(233)--第六章：二重积分_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料




D
y
x
f
xy
y
x
f

d
)
,
(
)
,
(







D
D
D
D
y
x
f
xy
y
x
f




d
d
)
,
(
d
d
)
,
(




D
D
y
x
f
y
x
f


d
)
,
(
3
1
12
1
d
)
,
(




D
xy
y
x
f
y
x
f
.
8
1
)
,
(
,
8
1
d
)
,
(

【解1】 直接法






t
dy
e
dx
x
t
y
t
t
2
0
0
lim
t
dx
e
dy
y
y
t
t






0
0
0
2
lim
t
dy
ye
t
y
t






0
0
2
lim
1
0
2
lim







t
te t
t
)
2
(


2
1


                    











2
0
4
2
4
2
0
4
4
2
4
2
4
4
2
2
2
2
d
)
,
(
d
d
)
,
(
d
d
)
,
(
d
y
y
y
y
x
y
x
f
y
x
y
x
f
y
x
y
x
f
y
.
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
2
1
1
0
2
1
1
1
1
1
0
2
2












y
y
y
y
dx
y
x
f
dy
x
d
y
x
f
dy
dx
y
x
f
dy



1
3
1
0
2
1
x
dy
y
xy
dx




y
dx
y
xy
dy
0
3
1
0
1
).
1
2
(
3
1


.1
sin
2
1
cos
cos
cos
2
2
1
0
1
0
2
2
1
1
2
2
2









dy
x
dx
dx
x
dy
dx
x
dy
x
x
y
y
y













1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
d
)
2
π
]
2
1
2
[
y
x
y
x
y
x
d
y
x
x


（







1
2
2
2
2
π.
4
7
d
)
2
3
π
y
x
y
x

（
【解】原式







d
d
d
y
x
dxdy
D







4
0
cos
1
0
4
0
2
2
cos
1
2
2
)
2
1
ln(
2
)
tan
ln(sec
2
4
0







       
0
)
1
(
3



dxdy
x
D
3
2
2
2
0
2
0






x
x
D
ydy
dx
ydxdy
I
   




D
dxdy
y
x
I
]
)
1
[(
3













y
y
x
t
t
t
t
x
y
x
t
dx
e
dy
t
dy
e
dx
t
0
)
(
0
2
0
0
)
(
2
0
2
2
1
lim
sin
1
lim
.
2
1
lim
2
1
2
lim
2
2
)
(
0
0
)
(
0











t
t
t
t
x
t
e
t
dx
e

0
sin
)
(




dy
y
y
t
f
t
t
1

t






y
y
x
x
dx
y
y
dy
dy
y
y
dx
f
2
sin
sin
)
1
(
1
0
1
0
1
sin
1
]
sin
[sin
1
0




dy
y
y
y
         
dx
dy
e
dy
e
dy
e
dy
e
n
x
y
n
n
y
n
y
n
y
n
)
(
]
[
1
lim
1
0
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
2
















).
1
1
(
2
1
0
1
0
2







e
dx
e
dy
y
y
     
dx
xy
dy
t
dy
xy
dx
t
y
t
t
t
x
t
t









0
2
0
6
0
2
0
6
0
)
sin(
1
lim
)
sin(
1
lim




t
t
dx
xt
t
0
2
5
0
)
sin(
6
1
lim
u
xt 
du
u
t
dx
xt
t
t



2
0
2
0
2
sin
1
)
sin(
du
u
t
dy
xy
dx
t
t
t
t
x
t
t








2
0
2
6
0
2
0
6
0
sin
6
1
lim
)
sin(
1
lim
18
1
36
sin
2
lim
5
4
0




t
t
t
t
  




x
x
x
y
D
x
y
y
x
2
d
e
d
d
e
1
2
1

.e
2
1
e
8
3
d
)
e
(e
1
2
1




x
x
x
            
D
1
D
2
D
【解】 如图所示，将
分成
与
两部分.







1
d
)
1
(
d
|
1
|
2
2
2
2
D
D
y
x
y
x


.
d
)
1
(
2
2
2




D
y
x





1
d
)
1
(
2
2
D
y
x

]
)
1
(
d
)
1
(
[
1
2
2
2
2








D
D
d
y
x
y
x


]
)
1
(
d
)
1
(
2
2
2
2
2
1








D
D
d
y
x
y
x


,
8
d
)
1
(
d
d
)
1
(
1
0
2
2
0
2
2
1















D
y
x
     








1
0
2
2
1
0
2
2
d
)
1
(
d
d
)
1
(
y
y
x
x
y
x
D

3
1
d
3
2
1
0
2








x
x
.
3
1
4
d
|
1
|
2
2







D
y
x   
因此      





2
1
d
d
d
d
d
d
}
1,
max{
D
D
D
y
x
y
x
xy
y
x
xy









x
x
y
x
y
x
y
xy
x
1
0
2
2
1
2
0
2
1
0
2
1
2
2
1
d
d
d
d
d
d
.2
ln
4
19
2
ln
2
1
2
ln
4
15






        
        







4 2
0
2
3
2
0
2
2
d
]
1
[
cos
sin
d
d
d
]
1
[
r
r
r
y
x
y
x
xy
D




.
8
3
d
2
d
2
1
d
]
1
[
d
cos
sin
4
4
2
1
3
1
0
3
2
0
2
3
2
0













r
r
r
r
r
r
r




【解1】  
            
【解2】  







2
1
d
d
2
d
d
d
d
]
1
[
2
2
D
D
D
y
x
xy
y
x
xy
y
x
y
x
xy






4 2
1
3
2
0
1
0
3
2
0
d
cos
sin
2
d
d
cos
sin
d
r
r
r
r








       
.
8
3
4
1
8
1










)
cos
(sin
2
0
2
4
3
4
d
)
sin
(cos
d
d
d
)
(







r
r
y
x
y
x
D




4
3
4
3
)
cos
d(sin
)
cos
(sin
3
8






.
3
8
)
cos
(sin
3
2
4
3
4
4








                   
                   








D
D
y
x
y
x
y
r
r
r
r
I
d
d
1
d
d
sin
cos
1
sin
2
2
2
2
2
2
2











x
y
x
y
x
x
0
2
2
2
2
1
0
)
1
d(
1
d
2
1
.
d
]
)
1
(
1
[
3
1
d
)
1
(
3
1
1
0
2
3
2
1
0
0
2
3
2
2








x
x
x
y
x
x
        
        
t
x
sin

.
16
3
1
2
2
1
4
3
3
1
3
1
d
cos
3
1
3
1
2
0
4













t
t
I
.
d
4
d
d
4
sin
2
0
2
2
2
0
4
2
2
2
2
2















a
D
r
r
a
r
y
x
a
y
x
I
t
a
r
sin
2










0
2
0
4
d
)
2
cos
1
(
2
d
t
t
a
I
.
2
1
16
d
2
sin
2
1
2
2
2
0
4
2




















a
t
a





D
y
x
y
xy
y
x
x
d
d
)
3
3
(
3
2
2
3








2
1
2
2
3
1
0
2
3
d
)
3
(
d
2
d
d
)
3
(
y
y
D
x
xy
x
y
y
x
xy
x
.
15
14
d
)
(
3
d
)
3
2
1
(
2
1
1
0
4
2
1
0
4
2








y
y
y
y
y
y
        
        
原式
2
)
1
(
)
1
(
2
2




y
x
.2
:
,
1
,
1
2
2






v
u
D
v
y
u
x








D
D
v
v
u


d
π
4
d
]
)
1
(
1
[
2
2





D
v
u
.
π
5
d
)
(
2
1
π
4
2
2

原式
.
d
)
(
d
)
(
d
)
(
2
2
2
2
2
2











小圆
大圆
D
D
D
y
y
x
y
y
x
y
y
x






大圆
D
y
y
x

d
)
(
2
2





大
大
D
D
y
y
x


d
d
2
2



3
16
0
2
0
2
2
0





dr
r
d



小圆
D
y
y
x

d
)
(
2
2





小
小
D
D
y
y
x


d
d
2
2
,
9
32
0
d
d
cos
2
0
2
2
3
2










r
r
).
2
3
(
9
16
d
)
(
2
2







D
y
y
x




D
x
x
x
x
xydy
e
dx
xydxdy
e
1
0
1
dx
x
e x



1
0
2)
1
(
2
1




1
0
1
0
2)
1
(
2
1
dx
xe
x
e
x
x





1
0
1
0
2
1
dx
e
e
x
x
x
.
2
1

 
                           
               
                           
               
                    
               
 
            

d
y
x
y
D



]
1
[
2
dy
y
dx
x
x




2
1
1
1
0
2
dx
x
x
]
)
1
1
[(
2
2
1
0
2




dx
x
dx
x






1
0
2
1
0
2
1
2
]
2
2
[
2
3
4



【解】原式
   



D
dxdy
y
x
2
2
2






sin
2
0
2
2
4
2
dy
r
d




d


2
4
3
sin
3
16
9
2
20

【解】 原式
     
dx
e
y
y
d
t
f
y
y
t




0
2
0
2
)
(
dy
e
y
y
t
2
0
3



),
,0
[ 

t
,0
)
(
3
3



t
e
t
t
f
,0
)
0
(

f
2
2
0
2
0
3
2
1
)
(
y
y
de
y
dy
e
y
f












dy
ye
e
y
y
y










0
0
2
2
2
2
1
2
1
2
1
0
2





y
e
    
 
【解】 1）










2
0
2
0
2
2
1
2
1
.2
ln
2
2
3
d
)
1
(
d
2
d
)
1
(
d
x
y
xy
x
y
xy
x
b
,
1
)
,
(
b
y
x
f

D
y
x

)
,
(






D
D
y
x
f
xy
y
x
f
xy


d
)
,
(
1
d
)
,
(
)
1
(
1
【证】 2）反证法 若
由于 
1
1
1




d
xy
b D
矛盾! 








D
D
d
y
g
x
f
d
x
g
x
f
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f


)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
()
)
(
(
)
(
)
(
1
0
1
0
1
0



D
d
y
g
x
g
x
f

)]
(
)
(
)[
(



D
d
x
g
y
g
y
f

)]
(
)
(
)[
(
]
)]
(
)
(
)[
(
)]
(
)
(
)[
(
[
2
1






D
D
d
x
g
y
g
y
f
d
y
g
x
g
x
f


0
)]
(
)
(
)][
(
)
(
[
2
1




D
d
y
g
x
g
y
f
x
f
