(234)--第七章：无穷级数_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

3 1 ) 1 ( 3 2 1 3 3 2 1 lim ) 1 ]( ) 2 ( ) 3 [( ] ) 2 ( ) 3 [( lim 1 1 1                                        n n n n n n n n n n n n 3  R 3   x n n n n n n n n n n n 1 2 ) 3 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 1 2 ) 3 ( 3           3  x n n n n n n n n n n n n n n 1 ) 2 ( 3 ) 2 ( 1 1 ) 2 ( 3 3 1 2 ) 3 ( 3 ) 1 (               , 1 ) ( 1 lim lim ) 1 ( a n a a n n n n n        , 2 2 1 1 ) 2 ( 2 3 2 0 0 4 4 n n n xdx n dx x n n n       n n n n n n n 3 ] 1 2 [ 3 ] ) 1 ( 2 [ 0 ) 3 ( 3 3      ,1 3 1 2 3 ] 1 2 [ lim 3       n n n n n n n n n n n n n n ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( ) 4 (         y x y    1 ) 0 (  y .2 ) 0 ( ,1 ) 0 (     y y ) 1 ( 1 1 1 1 2 2 n o n n n y         ), 1 ( 1 1 1 1 2 2 n o n n n y         ) 1 1 6 6 ( 5 1 ) 6 )( 1 ( ) (        x x x x x x f 5 4 1 1 25 1 10 4 1 1 25 3       x x ) 9 1 (    x ). 9 1 ( , ) 4 )( 5 1 10 3 ( 25 ) 1 ( 0          x x n n n n n ] ) 1 ( 1 ln[ 2 2 1 ln 2 2       x x x       1 2) 1 ( ) 1 ( n n n n x ) 0 2 (    x n n n x x x x x x x f 4 0 4 4 ) 2 ( ) 1 ( 2 ) 2 ( 1 1 2 16 8 ) (           ) 2 (  x 1 4 0 ) 2 ( ) 1 (     n n n x ) 2 (  x dx x x f n x n n 1 4 0 0 ) 2 ( ) 1 ( 4 ) (        2 4 0 ) 2 ( 2 4 ) 1 ( 2 4 ) (        n n n x n x f  ) 2 (  x ]. 1,1 [          1 1 2 2 1 1 4 ) 1 ( 2 ) ( n n n x n x x S          1 2 1 1 2 ) 1 ( 2 1 ) ( n n n x n x S          1 1 2 1 1 2 ) 1 ( 2 1 n n n n x x x xarctan 2 1       x x x x x x x S 0 2 . arctan ) 1 ( d ) arctan 2 1 ( ) ( ,   R     0 4 )! 4 ( ) ( n n n x x y ), ( ) ( ) 4 ( x y x y  ,0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ,1 ) 0 (        y y y y ,0 1 4   r . ,1 3 , 2 2 ,1 i r r     , sin cos 4 3 2 1 x C x C e C e C y x x      ). cos 2 ( 4 1 x e e y x x     2 1 2 3 2 1 ) 1 2 )( 1 ( ) 1 2 ( lim lim x x n n n n x u u n n n n n n              ]. 1,1 [               1 1 2 1 1 2 1 ) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) 1 ( n n n n n n n n x x n n x          1 2 1 ) 1,1 ( ), ( ) 1 2 ( ) 1 ( n n n x x f n n x                  1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 ) 1 ( 2 ) 1 2 ( 2 ) 1 ( ) ( n n n n n n n x n n nx x f . 1 2 ) 1 ( 2 ) ( 1 2 2 2 1           n n n x x x f 0 ) 0 ( ,0 ) 0 (    f f x dt t f dt t f x f x x arctan 2 1 2 ) 0 ( ) ( ) ( 0 0 2                 x x tdt f dt t f x f 0 0 arctan 2 ) 0 ( ) ( ) ( ] 1,1 [ ), 1 ln( arctan 2 2      x x x x 1 2 1 1 ) 1 2 )( 1 2 ( ) 1 ( ) (          n n n x n n x S n n n x n x S 2 1 1 1 2 ) 1 ( ) (         1 2 1 1 1 2 ) 1 (         n n n x n x x xarctan  4 2 arctan ) 1 ( 1 0     xdx x S 4 2 ) 1 2 )( 1 2 ( ) 1 ( 1 1           n n n n         0 2 2 ) 1,1 ( , ) 1 ( 1 1 n n n x x x .] 1,1 [ , 1 2 ) 1 ( ) (arctan arctan 0 0 1 2             x n n n x x n dx x x                             1 0 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 1 1 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 1 ) ( n n n n n n n n n n n n x n x n x n x n x f ], 1,1 [ , 4 1 2 ) 1 ( 1 2 1 2          x x n n n n . 2 1 4 ] 1 ) 1 ( [ 2 1 4 1 ) 1 ( 1 2           n n f n n A n ) 9 10 ( n  ) 9 10 ( ) 1 ( n r A n n     .【解】设 为用于第 年提取 万元的贴现值，则                     1 1 1 1 ) 1 ( 9 ) 1 ( 1 10 ) 1 ( 9 10 n n n n n n n n r n r r n A A       1 ) 1 ( 9 200 n n r n .) 1,1 ( , ) ( 1      n n x nx x S ) 1,1 ( , ) 1 ( 1 ) ( 2 1                       x x x x x x x x x S n n 420 05 .1 1 1 1            S r S 3980 420 9 200     A     0 n n nx a y              2 2 1 1 ) 1 ( , n n n n n n x a n n y x na y 【解】（1）                0 1 0 2 0 4 2 ) 2 )( 1 ( n n n n n n n n n x a x na x a n n             , ,2,1 ,0 ) 2 ( 2 ) 2 )( 1 ( ,0 4 2 2 0 2  n a n a n n a a n n . ,2,1 , 1 2 2      n a n a n n 1 ) 0 ( ,0 ) 0 ( 1 0      a y a y , ,2,1,0 ,0 2    n a n    ,2,1,0 ,! 1 2 4 ) 2 2 ( 2 2 2 2 1 1 2 1 2            n n a n n a n a n n n ). , ( , ! ) ( ! 0 0 0 0 2 1 2 1 2 1 2 2                       x xe n x x n x x a x a y n n n n x n n n n n n     0 ) ( n n nx a x S 1 1 ) (      n n nx na x S 2 2 ) 1 ( ) (        n n n x n n a x S ), 2 ( 0 ) 1 ( 2      n a n n a n n ) ( ) ( 0 2 2 2 x S x a x a x S n n n n n n             0 ) ( ) (    x S x S x x e C e C x S 2 1 ) (    . 2 ) ( x x e e x S    1 1 ) 2 1 ( lim lim 1          n n a a n n n n     0 ) ( n n nx a x S                      2 2 1 1 1 1 1 1 )] 1 ( 2 1 [ 2 1 ) ( n n n n n n n n n x a n x na a x na x S               2 2 1 1 1 1 ) 1 ( 2 1 2 1 n n n n n n x a n x a           0 1 0] [ 2 1 2 1 n n n n n n x na a x a ). ( ) ( 2 1 x S x x S    1 ) 0 ( ,) 1 ( 2 1 ) ( ) (     S x x S x S x x S   1 1 ) ( .     0 ) ( n n nx a x S       1 1 ) ( n n nx na x S             1 1 1 1 1 ) 1 ( n n n n n x n x a           0 2 1 ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( n n x x x S x n x S 2) 1 ( ) ( ) ( x x x S x S     2 ) 0 ( 0  a S . 1 1 ) ( x e x S x      1 0 ) ( dx nx f an ) ( t nx    n dt t f n 0 ) ( 1 ) ) ( ( ) 1 ( 1 ) ) ( ( 1 0 2 0 2 2 2 0 2 2       n n n n dt t f dt n dt t f n a dt t f n ) ( 1 0 2     【证】 , ) ( 0 2    A dx x f     1 2 n A n an     1 2 ) 0 ( n n n a   令 则 故 收敛。 n n n n b b a a 1 1   1 1    n n n n a b a b n n n n a b a b a b     1 1 1 1  . ) ( 1 1 n n b a a b  ， n n b a a b  ) ( 1 1 n n b a a b  ) ( 1 1 2 2 1 2       n n n n u u u u 1 2 1 4 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2           n n n n n u u u u  1 1 1 5 2 2 3 2 1 2 2 3 2 2 2            n n n n n u u u u  , 2 5 1 1 , 2 3 1 1 1 2 1 1 2        n n n n u u .1 2 cos 2 0 2 2   dx x x a       2 0 0 ,0 ) 1 ( dx x a             2 0 2 2 .1 2 , ) 1 2 ( 8 , 2 ,0 2 cos ) 1 ( k n k k n dx x n x an   .2 0 , 2 ) 1 2 ( cos ) 1 2 ( 1 8 ) ( 1 2 2          x x k k x f k           0 2 2 0 3 2 2 ) 1 ( 2 dx x a  2,1 , ) 1 ( 4 cos ) 1 ( 2 0 2 1 2       n n nxdx x a n n   , 0 , cos ) 1 ( 4 3 1 ) ( 1 2 1 2             x nx n x f n n         1 2 1 2 ) 1 ( 4 3 1 ) 0 ( n n n f  . 12 ) 1 ( 2 1 2 1        n n n 0  n b     1 0 0 5 ) 2 ( 2 dx x a  2,1 ,) 1 (cos 2 cos ) 2 ( 2 1 0 2 2      n n n xdx n x an    ， ] 1,1 [ , ) 1 2 ( ) 1 2 cos( 4 2 5 cos ) 1 (cos 2 2 5 2 0 2 2 1 2 2                 x n x n x n n n x n n            0 2 2 ) 1 2 ( 1 4 2 5 2 k k  8 ) 1 2 ( 1 2 0 2       k k                      1 0 0 1 2 2 1 2 2 2 1 4 1 ) 1 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 2 ( 1 1 n k k n k n k k k n 6 ) 1 2 ( 1 3 4 1 2 0 2 1 2          k n k n