−tanx+1+ arctan +C． 3 6 3 3 1+cosx 【99】 dx． 1+sin2x 1 cosx 解析：原式= dx+ dx 1+sin2x 1+sin2x sec2 x 1 = dx+ d(sinx) sec2 x+tan2x 1+sin2x 1 = d(tanx)+arctan(sinx) 2tan2x+1 272026考研数学不定积分百题带刷（高等数学） 新浪微博@考研数学周洋鑫 = 1 arctan ( 2tanx ) +arctan(sinx)+C． 2 sinxcosx 【100】 dx． sinx+cosx 1 1 (sinx+cosx)2 − 2 2 解析：原式= dx sinx+cosx 1 1 1 = (sinx+cosx)dx−  dx 2 2 sinx+cosx 1 1 1 = (sinx−cosx)−  dx 2 2   2sinx+   4 1 1     = (sinx−cosx)− ln cscx+ −cotx+  +C． 2 2 2  4  4 28