(233)--第六章：二重积分_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

   D y x f xy y x f  d ) , ( ) , (        D D D D y x f xy y x f     d d ) , ( d d ) , (     D D y x f y x f   d ) , ( 3 1 12 1 d ) , (     D xy y x f y x f . 8 1 ) , ( , 8 1 d ) , (  【解1】 直接法       t dy e dx x t y t t 2 0 0 lim t dx e dy y y t t       0 0 0 2 lim t dy ye t y t       0 0 2 lim 1 0 2 lim        t te t t ) 2 (   2 1              2 0 4 2 4 2 0 4 4 2 4 2 4 4 2 2 2 2 d ) , ( d d ) , ( d d ) , ( d y y y y x y x f y x y x f y x y x f y . ) , ( ) , ( ) , ( 2 2 1 1 0 2 1 1 1 1 1 0 2 2             y y y y dx y x f dy x d y x f dy dx y x f dy    1 3 1 0 2 1 x dy y xy dx     y dx y xy dy 0 3 1 0 1 ). 1 2 ( 3 1   .1 sin 2 1 cos cos cos 2 2 1 0 1 0 2 2 1 1 2 2 2          dy x dx dx x dy dx x dy x x y y y              1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 d ) 2 π ] 2 1 2 [ y x y x y x d y x x   （        1 2 2 2 2 π. 4 7 d ) 2 3 π y x y x  （ 【解】原式        d d d y x dxdy D        4 0 cos 1 0 4 0 2 2 cos 1 2 2 ) 2 1 ln( 2 ) tan ln(sec 2 4 0        0 ) 1 ( 3    dxdy x D 3 2 2 2 0 2 0       x x D ydy dx ydxdy I     D dxdy y x I ] ) 1 [( 3              y y x t t t t x y x t dx e dy t dy e dx t 0 ) ( 0 2 0 0 ) ( 2 0 2 2 1 lim sin 1 lim . 2 1 lim 2 1 2 lim 2 2 ) ( 0 0 ) ( 0            t t t t x t e t dx e  0 sin ) (     dy y y t f t t 1  t       y y x x dx y y dy dy y y dx f 2 sin sin ) 1 ( 1 0 1 0 1 sin 1 ] sin [sin 1 0     dy y y y dx dy e dy e dy e dy e n x y n n y n y n y n ) ( ] [ 1 lim 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2                 ). 1 1 ( 2 1 0 1 0 2        e dx e dy y y dx xy dy t dy xy dx t y t t t x t t          0 2 0 6 0 2 0 6 0 ) sin( 1 lim ) sin( 1 lim     t t dx xt t 0 2 5 0 ) sin( 6 1 lim u xt  du u t dx xt t t    2 0 2 0 2 sin 1 ) sin( du u t dy xy dx t t t t x t t         2 0 2 6 0 2 0 6 0 sin 6 1 lim ) sin( 1 lim 18 1 36 sin 2 lim 5 4 0     t t t t     x x x y D x y y x 2 d e d d e 1 2 1  .e 2 1 e 8 3 d ) e (e 1 2 1     x x x D 1 D 2 D 【解】 如图所示，将 分成 与 两部分.        1 d ) 1 ( d | 1 | 2 2 2 2 D D y x y x   . d ) 1 ( 2 2 2     D y x      1 d ) 1 ( 2 2 D y x  ] ) 1 ( d ) 1 ( [ 1 2 2 2 2         D D d y x y x   ] ) 1 ( d ) 1 ( 2 2 2 2 2 1         D D d y x y x   , 8 d ) 1 ( d d ) 1 ( 1 0 2 2 0 2 2 1                D y x         1 0 2 2 1 0 2 2 d ) 1 ( d d ) 1 ( y y x x y x D  3 1 d 3 2 1 0 2         x x . 3 1 4 d | 1 | 2 2        D y x 因此      2 1 d d d d d d } 1, max{ D D D y x y x xy y x xy          x x y x y x y xy x 1 0 2 2 1 2 0 2 1 0 2 1 2 2 1 d d d d d d .2 ln 4 19 2 ln 2 1 2 ln 4 15              4 2 0 2 3 2 0 2 2 d ] 1 [ cos sin d d d ] 1 [ r r r y x y x xy D     . 8 3 d 2 d 2 1 d ] 1 [ d cos sin 4 4 2 1 3 1 0 3 2 0 2 3 2 0              r r r r r r r     【解1】 【解2】        2 1 d d 2 d d d d ] 1 [ 2 2 D D D y x xy y x xy y x y x xy       4 2 1 3 2 0 1 0 3 2 0 d cos sin 2 d d cos sin d r r r r         . 8 3 4 1 8 1           ) cos (sin 2 0 2 4 3 4 d ) sin (cos d d d ) (        r r y x y x D     4 3 4 3 ) cos d(sin ) cos (sin 3 8       . 3 8 ) cos (sin 3 2 4 3 4 4                 D D y x y x y r r r r I d d 1 d d sin cos 1 sin 2 2 2 2 2 2 2            x y x y x x 0 2 2 2 2 1 0 ) 1 d( 1 d 2 1 . d ] ) 1 ( 1 [ 3 1 d ) 1 ( 3 1 1 0 2 3 2 1 0 0 2 3 2 2         x x x y x x t x sin  . 16 3 1 2 2 1 4 3 3 1 3 1 d cos 3 1 3 1 2 0 4              t t I . d 4 d d 4 sin 2 0 2 2 2 0 4 2 2 2 2 2                a D r r a r y x a y x I t a r sin 2           0 2 0 4 d ) 2 cos 1 ( 2 d t t a I . 2 1 16 d 2 sin 2 1 2 2 2 0 4 2                     a t a      D y x y xy y x x d d ) 3 3 ( 3 2 2 3         2 1 2 2 3 1 0 2 3 d ) 3 ( d 2 d d ) 3 ( y y D x xy x y y x xy x . 15 14 d ) ( 3 d ) 3 2 1 ( 2 1 1 0 4 2 1 0 4 2         y y y y y y 原式 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 2     y x .2 : , 1 , 1 2 2       v u D v y u x         D D v v u   d π 4 d ] ) 1 ( 1 [ 2 2      D v u . π 5 d ) ( 2 1 π 4 2 2  原式 . d ) ( d ) ( d ) ( 2 2 2 2 2 2            小圆 大圆 D D D y y x y y x y y x       大圆 D y y x  d ) ( 2 2      大 大 D D y y x   d d 2 2    3 16 0 2 0 2 2 0      dr r d    小圆 D y y x  d ) ( 2 2      小 小 D D y y x   d d 2 2 , 9 32 0 d d cos 2 0 2 2 3 2           r r ). 2 3 ( 9 16 d ) ( 2 2        D y y x     D x x x x xydy e dx xydxdy e 1 0 1 dx x e x    1 0 2) 1 ( 2 1     1 0 1 0 2) 1 ( 2 1 dx xe x e x x      1 0 1 0 2 1 dx e e x x x . 2 1   d y x y D    ] 1 [ 2 dy y dx x x     2 1 1 1 0 2 dx x x ] ) 1 1 [( 2 2 1 0 2     dx x dx x       1 0 2 1 0 2 1 2 ] 2 2 [ 2 3 4    【解】原式    D dxdy y x 2 2 2       sin 2 0 2 2 4 2 dy r d     d   2 4 3 sin 3 16 9 2 20  【解】 原式 dx e y y d t f y y t     0 2 0 2 ) ( dy e y y t 2 0 3    ), ,0 [   t ,0 ) ( 3 3    t e t t f ,0 ) 0 (  f 2 2 0 2 0 3 2 1 ) ( y y de y dy e y f             dy ye e y y y           0 0 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0 2      y e 【解】 1）           2 0 2 0 2 2 1 2 1 .2 ln 2 2 3 d ) 1 ( d 2 d ) 1 ( d x y xy x y xy x b , 1 ) , ( b y x f  D y x  ) , (       D D y x f xy y x f xy   d ) , ( 1 d ) , ( ) 1 ( 1 【证】 2）反证法 若 由于 1 1 1     d xy b D 矛盾!         D D d y g x f d x g x f dx x g dx x f dx x g x f   ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( () ) ( ( ) ( ) ( 1 0 1 0 1 0    D d y g x g x f  )] ( ) ( )[ (    D d x g y g y f  )] ( ) ( )[ ( ] )] ( ) ( )[ ( )] ( ) ( )[ ( [ 2 1       D D d x g y g y f d y g x g x f   0 )] ( ) ( )][ ( ) ( [ 2 1     D d y g x g y f x f 