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第二章 导数与微分
第一节 导数概念
主讲 武忠祥 教授一、引例
1.变速直线运动瞬时速度
2.曲线的切线二、导数的定义
f (x  x)  f (x )
定义： 若 lim 0 0 存在，
x0
x
则称 在 点可导.
f ( x) x
0
dy
f  (x )  y   |
0 xx xx
0 dx 0
f (x  x)  f (x ) f (x)  f (x ) y
f  (x )  lim 0 0  lim 0  lim
0 x0 x xx x  x x0 x
0
0
若以上极限不存在，则称 在 处不可导；
f ( x) x
0
若极限为无穷大，则称 在 处导数为无穷大.
f ( x) x
0f (x  x)  f (x ) f (x)  f (x )
左导数： f  (x )  lim 0 0  lim 0
 0 x0  x xx  x  x
0 0
f (x  x)  f (x ) f (x)  f (x )
右导数： f  (x )  lim 0 0  lim 0
 0 x0  x xx  x  x
0 0
可导  左右导数存在且相等
区间上可导： 在区间 的每一点上都可导；
f ( x) I
导函数： f  ( x) x  I例1 证明下列各式
(1) (x  )  x 1 (x  0) (2) (a x )   a x lna (a  0,a  1)
1
(3) (log x)   (a  0,a  1)
a
x lna
(4) (sin x)   cos x (5) (cos x)   sin x三、导数的几何意义
导数  在几何上表示曲线 在点
f ( x ) y  f (x)
0
( x , f ( x )) 处切线的斜率
0 0
切线方程 y  y  f  (x )(x  x )
0 0 0
1
法线方程 y  y   (x  x )
0  0
f (x )
0
1 1
例2 求曲线 y  在点 (2, ) 处的切线方程和法线方程.
x 2四、可导与连续的关系
可导  连续


例3 考查下列函数在 处的连续性与可导性.
x  0
(1) f (x)  x
1
(2) g(x)  x3
 1
 xsin , x  0,
(3) h(x)  
x
  0, x  0内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
不连续,一定不可导.
6. 判断可导性
直接用定义;
连续
看左右导数是否存在且相等.作业 ： ； ； ； ； ； ； ；
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