(277)--第六章《二次型》习题册解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

第六章 二次型
巩固练习
题型10 化二次型为标准形和规范形
1.【答案】y2 5y2  y2
1 2 3
【解析】令 A 
 1
1
1
1

0
3
1
0
2

， X 
 x
x
x
1
2
3

，则 f ( x
1
, x
2
, x
3
)  X T A X .
x2 2x x 2x x 3x2 2x2 (x x x )2 2x x 4x2 x2
1 1 2 1 3 2 3 1 2 3 2 3 2 3
(x x x )2 5x2 (x x )2,
1 2 3 2 2 3
令
 x 
1
x
x
x
2
2
2


x
3
x
3



y ,
1
y ,
2
y ,
3
或
 x
x
x
1
2
3



y  2 y
1
y
y
2
2
2
 y ,
3
,
 y ,
3
即 X  P Y ，
其中 P =
 1
0
0

1
1
2 1
0
 1

， Y 
 y
y
y
1
2
3

，显然 P 可逆，
则 f ( x
1
, x
2
, x
3
)  X T A X
X  P Y
Y T ( P T A P ) Y  y 21  5 y 22  y 23 .
2.【答案】2y2 2y2
1 2
【解析】令 X 
 x
x
x
1
2
3

， A 
 0
1
1
1
0
0
1
0
0

，则 f ( x
1
, x
2
, x
3
)  X T A X .
f(x ,x ,x )2x x 2x x 2x (x x )，
1 2 3 1 2 1 3 1 2 3
令
 x
1
x  x
2 3
x
3



y  y ,
1 2
y  y ,
1 2
y
3
,
或
 x
x
x
1
2
3



y
1
y
1


y ,
2
y 
2
y
y
3
3
,
,
 y 
1
 
即X  PY ，其中Y  y ，
 2
 
y  
3
P 
 1
1
0
1

0
1
0

1
1

，可逆，则 f ( x
1
, x
2
, x
3
)
X  P Y
2 y 21  2 y 22 .
3.【答案】9y2 18y2 18y2
1 2 3【解析】令 A 
 1


7
2
2

1

2
4
4


1
2
4
4

， X 
 x
x
x
1
2
3

，则 f ( x
1
, x
2
, x
3
)  X T A X ，由
2
2
1 7 2
4
1 4
2
4
1 4
( 9 ) ( 1 8 ) 2 0

   

E  A 



    ，得
1
9   ，
2 3
1 8     .
当
1
9   时，由(9E A)X 0，得
1

 1
2
2

 ；
当
2 3
1 8     时，由 (1 8 E  A ) X  0 ，得
2

 
1
0
2 
 ，
3

 
0
1
2 
 .
令
1

1

 1
2
2

  ，
2

2

 
1
0
2 
  ，
3

3

(
(
3
2
,
,
2
2
)
) 2

1
5
 

5
2
4

 
   ，
 
单位化得 γ
1

|
1
1
|

1
3
 1
2
2


，

γ
2

|
2
2
|

1
5
 
1
0
2 

，

γ
3

|
3
3
|

3
1
5
 

5
2
4


，

令 Q  ( γ
1
, γ
2
, γ
3
) ，则 f ( x
1
, x
2
, x
3
)  X T A X
X  Q Y
9 y 21  1 8 y 22  1 8 y 23 .
4.【答案】（1） a  b  0 ；（2） Q 


0
1
1
2
2
0
1
0
1
0
1
2
2

；
【解析】（1）令 A 
 1
a
1
a
1
b
1
b
1

， X 
 x
x
x
1
2
3

， Y 
 y
y
y
1
2
3

，则 f  X T A X .
因为 f  X T A X 经过正交变换化为 f  y 22  2 y 23 ，所以 A 的特征值为
1
0   ，
2
1   ，
3
2   .所以A 
1
a
1
a
1
b
1
b
1
  ( b  a ) 2  0 ，所以 a  b
| 2 E  A |
1


a
1


1
a
a


1
1
a  4 a 2  0 ，得 a  0 , b  0 .
1 0 1
 
（2）A= 0 1 0
 
 
1 0 1
 
由 ( 0 E  A ) X  0 ，即 A X  0 ，得
1
0   对应的线性无关的特征向量为 (1,0,1)T ；
1
由(EA)X 0，得
2
1   对应的线性无关的特征向量为
2
 ( 0 , 1 , 0 ) T  ；
由 ( 2 E  A ) X  0 ，得
3
2   对应的线性无关的特征向量为
3
 ( 1 , 0 , 1 ) T  ，规范化得
1

1
2
(  1 , 0 , 1 ) T  ，
2
 ( 0 , 1 , 0 ) T  ，
2

1
2
(1 , 0 , 1 ) T  ，
令 Q 


0
1
1
2
2
0
1
0
1
0
1
2
2

，则 f  X T A X
X  Q Y
y 22  2 y 23 .
5.【答案】（1） k  2
 1 1 1 
 
 
3 2 6
   1 1 1
 1 1 1   
；（2）Q    ；（3）  1 1 1 
3 2 6
   1 1 1 
 
 1 2 
0
 
 3 6 
【解析】（1）因为二次型 f  XTAX 经过正交变换 X  Q Y 化为y2 2y2 ky2 ，则A
1 2 3
的特征值为
1
1    ，
2
2   ，
3
  k .
由 A   4   2 k 得k 2，即1，
1 2 3
2     . 1 
a d
 
3
 
 1 
（2）由Q   b e ，二次型 f  xTAx经过正交变换x Qy化为
3
 
 1 
c f
 
 3 
1
 
y2 2y2 ky2 ，得1对应的线性无关特征向量为  1 .
1 2 3 1 1  
 
1
 
设 
 x
x
x
1
2
3

 为
2 3
2     对应的特征向量，由T0得x x x 0，于是
1 1 2 3
2 3
2    
1
 
对应的线性无关的特征向量为  1 ，
2  
 
0
 
3

 
0
1
1 
 .
令




 



  ，




 


 
  ，













 

 


 



 


 



 





 
  
 
 1 1 1 
 
 
3 2 6
1 1 1  
1   1   1    1 1 1 
规范化得 1   1  ， 2   1  ， 3   1  ，则Q    .
3 2 6 3 2 6
 1   0   2   
     
 1 2 
0
 
 3 6 
1 0 0
 
（3）由QTAQ  0 2 0 得
 
 
0 0 2
 
A  Q
 
0
0
1 0
2
0
0
0
2

Q T 
 1


1
1

1

1
1


1
1
1

.
6.【答案】（1）a2，b1；（2）请参照解析
 2 1 b x 
1
   
【解析】（1）令A 1 a 1 ，X  x ，则 f(x ,x ,x ) XTAX .
   2 1 2 3
   
b 1 2 x
   
3因为二次型经过正交变换化为 3 y 21  3 y 22 ，得 3，
1 2 3
0   .
由 ( )
1 2 3
2 2    t r A      a  ，得 a  2 . 又
1 2 3
0  A   且
A 2(b2)(b1)，所以 b   2 或b1.
因为
1 2
3     为 A 的特征值，所以
3 E  A 
1

b
1

1

1
1
b

1
1   ( b  1 ) 2  0 ，故 b  1 .
（2）当
1 2
3     时，由 ( 3 E  A ) X  0
1
 
，得  1 ，
1  
 
0
 
2

 
0
1
1 
 ；
当
3
0   时，由(0EA)X 0，即 A X  0 ，得
3

 1

1
1

 .
令
1

1

 1
1
0

  ，
2

2

(
(
2
1
,
,
1
1
)
) 1

1
2
 
1
2
1 
 
   ，
  3

3

 1

1
1

  ，单位化得
1 1  1 
 1    1    1  
  1  1 ，  2  1 ，  3  1 ，
1 | | 2   2 | | 6   3 | | 3  
1  0  2  2  3  1 
     
令 Q  (
1
,
2
,
3
)
X QY
   ，则 f(x ,x ,x ) XTAX 3y2 3y2.
1 2 3 1 2
7.【答案】（1） a  2
 1 1 
 0
 
2 2
 
；（2）Q  1 1 
0
 
2 2
 
 
 0 1 0 
【解析】（1）令 A 
 2
a
0
a
2
0
0
0
1

， X 
 x
x
x
1
2
3

，则 f  X T A X ，2 a 0
EA  a 2 0 (1)(2 44a2).
0 0 1
因为二次型 X T A X 经过正交变换 X  Q Y 化为标准型 f  y 22  4 y 23 ，所以 A 的特征
值为
1
0   ， 1，
2 3
4   ，从而 4  a 2  0 ，于是 a  2 （ a  0 ），故
A =
 2
2
0
2
2
0
0
0
1

.
（2）由(0EA)X 0或AX 0得0对应的线性无关向量为
1 1
 (  1 , 1 , 0 ) T  ；
由 ( E  A ) X  0 得 1对应的线性无关向量为 (0,0,1)T ；
2 2
由 ( 4 E  A ) X  0 得
3
4   对应的线性无关向量为
3
 ( 1 , 1 , 0 ) T  ；
单位化得：
1

1
2
(  1 , 1 , 0 ) T  ，
2
 ( 0 , 0 , 1 ) T  ，
3

1
2
( 1 , 1 , 0 ) T  ，则正交矩阵
Q 


1
0
1
2
2
0
0
1
1
1
0
2
2

.
8.【答案】（1） a  0 ，k 1；（2）请参照解析
【解析】（1）令 X 
 x
x
x
1
2
3

， A 
 a
0
 1
0
a
 1


k
1
1

，则二次型表示为
f ( x
1
, x
2
, x
3
)  X T A X ，因为 


1
k
2

 为 A 的特征向量，所以 A
0
   ，即
 1   1  a2,
0
    
A k  k ，于是ak2k, 解得
  0  0
    
2 2 1k2k 2,     
0
k
0
a
1
2
0
,
,
,

 


于是
 0 0 1
 
A 0 0 1 .
 
 
1 1 1
 （2）由 E A 0
1
0
1
1
1
1
( 1 ) ( 2 ) 0

   

 

    ，得
1
1    ， 0，
2 3
2   .
当
1
1    时，由 (  E  A ) X  0 ，即 ( E  A ) X  0 ，得
1

 1
1
1

 ；
当
2
0   时，由 ( 0 E  A ) X  0 ，即 A X  0 ，得
2

 
1
0
1 
 ；
当
3
2   时，由(2EA)X 0，得
3



1
1
2

 .
单位化得
1

1
3
 1
1
1

 ，
2

1
2
 
1
0
1 
 ，
3

1
6


1
1
2

 ，令
Q 
 1
1
1
3
3
3

1
0
1
2
2

1
1
6
6
2
6

，于是 Q T A Q =
 
0
0
1 0
0
0
0
0
2

，故
X QY
f(x ,x ,x ) XTAX YT(QTAQ)Y y2 2y2.
1 2 3 1 3
9.【答案】（1） a  3 ；（2）请参照解析
【解析】（1）令 A 
 5

3
1

5

1
3
3

a
3
 x 
1
 
，X  x ，则 f(x ,x ,x ) XTAX ，
 2 1 2 3
 
x
 
3
 5 1 3  1 5 3 1 5 3 
     
A 1 5 3  5 1 3  0 24 12 ，
     
     
3 3 a 3 3 a 0 12 a9
     
 5 1 3 
24 12  
因为r(A)2，所以  ，解得a3，于是A 1 5 3 .
 
12 a9
 
3 3 3
 （2）由 | | 1
3
5 1
3
5 3
3
3
( 4 ) ( 9 ) 0

   

E  A 





    ，得A的特征值为
1
0   ，
2
4   ，
3
9   .
当
1
0   时，由(0EA)X 0，得
1
 (  1 , 1 , 2 ) T  ；
当 4时，由
2
( 4 E  A ) X  0 ，得 (1,1,0)T ；
2
当
3
9   时，由 ( 9 E  A ) X  0 ，得
3
 ( 1 ,  1 , 1 ) T  .
单位化得
1

1
6
 
1
2
1 
 ，
2

1
2
 1
1
0

 ，
3

1
3
 1

1
1

 ，
令 Q 


1
2
1
6
6
6
1
1
0
2
2

1
1
3
1
3
3

0 0 0
 
，QTAQ = 0 4 0 ，则
 
 
0 0 9
 
f(x ,x ,x )
1 2 3
X T A X
X  Q Y
4 y 22  9 y 23 .
10.【答案】A
【解析】显然 A 的特征值为 1 , 3 ,  3 ，而
 4
0
0
0
0
1
0
1
0

的特征值为 4 , 1 ,  1 ，所以 A 与
4 0 0
 
0 0 1 合同但不相似，选（A）.
 
 
0 1 0
 
1 0 0 
 
0 3 0 与
 
 
0 0 3
 
A 即合同又相似，（B）不对；
0 2 0 
 
2 4 0 的特征值为22 2,22 2,1，显然与
 
 
0 0 1
 
A 的正、负惯性指数不同，与 A不合同（C）不对；
因为
 0
2
0
2
2
0
0
0
0

的秩为2，所以不能与 A 合同，（D）不对.
11.【答案】B
【解析】 A 
 2
1
1
1
2
1
1
1
2


 1
1
1
1
1
1
1
1
1


 1
0
0
0
1
0
0
0
1

 C  E ，易知 C 的特征值为
t r ( C ) , 0 , 0 ，即 3 , 0 , 0 ，所以 A 的特征值为 4 , 1 , 1 ，易知 B 的特征值为 1 ,2 ,3 ，由此可知，
A 与 B 的特征值不一样，所以 A 与 B 不相似；但 A 与B 的正负惯性指数相同，故 A 与
B 合同，答案选（B）.
12.【答案】B
【解析】方法一：
E  A 
 (

0
0

1
1 ) [ (

0



1
1 ) (

0



2
2 )


(
 ]


1
(
)




1
1
) ( 
 

3 )
2
(  2 )


  


     
所以A的特征值为：  2 , 1 , 3 . 两个矩阵合同，其对应的正负惯性指数相等，两正一负，只
有（B）选项满足题意.
方法二：易知 A   6 ，故排除（A）（C）选项，因为这两个选项对应的行列式一个是
0，一个为正，不满足与 A 的正负惯性指数相等. 又因为 t r ( A )  2  0 ，故一定有正特征
值，所以排除（D），综上所述，答案选（B）.
13.【答案】A
【解析】A与B 均为实对称矩阵，r(A)1，易知A的特征值为 t r ( A ) , 0 , 0 ，即 3 , 0 , 0 ，
易知B 的特征值为 3 , 0 , 0 ，由此可知，A与B 的特征值一样，所以A与B 相似；且A与
B 的正负惯性指数相同，故 A 与 B 合同，答案选（A）.
14.【答案】D
【解析】A正定的充分必要条件之一为所有的特征值均为正，（A）选项不对，只能说明所有特征值不为 0 ，无法保证所有特征值为正. （B）选项不
对，无法保证特征值非零.
（C）选项不对，只能说明所有特征值不为 0 ，无法保证所有特征值为正.
（D）选项正确， A  1 对应特征值为 A 的特征值的倒数，若 A  1 的特征值全为正，则 A 的
特征值也必都为正. 故答案选（D）.
15.【答案】（1）
1
0   （ 1 重），
2
  3  （ 2 重）；（2） k  3
【解析】（1）由A2 3AO得2 30，解得0或 3    ，因为 A 为实对称矩
阵，所以必可对角化，所以 A 的秩与 A 的非零特征值的个数相同，于是0，
1
2 3
3      .
（2） A  k E 的特征值为k，
1 2 3
k 3      . 因为 A  k E 正定的充分必要条件是特
征值都是正值，所以当 k  3 时， A  k E 正定.
16.【答案】略
【解析】因为 B T  ( E  A T A ) T  E  A T A  B ，所以B 为实对称矩阵，对任意的
X  0 ， X T B X  X T ( E  A T A ) X  X T X  ( A X ) T ( A X ) ，因为 X T X  0 ，
( A X ) T ( A X )  0 ，所以 X T B X  0 ，即 B  E  A T A 为正定矩阵.
17.【答案】略
【解析】因为AT  A，BT  B，因为 A 、 B 正定，所以 A 的特征值
0(i1, ,n)，B 的特征值0(i1, ,n).
i i
因为 ( A * ) T  ( A A  1 ) T  A ( A  1 ) T  A A  1 = A * ， ( B  1 ) T  ( B T )  1  B  1 ，所以
A*+B1为实对称矩阵.
由 A *
| A| 1
的特征值为 0(i 1, ,n)，B1的特征值为 0(i1, ,n)，得
 
i i
A * ，
B1都是正定矩阵，故 A * + B  1 也为正定矩阵.
18.【答案】略
【解析】AT  A，因为(BTAB)T BTATBBTAB，所以BTAB对称.
对任意的X 0，XT(BTAB)X (BX)TA(BX)，令BX ，由r(B)n，所以方程组 B X  0 只有零解，故0. 因为A为正定矩阵，所以
T ( T ) T 0   X B A B X  A  ，于是 B T A B 为正定矩阵.综合测试
1.【答案】D
【解析】根据题意： ， 可逆，且 ， ，所以 与
等价、相似、合同．
2.【答案】标准形为 f  2z2 2z2 4z2 ，变换矩阵为
1 2 3
【解析】二次型中不含平方项，令
 x
x
x
1
2
3



y
y
y
1
1
3


y
y
2
2
代入可得
f  2 y 21  2 y 22  2 y
1
y
3
 6 y
2
y
3
，
所用变换矩阵为 C 
 1
1
0
1

0
1
0
0
1

.
再配方可得 f  2

y
1

1
2
y
3

2
 2

y
2

3
2
y
3

2
 4 y 23 ，
 1  1
z  y  y y  z  z
 1 1 2 3  1 1 2 3
 
 3  3
令z  y  y y  z  z ，将二次型化为
2 2 2 3 2 2 2 3
 
z  y y  z
3 3 3 3
 
 
f  2 z 21  2 z 22  4 z 23 .
 1 
1 0
 
2
 
 3
所用可逆变换矩阵B  0 1  ，故原二次型经过xCBz化作了标准形，
 2
 
0 0 1
 
 
 
1 1 1
 
所用变换矩阵P CB= 1 1 2 .
 
 
0 0 1
 
3.【答案】B
E
ij
A E
ij
 B E
ij
E 1  E E   E
ij ij ij ij
P  C B =
 1
1
0
1

0
1

2
1
1 
A B【解析】实对称矩阵与其特征值构成的对角矩阵相似和合同，所以①③正确；
对②：取 A 
 1
2
3

， B 
 4
5
6

，则
f ( x
1
, x
2
, x
3
)  x 21  2 x 22  3 x 23 , g ( x
1
, x
2
, x
3
)  4 x 21  5 x 22  6 x 23 ,
有相同的规范形，但
EA (1)(2)(3),EB (4)(5)(6)，
显然  E  A  E  B ，由此可得②错误．
对④：引用上例，A与B 的秩均为3，正惯性指数均为3，因而A与B 合同，但这并不要
求特征值相等，于是  E  A  E  B ，即 A 与 B 不相似，从而④不成立，故答案选
（B）．
4.【答案】g y2  y2  y2
1 2 3
【解析】由已知， A 的特征值为
1 2
1 ,
3
1        ，故 A * 的特征值为
A A A
1, 1， 1（
  
1 2 3
A   1 ）
所以 x T A * x 的规范形为g y2  y2  y2.
1 2 3
5.【答案】（1）令正交矩阵 Q 
 1
1
1
3
3
3

1
1
6
2
6
6

1
0
2
1
2

，经正交变换 x  Q y ，化二次型为
标准形 f 6y2 ；
1
（2） AE 7
【解析】（1）由 A 的各行元素之和均为 6 ，得 A
 1
1
1


 6
6
6

 6
 1
1
1

，即6为矩阵A的
1特征值，
1

 1
1
1

 是A的属于
1
6   的特征向量．
由 A B  O 知， A


1
1
2

 A
 1

0
1

 0 ，由特征值和特征向量的定义可知，
2



1
1
2

,
3

 1

0
1

  是 A 属于特征值
2 3
0     的特征向量．
将之正交化，得
2

2



1
1
2

  ，
3

3

(
(
3
2
,
,
2
2
)
) 2

1
2
 1
0
 1

 
   ，
 
再将
1
,
2
,
3
  单位化分别得到，
1
1
3
1
1
1
 
 
，
2
1
6
1
1
2  


  1 
1  
，  0 ，
3  
2
 
1
 
令正交矩阵Q(,,)，经正交变换
1 2 3
x  Q y 化二次型 f 为标准形 f  6 y 21 ．
（2） A 的特征值为 6 , 0 , 0 ，故 A  E 的特征值为 7 , 1 , 1 ，所以 A  E  7 ．
6.【答案】 f  y2  y2  y2  y2
1 2 3 4
【解析】设 A 的特征值为，则 2 2 3 0      ，所以 3   或 1    .又二次型的正惯
性指数为1，r(A)4，所以负惯性指数为 3 ，故 A 的特征值为 3 ,  1 ,  1 ,  1 ，所以该二次
型的规范形为 f  y 21  y 22  y 23  y 24 .
7.【答案】（1） f ( x
1
, x
2
, x
3
)  x T A x  2 x
1
x
2
 2 x
1
x
3
 2 x
2
x
3
；（2）略
【解析】（1）由二次型经正交变换化为标准形2y2  y2  y2 ，知A 的特征值为
1 2 3 1
2   ，
A
  1.所以 A =2(1)(1)2．A*的特征值为 ，即
2 3 
1 ,  2 ,  2 ．
因为  (1 , 1 ,  1 ) T  是齐次线性方程组(A*E)x 0的解向量，所以是A*的特征值1对
应的特征向量，是A 的特征值2对应的特征向量．
1
设  1对应的特征向量为x (x ,x ,x )T ，由于A 是实对称矩阵，故与 x 正
2 3 1 2 3交，即 x
1
 x
2
 x
3
 0 ．解得
2
 ( 1 ,  1 , 0 ) T ,
3
 ( 1 , 0 , 1 ) T  
 1 1 1
 
令P (,,) 1 1 0 ，则
2 3  
 
1 0 1
 
P  1 A P  Λ 
 2
0
0
0

0
1
0
0
 1

故 A  P Λ P  1 =
 1
1
 1
1

0
1
1
0
1
  2
0
0
0

0
1
0
0
 1
  1
1
 1
1

0
1
1
0
1

 1

 0
1
 1
1
0
 1


0
1
1

所以所求的二次型为 f ( x
1
, x
2
, x
3
)  x T A x  2 x
1
x
2
 2 x
1
x
3
 2 x
2
x
3
．
（2）由于A的特征值为2,1,1，故A2E 的特征值为4,1,1，全大于零，且A2E 是
对称矩阵，所以 A  2 E 是正定矩阵．
8.【答案】（1）证明略， A 的特征值为 1 ,  1 , 0 ；
（2）经正交变换 x 
 1
1
0
2
2

1
1
4
1
1
1
8
8
8

2
3
1
3
2
3

y ，化二次型为标准形： f  y 21  y 22 ；
（3） 1  
【解析】（1）证明：因为 T  ( T  T ) T  ( T ) T  ( T ) T  T  T        A A ，
所以A为实对称矩阵.
由ATT,ATT知：
(  )           A A A ，
(  )       (  )         A A A .
所以A有特征值
1
1   和
2
1    ，其特征向量分别为,.
又因为 r ( )  r ( T )  r ( T )  m i n  r ( ) , r ( T )   m i n  r ( ) , r ( T )   1  1  2       A ，
故A有特征值
3
0   ，所以A 的所有特征值为1,1,0.
（2）因为 A 是实对称矩阵，所以属于不同特征值的特征向量相互正交，1和 1
1 2
1
对应的特征向量分别为 (1,1,0)T,  (1,1,4)T .
1 2 3设
3
0   的特征向量为 (x ,x ,x )T ，因此：
3 1 2 3
 T1
T2
3
3


x
1
3
1

( 
x
x
2
1


0
x
,
2
 4 x
3
)  0 .


取
3
 ( 2 ,  2 , 1 ) T  ，将特征向量
1
,
2
,
3
  规范化，
 1   1   2 

     
2 18 3
     
 1   1   2
 1  
2
 , 2 = 
18
 , 3    3 ，
     
 0   4   1 
     
   18   3 
令正交矩阵Q(,,)，经正交变换x Qy，即：
1 2 3
 x
x
x
1
2
3


 1
1
0
2
2

1
1
4
1
1
1
8
8
8

2
3
1
3
2
3

 y
y
y
1
2
3

化二次型为标准形： f  y 21  y 22 .
（3）因为  A  E 仍为对称矩阵，且其特征值为1,1,，当且仅当AE 的特
征值全为正数时， A 正定，因此， 1   即可.
9.【答案】（1） P 


1
0
1
2
2
1
1
2
6
6
6


1
1
1
3
3
3
  5 1 1

 
3 3 3
 
 1 5 1
；（2）C  
 3 3 3
 
1 1 5
 
 
 3 3 3
【解析】（1）






E
(
(
(
(
(


 1
1






A
a
a
0
0
a
a
a
a
a






1
1
1
1
1


1
) [
) (
) [
) [
1
(
a

2
2
2
 1
a
1
 a
 2
 (
 (
1
1 
 a
 1
 1 ) (
a  a
2 a  1 )
a  1 
a
1
2


2
a


a
a



a
0

) 

2 a
2 )


(
2

1
1
]
a



a
(
a
2

a
 1
 a
1
 1 )
)
2 ]
 1 ) ( a 

1
1

a
1
2 )
a

]
1 2
 a

 
  
 


 


  
   
  
  
 1 ) 2 (  a  2 ) 
令E A 0，解得
1 2
a 1 ,
3
a 2        
( a  1 ) E  A 
 1
0
0
1
0
0

0
0
1 
，解得
1

 
1
0
1 
,
2

 1
0
1

 
( a  2 ) E  A 
 1
0
0
0
1
0
1
1
0

，解得
3

 

1
1
1


将,进行施密特正交化可得
1 2 1
1
0
1
,  
   1
(,) 1 
   2 1   1
2 2 (,) 1 2  
1 1  2 
 
将
1
,
2
,
3
 1   1   1 
 
     
2 6 3
     
 1   1   1 
  单位化，可得  ,  ,   ,
1   2   3  
2 6 3
     
 0   2   1 
     
   6   3 
 1 1 1 
 
 
2 6 3
  a1 0 0 
 1 1 1   
可得正交矩阵P   ，使PAP  Λ 0 a1 0
   
 2 6 3   0 0 a2 
 
 2 1 
0
 
 6 3 （2）因为 P  A P  Λ 可知， A  P Λ P 
C 2  ( a  3 ) E  A  P  ( a  3 ) E  Λ  P 
 P
 4
0
0
0
4
0
0
0
1

P   P
 2
0
0
0
2
0
0
0
1

P  P
 2
0
0
0
2
0
0
0
1

P 
因为C 为正定矩阵，所以
C  P
 2
0
0
0
2
0
0
0
1

P  


1
0
1
2
2
1
1
2
6
6
6


1
1
1
3
3
3

 2
0
0
0
2
0
0
0
1



1
0
1
2
2
1
1
2
6
6
6


1
1
1
3
3
3

T



5
3
1
3
1
3

5
3
1
3
1
3
1
3
1
3
5
3

．拓展提升
1.【答案】 f 3y2 6y2
1 2
【解析】二次型的矩阵 A 
 1
a
1
a

b
5
1
b
1
 2
 
，且 1 是A的特征向量，则有
 
 
2
 
1
a
1
a
b
5
1
b
1
2
1
2
1
2
1
2



  

 
即
a
2
b
a
4
4
2 b
2
2
1
5
1
,
,
1
,



 




  解得 a b 2 ,
1
3     .
由 r ( A )  2 ，知 A  0 ，于是
2
0   是 A 的特征值.
3 3
再由 a ，得
ii i
i1 i1
1 5 1 3 0
3
      ，即
3
6    是 A 的特征值.
因此，在正交变换下二次型的标准形： f  3 y 21  6 y 22 .
2.【答案】C
 0 1 1x 
1
  
【解析】 f (x ,x ,x ) 1 0 1 x
1 2 3   2
  
1 1 0 x
  
3
 1 1 +1 1 1 +1 1 1
AE = 1  1  1  1 = 0 2 2 =0，求出特征值
1 1  0 1  0 1 
1, 1, 2，由正交变换化二次型为标准形
1 2 3
f  y 21  y 22  2 y 23 ，
f ( x
1
, x
2
, x
3
)  1 空间直角坐标系下表示的二次曲面是单叶双曲面，故选（C）.
3.【答案】 f  3 y 21
【解析】由r(A)1知零特征值的重数为 2 ，又因为 A 中各行元素之和为3，所以
1 1
   
A 1 3 1 ，即它的特征值为3,0,0，则 f 在正交变换x Qy下的标准形为
   
   
1 1
   f  3 y 21 ．
4.【答案】[2,2]
【解析】
f(x ,x ,x ) x2 x2 2ax x 4x x (x ax )2 (x 2x )2 (4a2)x 2 ，
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 3 2 3 3
由于二次型的负惯性指数为 1 ，故 4  a 2  0 ，故  2  a  2 .
5.【答案】C
【解析】（A）是充分但不必要条件，因为P 是正交矩阵，那么 P  1 A P  P T A P  E ，表
明A的特征值全是1，所以 A 正定，但 A 正定特征值不一定全是 1 ；
（B）是必要条件，并不充分，因为xTAx正定的充要条件是正惯性指数 p  n，此时负
惯性指数 q  0 ，反之当 q  0 时不一定有 p  n ，例如 f ( x
1
, x
2
, x
3
)  x 21  2 x 22 ；
（D）存在 n 阶矩阵 C ，使ACTC， C 是否可逆不清楚，若 C 不可逆则
A  C T C  C 2  0 ，矩阵A不可能正定，故答案选（C）.
对于（C）的证明：若 A 与 E 合同，则对二次型xTAx存在坐标变换 x  C y 使
x T A x  y T E y  y 21  y 22   y 2n ，那么对于  x  0 ，由 C 可逆必有 y 0，因此恒有
x T A x  y T y  0 ，所以二次型 x T A x 正定.
6.【答案】A
【解析】因为 A 是可逆的实对称矩阵，则(A1)T (AT)1  A1，即 A  1 也是实对称矩
阵，而 A 与 A  1 的特征值是互为倒数的关系，故二次型xTAx与xTA1x有相同的规范
形，标准形未必相同，故选（A）.
7.【答案】 m
【解析】 f 
n
i
1
( x
1
, x
2
, x
n
)
 a
a
a
i1
i2
in

( a
i1
, a
i2
, a
in
)
 x
x
x
1
2
n
 ( x
1
, x
2
, x
n
) 
n
i
1
 a
a
a
i1
i2
in

( a
i1
, a
i2
, a
in
)
 x
x
x
1
2
n

 ( x
1
, x
2
, x
n
) ( A T A )
 x
x
x
1
2
n

，
即 f 的矩阵为ATA，而r(AA)r(A)，所以二次型 f 的秩为 m .
8.【答案】略
【解析】
（1）令 B  (
1
,
2
,
3
)    ，则 A ξ
1
 0 ξ
1
, A ξ
2
 0 ξ
2
， A 有特征值
1 ,2
0  = .用特征值性质
3
i 1
i
3
i 1
a
ii
2  

 

 ，解出2.设2对应的特征向量x=(x ,x ,x )T，则
1 2 3
 ξ
ξ
1
2
T
T
x
x


0
0

 x

1
x

1
x

2
x

2
x

3
0
 0
求出其基础解系 x  ( x
1
, x
2
,x
3
) T ，
令
1
 1
1

1
3
 1
1
1

,
2
 2
2

1
2
 
1
0
1 
,
3
 
1
6


1
1
2

  
ξ
ξ
ξ
ξ
x
x
，
= (
1
,
2
,
3
)    Q ，可得 Q T A Q  
 0
0
2

. 
作正交变换 x = Q y ，即
 x
x
x
1
2
3


 1
1
1
3
3
3

1
0
1
2
2

1
1
6
6
2
6

 y
y
y
1
2
3

，得二次型的标准形为
f ( x
1
, x
2
, x
3
)  T  T T  T  2 y 23  x A x y Q A Q y y y .
（2） f ( x
1
, x
2
, x
3
)  1 即 2 y 23  1 , y
3
 
1
2
，代表两个平面. 1 1 1   1 1 1 

   
3 2 6 3 3 3
 0  
 1 1 1   1 1 
（3）二次型矩阵A=QQT=
 
0

 0

3 2 6 2 2
  2  
 
 1 2   1 1 2 
0  
   
 3 6   6 6 6 
 1 1 2

 
3 3 3
 
 1 1 2
 
 3 3 3
 
2 2 4
  
 
 3 3 3 
1 1 4 2 4 4
所以 f(x ,x ,x ) x2  x2  x2  x x  x x  x x .
1 2 3 3 1 3 2 3 3 3 1 2 3 1 3 3 2 3
9.【答案】（1） a  1 ；
（2）
1 2
3     ，特征向量为 c
1
 1

0
1

 c
2
 1
0
 1

， c
1
, c
2
不全为零；
3
0   ，特征向量为 c
3
 1
1
1

， c
3
不为零；
（3）方程的解为 x  k (1 , 1 , 1 ) T ， k 为任意常数
3 3
【解析】 f(x ,x ,x )3ax2 (x )2
1 2 3 i i
i1 i1
3a(x2 x2 x2)(x x x )2
1 2 3 1 2 3
 ( 3 a  1 ) ( x 21  x 22  x 23 )  ( 2 x
1
x
2
 2 x
1
x
3
 2 x
2
x
3
)
所以二次型矩阵为 A 
 3 a



1
1
1
3

a

1

1
1
3


a
1
1
 1

．
（1） 此二次型的正负惯性指数之和小于3，因此A必有零特征值，所以 A  0；
3a1 1 1
即 1 3a1 1 =33a2(a1)0
1 1 3a1所以a1．
（2）此时， A 
 2


1
1

2

1
1


2
1
1

，因此
2
1
1
2
1
1 2
1
1 ( 3 ) 2 0

   

A  E 









    ，
解得
1 2
3 ,
3
0       ．
3  
1 1 1
 
时，A3E  0 0 0 ，得
 
 
0 0 0  
1

 1

0
1

,
2

 1
0
 1

  ，
其对应的所有特征向量为 c
1 1
+ c
2 2
  ， c
1
, c
2
不全为零．
3
0   对应的特征向量与,正交，因此可取
1 2 3

 1
1
1

 ，则 c
3 3
（ c
3
不为零）为 0 对应
的所有特征向量．
（3）对向量
1
,
2
 进行施密特正交化并单位化，得向量 e
1
, e
2
；
对向量
3

 1
1
1

 进行单位化，得向量 e
3

 1
3
,
1
3
,
1
3

T
，
构造正交矩阵P (e ,e ,e )，则有
1 2 3
P T A P 
 3
0
0
0
3
0
0
0
0

．
令 x  P y ，其中x (x ,x ,x )T， y (y ,y ,y )T，则有
1 2 3 1 2 3
f ( x )  f ( P y )  y T P T A P y  3 ( y 21  y 22 )  0 ，
所以y  y 0；
1 2
 0  1
  y  
因此x  Py (e ,e ,e ) 0  y e  3 1 ，
1 2 3   3 3  
3
   
y 1
   
3
方程的解为xk(1,1,1)T，k为任意常数． 1 1
0 
 
2 2
 
10.【答案】（1）A  0 1 0 ；（2）略
 1 1 
 0 
 2 2 
【解析】（1）由于二次型 f 在正交变换x Qy下的标准形为 y 21  y 22 ，所以 A 的特征值为
1 2
1 ,
3
0       ，且Q 的第三列
3
 (
2
2
, 0 ,
2
2
) T  为 A 的对应于
3
0   的特征向量．
设 A 的对应于
1 2
1     的特征向量为  ( x
1
, x
2
, x
3
) T  ，由实对称矩阵对应于不同特征值
的特征向量相互正交，有 T
3
 0  ，亦即 x
1
 x
3
 0 ，解得A的对应于
1 2
1     的特
征向量为
1
 ( 0 , 1 , 0 ) T ,
2
 (  1 , 0 , 1 ) T   ，
由于,是相互正交的，只需单位化：
1 2 2
 2
2

1
2
(  1 , 0 , 1 ) T

 ，

 1 1 
0 
 
2 2
 
令正交矩阵Q ,,1 0 0 ，则
1 2 3
 
1 1
0 
 2 2 
Q T A Q  
 1
1
0

 ，
 1 1
0 
 
2 2
 
于是AQQT   0 1 0 ．
 1 1 
 0 
 2 2 
（2）首先AE 是实对称矩阵，因为A的特征值为1,1,0，所以AE 的特征值为 2 , 2 , 1
即AE 的特征值全大于零，故AE 是正定矩阵．
 1 1 1 

 
3 2 6
   0 1 1
 1 1 1   
11.【答案】（1） ；（2）

1 0 1

3 2 6
   1 1 0 
 
 1 2 
 0
 
 3 6 【解析】（1）A的特征值为
1
2 ,
2 3
1 , 2 .        A  又已知A，则
A A   A  ，即 A  A  ，所以 A  2  ， A 的特征值 2   对应的特征向量为.
设
2 3
1      对应的特征向量为 x  ( x
1
, x
2
, x
3
) T ，则 T x  0  即 x
1
 x
2
 x
3
 0 , 求出其
基础解系为：
ξ
1

 
1
0
1 
, ξ
2

 1
0
1

，通过施密特正交化
令
1

1
 ξ ，
2

2

(
(
2
1
,
,
1
1
)
) 1

1
2
 1
1
2


 
 
ξ
ξ
单位化得：
1

1
3
 1
1
 1

,
2

1
2
 
1
0
1 
,
3

1
6
 1
1
2

   .
设Q(, ,)，则
1 2 3
Q T A Q = =
 2
 1
 1

 ， 设 x  Q y ，其中
Q =


1
1
3
3
1
3

1
0
1
2
2
1
1
2
6
6
6

，
则 f ( x
1
, x
2
, x
3
)  x T A x  y T y  2 y 21  y 22  y 23  ，
 0 1 1
 
（2）AQQT  1 0 1 .
 
 
1 1 0
 
12.【答案】（1）略；（2） k  1
a a a 1 1
11 12 13
    
【解析】（1）因为A的各行元素之和均为2，即 a a a 1 2 1 ，所以
 21 22 23   
    
a a a 1 1
    
31 32 332   是 A
1
 
的特征值， 1 是
 
 
1
 
A 的对应于 2   的特征向量.又由 A B  B  O ，
A B   B ， B  0 , r ( B )  2 知
 1
0
 1
  0 
 
与 1 是
 
 
1
 
A 的对应于 1    的特征向量，即
1
2 ,
2 3
1        ，
1

 1
1
1

,
2

 1
0
 1

,
3

 0
1
 1

   .
因为
2
,
3
 不正交，将其正交化，
1

2

 1
0
 1

,
2

3

(
(
3
1
,
,
1
1
)
) 1

1
2
 
2

1
1

 
     ，
 
再单位化
e
1

1
3
 1
1
1

, e
2

1
2
 1
0
 1

, e
3

1
6
 
2

1
1

，取 Q  ( e
1
, e
2
, e
3
) 
 1
1
1
3
3
3

1
0
2
1
2


2
1
6
1
6
6

f  x T A x
x  Q y
y T Q T A Q y  y T y  2 y 21  y 22  y 23  .
（2） A 的特征值为 2 ,  1 ,  1 ，所以 A  k E 的特征值为 k  2 , k  1 , k  1 ，要使 A  k E 正
定充要条件为 k  2  0 , k  1  0 , k  1  0 ，即k 1.