(277)--第六章《二次型》习题册解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

第六章 二次型 巩固练习 题型10 化二次型为标准形和规范形 1.【答案】y2 5y2  y2 1 2 3 【解析】令 A   1 1 1 1  0 3 1 0 2  ， X   x x x 1 2 3  ，则 f ( x 1 , x 2 , x 3 )  X T A X . x2 2x x 2x x 3x2 2x2 (x x x )2 2x x 4x2 x2 1 1 2 1 3 2 3 1 2 3 2 3 2 3 (x x x )2 5x2 (x x )2, 1 2 3 2 2 3 令  x  1 x x x 2 2 2   x 3 x 3    y , 1 y , 2 y , 3 或  x x x 1 2 3    y  2 y 1 y y 2 2 2  y , 3 ,  y , 3 即 X  P Y ， 其中 P =  1 0 0  1 1 2 1 0  1  ， Y   y y y 1 2 3  ，显然 P 可逆， 则 f ( x 1 , x 2 , x 3 )  X T A X X  P Y Y T ( P T A P ) Y  y 21  5 y 22  y 23 . 2.【答案】2y2 2y2 1 2 【解析】令 X   x x x 1 2 3  ， A   0 1 1 1 0 0 1 0 0  ，则 f ( x 1 , x 2 , x 3 )  X T A X . f(x ,x ,x )2x x 2x x 2x (x x )， 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 令  x 1 x  x 2 3 x 3    y  y , 1 2 y  y , 1 2 y 3 , 或  x x x 1 2 3    y 1 y 1   y , 2 y  2 y y 3 3 , ,  y  1   即X  PY ，其中Y  y ，  2   y   3 P   1 1 0 1  0 1 0  1 1  ，可逆，则 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) X  P Y 2 y 21  2 y 22 . 3.【答案】9y2 18y2 18y2 1 2 3【解析】令 A   1   7 2 2  1  2 4 4   1 2 4 4  ， X   x x x 1 2 3  ，则 f ( x 1 , x 2 , x 3 )  X T A X ，由 2 2 1 7 2 4 1 4 2 4 1 4 ( 9 ) ( 1 8 ) 2 0       E  A         ，得 1 9   ， 2 3 1 8     . 当 1 9   时，由(9E A)X 0，得 1   1 2 2   ； 当 2 3 1 8     时，由 (1 8 E  A ) X  0 ，得 2    1 0 2   ， 3    0 1 2   . 令 1  1   1 2 2    ， 2  2    1 0 2    ， 3  3  ( ( 3 2 , , 2 2 ) ) 2  1 5    5 2 4       ，   单位化得 γ 1  | 1 1 |  1 3  1 2 2   ，  γ 2  | 2 2 |  1 5   1 0 2   ，  γ 3  | 3 3 |  3 1 5    5 2 4   ，  令 Q  ( γ 1 , γ 2 , γ 3 ) ，则 f ( x 1 , x 2 , x 3 )  X T A X X  Q Y 9 y 21  1 8 y 22  1 8 y 23 . 4.【答案】（1） a  b  0 ；（2） Q    0 1 1 2 2 0 1 0 1 0 1 2 2  ； 【解析】（1）令 A   1 a 1 a 1 b 1 b 1  ， X   x x x 1 2 3  ， Y   y y y 1 2 3  ，则 f  X T A X . 因为 f  X T A X 经过正交变换化为 f  y 22  2 y 23 ，所以 A 的特征值为 1 0   ， 2 1   ， 3 2   .所以A  1 a 1 a 1 b 1 b 1   ( b  a ) 2  0 ，所以 a  b | 2 E  A | 1   a 1   1 a a   1 1 a  4 a 2  0 ，得 a  0 , b  0 . 1 0 1   （2）A= 0 1 0     1 0 1   由 ( 0 E  A ) X  0 ，即 A X  0 ，得 1 0   对应的线性无关的特征向量为 (1,0,1)T ； 1 由(EA)X 0，得 2 1   对应的线性无关的特征向量为 2  ( 0 , 1 , 0 ) T  ； 由 ( 2 E  A ) X  0 ，得 3 2   对应的线性无关的特征向量为 3  ( 1 , 0 , 1 ) T  ，规范化得 1  1 2 (  1 , 0 , 1 ) T  ， 2  ( 0 , 1 , 0 ) T  ， 2  1 2 (1 , 0 , 1 ) T  ， 令 Q    0 1 1 2 2 0 1 0 1 0 1 2 2  ，则 f  X T A X X  Q Y y 22  2 y 23 . 5.【答案】（1） k  2  1 1 1      3 2 6    1 1 1  1 1 1    ；（2）Q    ；（3）  1 1 1  3 2 6    1 1 1     1 2  0    3 6  【解析】（1）因为二次型 f  XTAX 经过正交变换 X  Q Y 化为y2 2y2 ky2 ，则A 1 2 3 的特征值为 1 1    ， 2 2   ， 3   k . 由 A   4   2 k 得k 2，即1， 1 2 3 2     . 1  a d   3    1  （2）由Q   b e ，二次型 f  xTAx经过正交变换x Qy化为 3    1  c f    3  1   y2 2y2 ky2 ，得1对应的线性无关特征向量为  1 . 1 2 3 1 1     1   设   x x x 1 2 3   为 2 3 2     对应的特征向量，由T0得x x x 0，于是 1 1 2 3 2 3 2     1   对应的线性无关的特征向量为  1 ， 2     0   3    0 1 1   . 令            ，             ，                                                  1 1 1      3 2 6 1 1 1   1   1   1    1 1 1  规范化得 1   1  ， 2   1  ， 3   1  ，则Q    . 3 2 6 3 2 6  1   0   2           1 2  0    3 6  1 0 0   （3）由QTAQ  0 2 0 得     0 0 2   A  Q   0 0 1 0 2 0 0 0 2  Q T   1   1 1  1  1 1   1 1 1  . 6.【答案】（1）a2，b1；（2）请参照解析  2 1 b x  1     【解析】（1）令A 1 a 1 ，X  x ，则 f(x ,x ,x ) XTAX .    2 1 2 3     b 1 2 x     3因为二次型经过正交变换化为 3 y 21  3 y 22 ，得 3， 1 2 3 0   . 由 ( ) 1 2 3 2 2    t r A      a  ，得 a  2 . 又 1 2 3 0  A   且 A 2(b2)(b1)，所以 b   2 或b1. 因为 1 2 3     为 A 的特征值，所以 3 E  A  1  b 1  1  1 1 b  1 1   ( b  1 ) 2  0 ，故 b  1 . （2）当 1 2 3     时，由 ( 3 E  A ) X  0 1   ，得  1 ， 1     0   2    0 1 1   ； 当 3 0   时，由(0EA)X 0，即 A X  0 ，得 3   1  1 1   . 令 1  1   1 1 0    ， 2  2  ( ( 2 1 , , 1 1 ) ) 1  1 2   1 2 1       ，   3  3   1  1 1    ，单位化得 1 1  1   1    1    1     1  1 ，  2  1 ，  3  1 ， 1 | | 2   2 | | 6   3 | | 3   1  0  2  2  3  1        令 Q  ( 1 , 2 , 3 ) X QY    ，则 f(x ,x ,x ) XTAX 3y2 3y2. 1 2 3 1 2 7.【答案】（1） a  2  1 1   0   2 2   ；（2）Q  1 1  0   2 2      0 1 0  【解析】（1）令 A   2 a 0 a 2 0 0 0 1  ， X   x x x 1 2 3  ，则 f  X T A X ，2 a 0 EA  a 2 0 (1)(2 44a2). 0 0 1 因为二次型 X T A X 经过正交变换 X  Q Y 化为标准型 f  y 22  4 y 23 ，所以 A 的特征 值为 1 0   ， 1， 2 3 4   ，从而 4  a 2  0 ，于是 a  2 （ a  0 ），故 A =  2 2 0 2 2 0 0 0 1  . （2）由(0EA)X 0或AX 0得0对应的线性无关向量为 1 1  (  1 , 1 , 0 ) T  ； 由 ( E  A ) X  0 得 1对应的线性无关向量为 (0,0,1)T ； 2 2 由 ( 4 E  A ) X  0 得 3 4   对应的线性无关向量为 3  ( 1 , 1 , 0 ) T  ； 单位化得： 1  1 2 (  1 , 1 , 0 ) T  ， 2  ( 0 , 0 , 1 ) T  ， 3  1 2 ( 1 , 1 , 0 ) T  ，则正交矩阵 Q    1 0 1 2 2 0 0 1 1 1 0 2 2  . 8.【答案】（1） a  0 ，k 1；（2）请参照解析 【解析】（1）令 X   x x x 1 2 3  ， A   a 0  1 0 a  1   k 1 1  ，则二次型表示为 f ( x 1 , x 2 , x 3 )  X T A X ，因为    1 k 2   为 A 的特征向量，所以 A 0    ，即  1   1  a2, 0      A k  k ，于是ak2k, 解得   0  0      2 2 1k2k 2,      0 k 0 a 1 2 0 , , ,      于是  0 0 1   A 0 0 1 .     1 1 1  （2）由 E A 0 1 0 1 1 1 1 ( 1 ) ( 2 ) 0              ，得 1 1    ， 0， 2 3 2   . 当 1 1    时，由 (  E  A ) X  0 ，即 ( E  A ) X  0 ，得 1   1 1 1   ； 当 2 0   时，由 ( 0 E  A ) X  0 ，即 A X  0 ，得 2    1 0 1   ； 当 3 2   时，由(2EA)X 0，得 3    1 1 2   . 单位化得 1  1 3  1 1 1   ， 2  1 2   1 0 1   ， 3  1 6   1 1 2   ，令 Q   1 1 1 3 3 3  1 0 1 2 2  1 1 6 6 2 6  ，于是 Q T A Q =   0 0 1 0 0 0 0 0 2  ，故 X QY f(x ,x ,x ) XTAX YT(QTAQ)Y y2 2y2. 1 2 3 1 3 9.【答案】（1） a  3 ；（2）请参照解析 【解析】（1）令 A   5  3 1  5  1 3 3  a 3  x  1   ，X  x ，则 f(x ,x ,x ) XTAX ，  2 1 2 3   x   3  5 1 3  1 5 3 1 5 3        A 1 5 3  5 1 3  0 24 12 ，             3 3 a 3 3 a 0 12 a9        5 1 3  24 12   因为r(A)2，所以  ，解得a3，于是A 1 5 3 .   12 a9   3 3 3  （2）由 | | 1 3 5 1 3 5 3 3 3 ( 4 ) ( 9 ) 0       E  A           ，得A的特征值为 1 0   ， 2 4   ， 3 9   . 当 1 0   时，由(0EA)X 0，得 1  (  1 , 1 , 2 ) T  ； 当 4时，由 2 ( 4 E  A ) X  0 ，得 (1,1,0)T ； 2 当 3 9   时，由 ( 9 E  A ) X  0 ，得 3  ( 1 ,  1 , 1 ) T  . 单位化得 1  1 6   1 2 1   ， 2  1 2  1 1 0   ， 3  1 3  1  1 1   ， 令 Q    1 2 1 6 6 6 1 1 0 2 2  1 1 3 1 3 3  0 0 0   ，QTAQ = 0 4 0 ，则     0 0 9   f(x ,x ,x ) 1 2 3 X T A X X  Q Y 4 y 22  9 y 23 . 10.【答案】A 【解析】显然 A 的特征值为 1 , 3 ,  3 ，而  4 0 0 0 0 1 0 1 0  的特征值为 4 , 1 ,  1 ，所以 A 与 4 0 0   0 0 1 合同但不相似，选（A）.     0 1 0   1 0 0    0 3 0 与     0 0 3   A 即合同又相似，（B）不对； 0 2 0    2 4 0 的特征值为22 2,22 2,1，显然与     0 0 1   A 的正、负惯性指数不同，与 A不合同（C）不对； 因为  0 2 0 2 2 0 0 0 0  的秩为2，所以不能与 A 合同，（D）不对. 11.【答案】B 【解析】 A   2 1 1 1 2 1 1 1 2    1 1 1 1 1 1 1 1 1    1 0 0 0 1 0 0 0 1   C  E ，易知 C 的特征值为 t r ( C ) , 0 , 0 ，即 3 , 0 , 0 ，所以 A 的特征值为 4 , 1 , 1 ，易知 B 的特征值为 1 ,2 ,3 ，由此可知， A 与 B 的特征值不一样，所以 A 与 B 不相似；但 A 与B 的正负惯性指数相同，故 A 与 B 合同，答案选（B）. 12.【答案】B 【解析】方法一： E  A   (  0 0  1 1 ) [ (  0    1 1 ) (  0    2 2 )   (  ]   1 ( )     1 1 ) (     3 ) 2 (  2 )              所以A的特征值为：  2 , 1 , 3 . 两个矩阵合同，其对应的正负惯性指数相等，两正一负，只 有（B）选项满足题意. 方法二：易知 A   6 ，故排除（A）（C）选项，因为这两个选项对应的行列式一个是 0，一个为正，不满足与 A 的正负惯性指数相等. 又因为 t r ( A )  2  0 ，故一定有正特征 值，所以排除（D），综上所述，答案选（B）. 13.【答案】A 【解析】A与B 均为实对称矩阵，r(A)1，易知A的特征值为 t r ( A ) , 0 , 0 ，即 3 , 0 , 0 ， 易知B 的特征值为 3 , 0 , 0 ，由此可知，A与B 的特征值一样，所以A与B 相似；且A与 B 的正负惯性指数相同，故 A 与 B 合同，答案选（A）. 14.【答案】D 【解析】A正定的充分必要条件之一为所有的特征值均为正，（A）选项不对，只能说明所有特征值不为 0 ，无法保证所有特征值为正. （B）选项不 对，无法保证特征值非零. （C）选项不对，只能说明所有特征值不为 0 ，无法保证所有特征值为正. （D）选项正确， A  1 对应特征值为 A 的特征值的倒数，若 A  1 的特征值全为正，则 A 的 特征值也必都为正. 故答案选（D）. 15.【答案】（1） 1 0   （ 1 重）， 2   3  （ 2 重）；（2） k  3 【解析】（1）由A2 3AO得2 30，解得0或 3    ，因为 A 为实对称矩 阵，所以必可对角化，所以 A 的秩与 A 的非零特征值的个数相同，于是0， 1 2 3 3      . （2） A  k E 的特征值为k， 1 2 3 k 3      . 因为 A  k E 正定的充分必要条件是特 征值都是正值，所以当 k  3 时， A  k E 正定. 16.【答案】略 【解析】因为 B T  ( E  A T A ) T  E  A T A  B ，所以B 为实对称矩阵，对任意的 X  0 ， X T B X  X T ( E  A T A ) X  X T X  ( A X ) T ( A X ) ，因为 X T X  0 ， ( A X ) T ( A X )  0 ，所以 X T B X  0 ，即 B  E  A T A 为正定矩阵. 17.【答案】略 【解析】因为AT  A，BT  B，因为 A 、 B 正定，所以 A 的特征值 0(i1, ,n)，B 的特征值0(i1, ,n). i i 因为 ( A * ) T  ( A A  1 ) T  A ( A  1 ) T  A A  1 = A * ， ( B  1 ) T  ( B T )  1  B  1 ，所以 A*+B1为实对称矩阵. 由 A * | A| 1 的特征值为 0(i 1, ,n)，B1的特征值为 0(i1, ,n)，得   i i A * ， B1都是正定矩阵，故 A * + B  1 也为正定矩阵. 18.【答案】略 【解析】AT  A，因为(BTAB)T BTATBBTAB，所以BTAB对称. 对任意的X 0，XT(BTAB)X (BX)TA(BX)，令BX ，由r(B)n，所以方程组 B X  0 只有零解，故0. 因为A为正定矩阵，所以 T ( T ) T 0   X B A B X  A  ，于是 B T A B 为正定矩阵.综合测试 1.【答案】D 【解析】根据题意： ， 可逆，且 ， ，所以 与 等价、相似、合同． 2.【答案】标准形为 f  2z2 2z2 4z2 ，变换矩阵为 1 2 3 【解析】二次型中不含平方项，令  x x x 1 2 3    y y y 1 1 3   y y 2 2 代入可得 f  2 y 21  2 y 22  2 y 1 y 3  6 y 2 y 3 ， 所用变换矩阵为 C   1 1 0 1  0 1 0 0 1  . 再配方可得 f  2  y 1  1 2 y 3  2  2  y 2  3 2 y 3  2  4 y 23 ，  1  1 z  y  y y  z  z  1 1 2 3  1 1 2 3    3  3 令z  y  y y  z  z ，将二次型化为 2 2 2 3 2 2 2 3   z  y y  z 3 3 3 3     f  2 z 21  2 z 22  4 z 23 .  1  1 0   2    3 所用可逆变换矩阵B  0 1  ，故原二次型经过xCBz化作了标准形，  2   0 0 1       1 1 1   所用变换矩阵P CB= 1 1 2 .     0 0 1   3.【答案】B E ij A E ij  B E ij E 1  E E   E ij ij ij ij P  C B =  1 1 0 1  0 1  2 1 1  A B【解析】实对称矩阵与其特征值构成的对角矩阵相似和合同，所以①③正确； 对②：取 A   1 2 3  ， B   4 5 6  ，则 f ( x 1 , x 2 , x 3 )  x 21  2 x 22  3 x 23 , g ( x 1 , x 2 , x 3 )  4 x 21  5 x 22  6 x 23 , 有相同的规范形，但 EA (1)(2)(3),EB (4)(5)(6)， 显然  E  A  E  B ，由此可得②错误． 对④：引用上例，A与B 的秩均为3，正惯性指数均为3，因而A与B 合同，但这并不要 求特征值相等，于是  E  A  E  B ，即 A 与 B 不相似，从而④不成立，故答案选 （B）． 4.【答案】g y2  y2  y2 1 2 3 【解析】由已知， A 的特征值为 1 2 1 , 3 1        ，故 A * 的特征值为 A A A 1, 1， 1（    1 2 3 A   1 ） 所以 x T A * x 的规范形为g y2  y2  y2. 1 2 3 5.【答案】（1）令正交矩阵 Q   1 1 1 3 3 3  1 1 6 2 6 6  1 0 2 1 2  ，经正交变换 x  Q y ，化二次型为 标准形 f 6y2 ； 1 （2） AE 7 【解析】（1）由 A 的各行元素之和均为 6 ，得 A  1 1 1    6 6 6   6  1 1 1  ，即6为矩阵A的 1特征值， 1   1 1 1   是A的属于 1 6   的特征向量． 由 A B  O 知， A   1 1 2   A  1  0 1   0 ，由特征值和特征向量的定义可知， 2    1 1 2  , 3   1  0 1    是 A 属于特征值 2 3 0     的特征向量． 将之正交化，得 2  2    1 1 2    ， 3  3  ( ( 3 2 , , 2 2 ) ) 2  1 2  1 0  1       ，   再将 1 , 2 , 3   单位化分别得到， 1 1 3 1 1 1     ， 2 1 6 1 1 2       1  1   ，  0 ， 3   2   1   令正交矩阵Q(,,)，经正交变换 1 2 3 x  Q y 化二次型 f 为标准形 f  6 y 21 ． （2） A 的特征值为 6 , 0 , 0 ，故 A  E 的特征值为 7 , 1 , 1 ，所以 A  E  7 ． 6.【答案】 f  y2  y2  y2  y2 1 2 3 4 【解析】设 A 的特征值为，则 2 2 3 0      ，所以 3   或 1    .又二次型的正惯 性指数为1，r(A)4，所以负惯性指数为 3 ，故 A 的特征值为 3 ,  1 ,  1 ,  1 ，所以该二次 型的规范形为 f  y 21  y 22  y 23  y 24 . 7.【答案】（1） f ( x 1 , x 2 , x 3 )  x T A x  2 x 1 x 2  2 x 1 x 3  2 x 2 x 3 ；（2）略 【解析】（1）由二次型经正交变换化为标准形2y2  y2  y2 ，知A 的特征值为 1 2 3 1 2   ， A   1.所以 A =2(1)(1)2．A*的特征值为 ，即 2 3  1 ,  2 ,  2 ． 因为  (1 , 1 ,  1 ) T  是齐次线性方程组(A*E)x 0的解向量，所以是A*的特征值1对 应的特征向量，是A 的特征值2对应的特征向量． 1 设  1对应的特征向量为x (x ,x ,x )T ，由于A 是实对称矩阵，故与 x 正 2 3 1 2 3交，即 x 1  x 2  x 3  0 ．解得 2  ( 1 ,  1 , 0 ) T , 3  ( 1 , 0 , 1 ) T    1 1 1   令P (,,) 1 1 0 ，则 2 3     1 0 1   P  1 A P  Λ   2 0 0 0  0 1 0 0  1  故 A  P Λ P  1 =  1 1  1 1  0 1 1 0 1   2 0 0 0  0 1 0 0  1   1 1  1 1  0 1 1 0 1   1   0 1  1 1 0  1   0 1 1  所以所求的二次型为 f ( x 1 , x 2 , x 3 )  x T A x  2 x 1 x 2  2 x 1 x 3  2 x 2 x 3 ． （2）由于A的特征值为2,1,1，故A2E 的特征值为4,1,1，全大于零，且A2E 是 对称矩阵，所以 A  2 E 是正定矩阵． 8.【答案】（1）证明略， A 的特征值为 1 ,  1 , 0 ； （2）经正交变换 x   1 1 0 2 2  1 1 4 1 1 1 8 8 8  2 3 1 3 2 3  y ，化二次型为标准形： f  y 21  y 22 ； （3） 1   【解析】（1）证明：因为 T  ( T  T ) T  ( T ) T  ( T ) T  T  T        A A ， 所以A为实对称矩阵. 由ATT,ATT知： (  )           A A A ， (  )       (  )         A A A . 所以A有特征值 1 1   和 2 1    ，其特征向量分别为,. 又因为 r ( )  r ( T )  r ( T )  m i n  r ( ) , r ( T )   m i n  r ( ) , r ( T )   1  1  2       A ， 故A有特征值 3 0   ，所以A 的所有特征值为1,1,0. （2）因为 A 是实对称矩阵，所以属于不同特征值的特征向量相互正交，1和 1 1 2 1 对应的特征向量分别为 (1,1,0)T,  (1,1,4)T . 1 2 3设 3 0   的特征向量为 (x ,x ,x )T ，因此： 3 1 2 3  T1 T2 3 3   x 1 3 1  (  x x 2 1   0 x , 2  4 x 3 )  0 .   取 3  ( 2 ,  2 , 1 ) T  ，将特征向量 1 , 2 , 3   规范化，  1   1   2         2 18 3        1   1   2  1   2  , 2 =  18  , 3    3 ，        0   4   1           18   3  令正交矩阵Q(,,)，经正交变换x Qy，即： 1 2 3  x x x 1 2 3    1 1 0 2 2  1 1 4 1 1 1 8 8 8  2 3 1 3 2 3   y y y 1 2 3  化二次型为标准形： f  y 21  y 22 . （3）因为  A  E 仍为对称矩阵，且其特征值为1,1,，当且仅当AE 的特 征值全为正数时， A 正定，因此， 1   即可. 9.【答案】（1） P    1 0 1 2 2 1 1 2 6 6 6   1 1 1 3 3 3   5 1 1    3 3 3    1 5 1 ；（2）C    3 3 3   1 1 5      3 3 3 【解析】（1）       E ( ( ( ( (    1 1       A a a 0 0 a a a a a       1 1 1 1 1   1 ) [ ) ( ) [ ) [ 1 ( a  2 2 2  1 a 1  a  2  (  ( 1 1   a  1  1 ) ( a  a 2 a  1 ) a  1  a 1 2   2 a   a a    a 0  )   2 a 2 )   ( 2  1 1 ] a    a ( a 2  a  1  a 1  1 ) ) 2 ]  1 ) ( a   1 1  a 1 2 ) a  ] 1 2  a                             1 ) 2 (  a  2 )  令E A 0，解得 1 2 a 1 , 3 a 2         ( a  1 ) E  A   1 0 0 1 0 0  0 0 1  ，解得 1    1 0 1  , 2   1 0 1    ( a  2 ) E  A   1 0 0 0 1 0 1 1 0  ，解得 3     1 1 1   将,进行施密特正交化可得 1 2 1 1 0 1 ,      1 (,) 1     2 1   1 2 2 (,) 1 2   1 1  2    将 1 , 2 , 3  1   1   1          2 6 3        1   1   1    单位化，可得  ,  ,   , 1   2   3   2 6 3        0   2   1           6   3   1 1 1      2 6 3   a1 0 0   1 1 1    可得正交矩阵P   ，使PAP  Λ 0 a1 0      2 6 3   0 0 a2     2 1  0    6 3 （2）因为 P  A P  Λ 可知， A  P Λ P  C 2  ( a  3 ) E  A  P  ( a  3 ) E  Λ  P   P  4 0 0 0 4 0 0 0 1  P   P  2 0 0 0 2 0 0 0 1  P  P  2 0 0 0 2 0 0 0 1  P  因为C 为正定矩阵，所以 C  P  2 0 0 0 2 0 0 0 1  P     1 0 1 2 2 1 1 2 6 6 6   1 1 1 3 3 3   2 0 0 0 2 0 0 0 1    1 0 1 2 2 1 1 2 6 6 6   1 1 1 3 3 3  T    5 3 1 3 1 3  5 3 1 3 1 3 1 3 1 3 5 3  ．拓展提升 1.【答案】 f 3y2 6y2 1 2 【解析】二次型的矩阵 A   1 a 1 a  b 5 1 b 1  2   ，且 1 是A的特征向量，则有     2   1 a 1 a b 5 1 b 1 2 1 2 1 2 1 2          即 a 2 b a 4 4 2 b 2 2 1 5 1 , , 1 ,            解得 a b 2 , 1 3     . 由 r ( A )  2 ，知 A  0 ，于是 2 0   是 A 的特征值. 3 3 再由 a ，得 ii i i1 i1 1 5 1 3 0 3       ，即 3 6    是 A 的特征值. 因此，在正交变换下二次型的标准形： f  3 y 21  6 y 22 . 2.【答案】C  0 1 1x  1    【解析】 f (x ,x ,x ) 1 0 1 x 1 2 3   2    1 1 0 x    3  1 1 +1 1 1 +1 1 1 AE = 1  1  1  1 = 0 2 2 =0，求出特征值 1 1  0 1  0 1  1, 1, 2，由正交变换化二次型为标准形 1 2 3 f  y 21  y 22  2 y 23 ， f ( x 1 , x 2 , x 3 )  1 空间直角坐标系下表示的二次曲面是单叶双曲面，故选（C）. 3.【答案】 f  3 y 21 【解析】由r(A)1知零特征值的重数为 2 ，又因为 A 中各行元素之和为3，所以 1 1     A 1 3 1 ，即它的特征值为3,0,0，则 f 在正交变换x Qy下的标准形为         1 1    f  3 y 21 ． 4.【答案】[2,2] 【解析】 f(x ,x ,x ) x2 x2 2ax x 4x x (x ax )2 (x 2x )2 (4a2)x 2 ， 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 3 2 3 3 由于二次型的负惯性指数为 1 ，故 4  a 2  0 ，故  2  a  2 . 5.【答案】C 【解析】（A）是充分但不必要条件，因为P 是正交矩阵，那么 P  1 A P  P T A P  E ，表 明A的特征值全是1，所以 A 正定，但 A 正定特征值不一定全是 1 ； （B）是必要条件，并不充分，因为xTAx正定的充要条件是正惯性指数 p  n，此时负 惯性指数 q  0 ，反之当 q  0 时不一定有 p  n ，例如 f ( x 1 , x 2 , x 3 )  x 21  2 x 22 ； （D）存在 n 阶矩阵 C ，使ACTC， C 是否可逆不清楚，若 C 不可逆则 A  C T C  C 2  0 ，矩阵A不可能正定，故答案选（C）. 对于（C）的证明：若 A 与 E 合同，则对二次型xTAx存在坐标变换 x  C y 使 x T A x  y T E y  y 21  y 22   y 2n ，那么对于  x  0 ，由 C 可逆必有 y 0，因此恒有 x T A x  y T y  0 ，所以二次型 x T A x 正定. 6.【答案】A 【解析】因为 A 是可逆的实对称矩阵，则(A1)T (AT)1  A1，即 A  1 也是实对称矩 阵，而 A 与 A  1 的特征值是互为倒数的关系，故二次型xTAx与xTA1x有相同的规范 形，标准形未必相同，故选（A）. 7.【答案】 m 【解析】 f  n i 1 ( x 1 , x 2 , x n )  a a a i1 i2 in  ( a i1 , a i2 , a in )  x x x 1 2 n  ( x 1 , x 2 , x n )  n i 1  a a a i1 i2 in  ( a i1 , a i2 , a in )  x x x 1 2 n   ( x 1 , x 2 , x n ) ( A T A )  x x x 1 2 n  ， 即 f 的矩阵为ATA，而r(AA)r(A)，所以二次型 f 的秩为 m . 8.【答案】略 【解析】 （1）令 B  ( 1 , 2 , 3 )    ，则 A ξ 1  0 ξ 1 , A ξ 2  0 ξ 2 ， A 有特征值 1 ,2 0  = .用特征值性质 3 i 1 i 3 i 1 a ii 2        ，解出2.设2对应的特征向量x=(x ,x ,x )T，则 1 2 3  ξ ξ 1 2 T T x x   0 0   x  1 x  1 x  2 x  2 x  3 0  0 求出其基础解系 x  ( x 1 , x 2 ,x 3 ) T ， 令 1  1 1  1 3  1 1 1  , 2  2 2  1 2   1 0 1  , 3   1 6   1 1 2     ξ ξ ξ ξ x x ， = ( 1 , 2 , 3 )    Q ，可得 Q T A Q    0 0 2  .  作正交变换 x = Q y ，即  x x x 1 2 3    1 1 1 3 3 3  1 0 1 2 2  1 1 6 6 2 6   y y y 1 2 3  ，得二次型的标准形为 f ( x 1 , x 2 , x 3 )  T  T T  T  2 y 23  x A x y Q A Q y y y . （2） f ( x 1 , x 2 , x 3 )  1 即 2 y 23  1 , y 3   1 2 ，代表两个平面. 1 1 1   1 1 1       3 2 6 3 3 3  0    1 1 1   1 1  （3）二次型矩阵A=QQT=   0   0  3 2 6 2 2   2      1 2   1 1 2  0        3 6   6 6 6   1 1 2    3 3 3    1 1 2    3 3 3   2 2 4       3 3 3  1 1 4 2 4 4 所以 f(x ,x ,x ) x2  x2  x2  x x  x x  x x . 1 2 3 3 1 3 2 3 3 3 1 2 3 1 3 3 2 3 9.【答案】（1） a  1 ； （2） 1 2 3     ，特征向量为 c 1  1  0 1   c 2  1 0  1  ， c 1 , c 2 不全为零； 3 0   ，特征向量为 c 3  1 1 1  ， c 3 不为零； （3）方程的解为 x  k (1 , 1 , 1 ) T ， k 为任意常数 3 3 【解析】 f(x ,x ,x )3ax2 (x )2 1 2 3 i i i1 i1 3a(x2 x2 x2)(x x x )2 1 2 3 1 2 3  ( 3 a  1 ) ( x 21  x 22  x 23 )  ( 2 x 1 x 2  2 x 1 x 3  2 x 2 x 3 ) 所以二次型矩阵为 A   3 a    1 1 1 3  a  1  1 1 3   a 1 1  1  ． （1） 此二次型的正负惯性指数之和小于3，因此A必有零特征值，所以 A  0； 3a1 1 1 即 1 3a1 1 =33a2(a1)0 1 1 3a1所以a1． （2）此时， A   2   1 1  2  1 1   2 1 1  ，因此 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ( 3 ) 2 0       A  E               ， 解得 1 2 3 , 3 0       ． 3   1 1 1   时，A3E  0 0 0 ，得     0 0 0   1   1  0 1  , 2   1 0  1    ， 其对应的所有特征向量为 c 1 1 + c 2 2   ， c 1 , c 2 不全为零． 3 0   对应的特征向量与,正交，因此可取 1 2 3   1 1 1   ，则 c 3 3 （ c 3 不为零）为 0 对应 的所有特征向量． （3）对向量 1 , 2  进行施密特正交化并单位化，得向量 e 1 , e 2 ； 对向量 3   1 1 1   进行单位化，得向量 e 3   1 3 , 1 3 , 1 3  T ， 构造正交矩阵P (e ,e ,e )，则有 1 2 3 P T A P   3 0 0 0 3 0 0 0 0  ． 令 x  P y ，其中x (x ,x ,x )T， y (y ,y ,y )T，则有 1 2 3 1 2 3 f ( x )  f ( P y )  y T P T A P y  3 ( y 21  y 22 )  0 ， 所以y  y 0； 1 2  0  1   y   因此x  Py (e ,e ,e ) 0  y e  3 1 ， 1 2 3   3 3   3     y 1     3 方程的解为xk(1,1,1)T，k为任意常数． 1 1 0    2 2   10.【答案】（1）A  0 1 0 ；（2）略  1 1   0   2 2  【解析】（1）由于二次型 f 在正交变换x Qy下的标准形为 y 21  y 22 ，所以 A 的特征值为 1 2 1 , 3 0       ，且Q 的第三列 3  ( 2 2 , 0 , 2 2 ) T  为 A 的对应于 3 0   的特征向量． 设 A 的对应于 1 2 1     的特征向量为  ( x 1 , x 2 , x 3 ) T  ，由实对称矩阵对应于不同特征值 的特征向量相互正交，有 T 3  0  ，亦即 x 1  x 3  0 ，解得A的对应于 1 2 1     的特 征向量为 1  ( 0 , 1 , 0 ) T , 2  (  1 , 0 , 1 ) T   ， 由于,是相互正交的，只需单位化： 1 2 2  2 2  1 2 (  1 , 0 , 1 ) T   ，   1 1  0    2 2   令正交矩阵Q ,,1 0 0 ，则 1 2 3   1 1 0   2 2  Q T A Q    1 1 0   ，  1 1 0    2 2   于是AQQT   0 1 0 ．  1 1   0   2 2  （2）首先AE 是实对称矩阵，因为A的特征值为1,1,0，所以AE 的特征值为 2 , 2 , 1 即AE 的特征值全大于零，故AE 是正定矩阵．  1 1 1     3 2 6    0 1 1  1 1 1    11.【答案】（1） ；（2）  1 0 1  3 2 6    1 1 0     1 2   0    3 6 【解析】（1）A的特征值为 1 2 , 2 3 1 , 2 .        A  又已知A，则 A A   A  ，即 A  A  ，所以 A  2  ， A 的特征值 2   对应的特征向量为. 设 2 3 1      对应的特征向量为 x  ( x 1 , x 2 , x 3 ) T ，则 T x  0  即 x 1  x 2  x 3  0 , 求出其 基础解系为： ξ 1    1 0 1  , ξ 2   1 0 1  ，通过施密特正交化 令 1  1  ξ ， 2  2  ( ( 2 1 , , 1 1 ) ) 1  1 2  1 1 2       ξ ξ 单位化得： 1  1 3  1 1  1  , 2  1 2   1 0 1  , 3  1 6  1 1 2     . 设Q(, ,)，则 1 2 3 Q T A Q = =  2  1  1   ， 设 x  Q y ，其中 Q =   1 1 3 3 1 3  1 0 1 2 2 1 1 2 6 6 6  ， 则 f ( x 1 , x 2 , x 3 )  x T A x  y T y  2 y 21  y 22  y 23  ，  0 1 1   （2）AQQT  1 0 1 .     1 1 0   12.【答案】（1）略；（2） k  1 a a a 1 1 11 12 13      【解析】（1）因为A的各行元素之和均为2，即 a a a 1 2 1 ，所以  21 22 23         a a a 1 1      31 32 332   是 A 1   的特征值， 1 是     1   A 的对应于 2   的特征向量.又由 A B  B  O ， A B   B ， B  0 , r ( B )  2 知  1 0  1   0    与 1 是     1   A 的对应于 1    的特征向量，即 1 2 , 2 3 1        ， 1   1 1 1  , 2   1 0  1  , 3   0 1  1     . 因为 2 , 3  不正交，将其正交化， 1  2   1 0  1  , 2  3  ( ( 3 1 , , 1 1 ) ) 1  1 2   2  1 1         ，   再单位化 e 1  1 3  1 1 1  , e 2  1 2  1 0  1  , e 3  1 6   2  1 1  ，取 Q  ( e 1 , e 2 , e 3 )   1 1 1 3 3 3  1 0 2 1 2   2 1 6 1 6 6  f  x T A x x  Q y y T Q T A Q y  y T y  2 y 21  y 22  y 23  . （2） A 的特征值为 2 ,  1 ,  1 ，所以 A  k E 的特征值为 k  2 , k  1 , k  1 ，要使 A  k E 正 定充要条件为 k  2  0 , k  1  0 , k  1  0 ，即k 1.