(276)--第五章《特征值与特征向量》习题册解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

第五章 特征值与特征向量
巩固练习
题型08 特征值与特征向量
1.【答案】 0 ， n  r ( A )
【解析】 r ( A )  n ，所以矩阵 A 不满秩，即 A 
1 2 n
 0   ，故必存在特征值为 0 ；
特征值 0 的重数大于等于属于0的线性无关特征向量的个数. 而属于特征值 0 的线性无关
特征向量的个数等于 ( 0 E  A ) x  0 的基础解系中解向量的个数，易知解向量的个数为
n  r ( A ) ，所以特征值0的重数至少是 n  r ( A ) .
2.【答案】
A 2 
2
2 

【解析】设为 A 的特征值对应的特征向量，所以  A   .
设 为
M
( A * ) 2  E 的特征值，则[(A*)2 E](A*)2，等式两边同时左乘
M
A2
可得：
2 ( * ) 2 2
M
M
2
2
2
2
2
2
M
2      

A A  A

 A

A


A      



其中（ A 2 ( A * ) 2  A A A * A *  A A E A *  A A A *  A A E  A 2 E ）
3.【答案】  4
【解析】由  2 是A的特征值，故
2 2 2
2EA  2 2x 2 12(x4)0
2 2 8
解得：x4.
4.【答案】 4
 7 4 1 1   1 
    
【解析】由题意A，代入 4 7 1 1  1 ，所以
    
    
4 4 x 1 1
     7


4
4


4
1


x     1 2

，解得

x  4 .
5.【答案】
 1
1
1

或 k
 1
1
1

，k 0
【解析】由于 A 各行元素之和都是 5 ，则 A
 1
1
1

 5
 1
1
1

，则 A 必有特征值 5 ，对应的特征
向量为
 1
1
1

.
6.【答案】 x  0 , y  1
【解析】因为 A ~ B ，所以

r
A
( A

) 
B
r ( B )


t
A
r (

A )
B
 t r ( B )

 
2
2


0


2
x
y
 2  y  1

 x
y


0
1
 
7.【答案】
|
0
|
2
2
0
1 

 A 
 
【解析】由
0
  A   ，得 *
0
  A 
A
，于是

[ ( * ) 2 2 ]
0
2
2
0
1   A  A  E 

 A 
 

 ，故

( A * ) 2  2 A  E 的特征值为
|
0
|
2
2
0
1 

 A 
  .
8.【答案】25
1 1
【解析】 A*  ，因为 A*  A 3 ，所以 A  ，于是
8 2
A
1 1
的特征值为 , ,1,2.
2 2
因为A~ B ，所以B 的特征值为
1
2
, 
1
2
,  1 ,  2 ，B1 的特征值为 2 ,  2 ,  1 , 
1
2
，于是
5
B13E 的特征值为5,1,2, ，故 B13E 25.
29.【答案】 1  2 n
【解析】方法一：因为 r ( A )  1 ，所以 0，因为
1 2 1

2

3
 t r ( A )  2    ，所以
3
2   ，于是 E  A n 的特征值为 1 , 1 , 1  2 n ，故 E  A n  1  2 n .
方法二： A n  2 n  1 A  2 n  1
 1
0
 1

 1 0  1   2 n  1
 1
0
 1
0
0
0

0
1
1 
E  A n 
 1 
2
2
0
n 
n
1
 1 0
1
0 1
2

n
0
2
 1
n  1

所以 E  A n  1  2 n .
10.【答案】（1）
1
a
；（2） a b
1 1
   
1 1
   
【解析】（1）因为A a ，所以
   
   
1 1
a 为A矩阵的特征值，又因为 A 可逆，所以
1 1
   
1 1 1
a0，于是有A1     ，即
  a 
   
1 1
A  1 的每行元素之和为
1
a
.
（2）因为 A
 1
1
1

 a
 1
1
1
 1 1 1 1 1 1
           
1 1 1 1 1 1
           
，B b ，所以AB  Ab bA ab ，于
           
           
1 1 1 1 1 1
是AB的每行元素之和为ab.
11.【答案】1， 3， 4
1 2 3
【解析】令 (
1
,
2
,
3
)    P  ，因为
1
,
2
,
3
  线性无关，所以P 可逆，由
AP  A(,,)(A,A,A)( 2,2 ,  4)
1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 2 3
1 2 1 1 2 1
   
(,,) 2 1 1  P 2 1 1
1 2 3    
   
0 0 4 0 0 4
   得 P  1 A P 
 1
2
0
2
1
0
1
1
4

，即 A ~
 1
2
0
2
1
0
1
1
4

，于是
E  A  

2
0
1  2

0
1



1
1
4
 (  1 ) (  3 ) (  4 )  0

     ，

故 A 的特征值为1，
1 2
 3  ，
3
 4  .
12.【答案】请参照解析
【解析】因为 A 
 2
2
2
2
2
2
2
2
2


 1
0
0
0
1
0
0
0
1

 B  E ，而 r ( B )  1 ，则有
E  B  3  6 2    . 所以矩阵 B 的特征值是 6 ， 0 ， 0 .
故矩阵 A 的特征值是 5 ，  1 ，  1 . 又行列式 A  5 ，因此 A  的特征值是 1 ，  5 ，
 5 .
矩阵 B 属于  6  的特征向量是
1
( 1 , 1 , 1 ) T   ，属于  0  的特征向量是
2
( 1 , 1 , 0 ) T    和
3
( 1 , 0 , 1 ) T    . 因此 A  属于1的特征向量是k(k 0)，属于
1 1 1
  5  的特征向量是
k
2 2
k
3 3
   （ k
2
， k
3
不全为 0 ）.
13.【答案】 P 
 
1
0
2 0
0
1

1
3
5 
，
1
1
2
 



【解析】由特征多项式
E  A  


1
3
4 1

0

x
3
0
0
 1
 (  1 ) 2 (  2 )

    ，

知矩阵 A 的特征值为
1

2
 1   ，
3
  2  .
因为矩阵A可以相似对角化，故 r ( E  A )  1 . 而
 5 10 0 1 2 0
   
EA 1 2 0  0 6x 0 ，
   
   
3 x 0 0 0 0所以x6.
当  1  时，由 ( E  A ) x  0 得基础解系 (2,1,0)T，
1 2
( 0 , 0 , 1 ) T   .
当   2  时，由 (  2 E  A ) x  0 得基础解系
3
( 5 , 1 , 3 ) T    .
2 0 5
 
那么，令P (,,) 1 0 1 ，得
1 2 3  
 
 0 1 3 
P  1 A P 
 1
1
 2

.
14.【答案】请参照解析
1 3 3
【解析】由EA  3 5 3 (2)2(4)0，得
6 6 4
1

2
  2   ，
3
 4  .
当
1 2
2      时，由(2EA)x 0，即 ( 2 E  A ) x  0 ，得 2    对应的线性
1
 
无关的特征向量为  1 ，
1  
 
0
 
2
0
1
1
 
  
；
当
3
4   时，由 ( 4 E  A ) x  0 ，得 4   对应的线性无关的特征向量为
3
1
1
2
 
 
.
15.【答案】
 a
b
c




2

2
1
3
，

  1 
【解析】显然
1
1
1  
 


也是矩阵A的特征向量，令A，即

1
a
5
 c

b
0
1

c
3
a
  

1
1
1


 

1
1
1

 ，于是有
 c

c

b

a

a

2

1

1




,
,
,  1,

 解得b3,

 a c.

a 1 a
A
由 A  5 3 3 a31，得ac2，且 1.

1a 0 a于是
 a
b
c




2

2
1
3
，

  1 
16.【答案】

2
2
2



2
2
n 2
n  1
n  2



3
3
3
n
n
n


1
2

【解析】令 x
1 1
x
2 2
x
3 3
      b ，由
1 1 1 2  1 1 1 2  1 1 1 2 
     
A(,,,b) 1 2 3 1  0 1 2 1  0 1 2 1
1 2 3      
     
1 4 9 3 0 3 8 5 0 0 2 2
     
1 1 1 2  1 1 0 3  1 0 0 2 
     
 0 1 2 1  0 1 0 1  0 1 0 1
     
     
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
     
得 x
1
 2 ，x 1，
2
x
3
  1 ，即 2
1 2 3
   b    .
因为
1 1
  A  ，
2
2
2
  A  ，
3
3
3
  A  ，所以 n
1 1
  A  ， n
2
2 n
2
  A  ，
An 3n，于是
3 3
2 1 1  22n 3n 
       
Anb2An 1  An 2 An 3   2  2n  2  3n  3    22n13n1 .
 2   4   9  22n2 3n2
       
17.【答案】 4
1
6
2
4
3
     
【解析】由 P  1 A P 
 
0
0
1

0
0
2
0
0
2

，得 A
1
 
1
 ， A
2
  2
2
 ，
3
2
3
  A 
A (1)(2)24，A* 的特征值为
1

4
 1
  4  ，
2


4
2
  2  ，
4
  2，由
3 2
*
1
4
1
  A   ， *
2
2
2
  A   ，A* 2得，
3 3
* (
1
3
2
2
3
) 4
1
6
2
4
3
      A       .题型09 相似矩阵与相似对角化
1.【答案】D
【解析】若 r ( A )  r ( B ) ， A , B 不一定是方阵，若 A , B 是方阵，特征值也不一定相同，
所以推不出 A ~ B ，（A）不选；
0 1 1
 
取A 0 0 1 ，
 
 
0 0 0
 
B 
 0
0
0
0
0
0
1
0
0

，显然 A , B 特征值都是零，因为 r ( A )  r ( B ) ，所
以 A 与B 不相似，（B）不对，同样（C）不对.
对于（D）若 A 与 B 相似，则 A , B 特征值相同，不妨设为
1
,
2
, ,
n
 ，且存在可逆阵
P ，使得P1AP  B. 因为A可对角化，所以存在可逆阵P ，使得
1 1 1 2
2
1
2
1
2
n



P  A P 
 
，即
2
1
2
n
2
1



A  P
 
P  ，于是
(
2
1
1
) 1
1
2
n
2
1
1



P  P 
 
P  P  B ，即 B 与对角阵相似，于是 B 一定可以对角化，
选（D）.
2.【答案】C
【解析】因为
1
,
2
  为特征值
1 2
1      对应的线性无关的特征向量，所以 2
1
，
1
4
2
   也是特征值
1 2
1      对应的线性无关的特征向量，
3
 是特征值
3
2   的特征
向量，则 3
3
  也是特征值
3
2  
1 0 0
 
的特征向量，于是P1AP  0 1 0 ，选（C）.
 
 
0 0 2
 
3.【答案】请参考解析
【解析】由特征多项式E  A 

2
0
1  2

0
3

0

1
2
 (  2 ) (  1 ) 2

    ，

得到矩阵 A 的特征值
1
 2  ，
2

3
  1   .
当
1
 2  时，由 ( 2 E  A ) x  0 得基础解系
1
( 5 , 2 , 9 ) T    ，即  2  的特征向量是
k
1 1
( k
1
0 )   .
当
2

3
  1   时，由 (  E  A ) x  0 得基础解系
2
 (  1 , 1 , 0 ) T  ，即   1  的特征向量
是k(k 0).
2 2 2
因为
2

3
  1   仅有一个线性无关的特征向量，所以 A 不能相似对角化.
4.【答案】请参照解析
【解析】由 E  A 

7
6
3 

1

6
5
1
1
 2
 (  2 ) 2 (  4 )  0

    得，

1

2
  2   ，
3
 4  .
当
1 2
2      时，由 (  2 E  A ) x  0 ，即 ( 2 E  A ) x  0 ，得
1
1
1
0
 
 
；对应的特征向
量为 k
1 1
, ( k
1
 0 ) 
当 4时，由
3
( 4 E  A ) x  0 ，得
2
0
1
1
 
 
.对应的特征向量为k,(k 0)
2 2 2
因为 A 的特征值 2仅有一个线性无关的特征向量，所以A不可以相似对角化.
1 2
5.【答案】略
【解析】（1）因为,为正交的单位非零向量，所以0，0.
由         A               ，得为矩阵 A 的属于特征值1的
1
特征向量；
由A()，得为矩阵A的属于特征值
1的特征向量.
1（2）因为 r ( ) r ( T T ) r ( T ) r ( T ) r ( ) r ( ) 1 1 2       A            ，所以
A 0，于是 0. 因为
3
A 的特征值都是单值，所以 A 可对角化.
6.【答案】请参照解析
【解析】（1）由 E  A  


2
2
1 

2

2
1


2
2
 1
 (  1 ) 2 (  5 )  0

    ，得

A 的特征值为
1

2
  1   ，
3
 5  .
（2）当1时，由 (  E  A ) x  0 即 ( E  A ) x  0 ，得1的线性无关的特征向
1
 
量为  1 ，
1  
 
0
 
2
0
1
1
 
  
.
当5时，由 ( 5 E  A ) x  0 ，得 5   对应的线性无关的特征向量为
3
1
1
1
 
 
.
（3）由   A

 

，   A

 

，   A

 

得        Α

 A

 Α

   

 

 

 ，而
ΑΑΑ Α，      
     
 

 

 

  






 


 







令 (
1
,
2
,
3
)    P  ，因为
1
,
2
,
3
1 0 0
 
  线性无关，所以P 可逆，由AP  P 0 1 0 两边
 
 
0 0 5
 
左乘P1 ，得 P  1 A P 
 
0
0
1 0

0
1
0
0
5

.
7.【答案】请参照解析
 1 1
【解析】（1）由EA  0  1 2(1)0，得A的特征值为
0 0 1
 0， 1.
1 2 3
（2）当0时，由(0EA)x 0，即Ax0，得0对应的线性无关特征向量为1
1
0
0
 
 
.
当 1   时，由(EA)x 0，得 1   对应的线性无关特征向量为
2
2
1
1
 
 
，由于 0  
为二重特征值，但其对应的线性无关的特征向量只有一个，故 A 不能进行对角化.
8.【答案】



1
2
2 
0
2
2
0
0
3

【解析】令 (
1
,
2
,
3
)
1
2
3
0
1
2
0
0
1
   P  
 
，因为
i
i
i
( i 1 , 2 , 3 )   A   ，所以
1 0 0
 
AP  P 0 2 0 ，
 
 
0 0 3
 
P  1 


1
1
2

0
1
2
0
0
1

于是 A  P
 1
0
0
0
2
0
0
0
3

P  1 



1
2
2 
0
2
2
0
0
3

.
9.【答案】（1）略；（2）1，
1 2

3
 1   ，A不可对角化
【解析】（1）令 k
1 1
k
2 2
k
3 3
      0 （*），两边左乘A得
k Ak A k A 0，整理得
1 1 2 2 3 3
k
1 1
( k
2
k
3
)
2
k
3 3
        0 （**），两式相减得
2 k
1 1
k
3 2
    0 ，因为，所以,线性无关，所以k k 0，代入（*）得
1 2 1 2 1 3
k 0，因为
2 2 2
  0 ，所以 k
2
 0 ，于是,,线性无关.
1 2 3
（2）令P (,,)，由
1 2 3
(
1
,
2
,
3
) (
1
,
2
,
2 3
) 0
0
1 0
1
0
0
1
1
       A P  A A A     P
  得 P  1 A P 
 
0
0
1 0
1
0
0
1
1

，即 A ~
 
0
0
1 0
1
0
0
1
1

 B ，所以 A 的特征值为
1
  1  ，
2

3
 1   . 因为 r ( E  B )  2 ，所以 B 不可对角化，故 A 也不可对角化.
10.【答案】 a   3 ， P 
 1
1
0
1
0
1
1

0
3

， P  1 A P  
 3
3
 1


【解析】由特征多项式
E A
0
3
2
0
1 1
3
( 3 )
3
2 1
( 1 ) ( 3 ) 2


    


  
  
 a

 

 
  
得到矩阵 A 的特征值： 3 , 3 ,  1 .
因为矩阵A的特征值有重根，而A又与对角矩阵相似，故  3  必有2个线性无关的特征
向量，那么秩 r ( 3 E  A )  1 .
3 E  A 
 1

0
3

3
0
1 

0
1
a


 1
0
0

0
0
1


a
0
1
 3

，所以a3.
对3解齐次线性方程组 ( 3 E  A ) x  0
3 E  A 
 1

0
3

3
0
1 
3
0
1 

 1
0
0

0
0
1 
0
0
1 
得基础解系 (1,1,0)T，
1 2
 (1 , 0 , 1 ) T  ，
对1，解齐次线性方程组 (  E  A ) x  0
3 1 1 3 1 0
   
EA 3 1 3  0 0 1 ，得基础解系：
   
   
 0 0 4 0 0 0
3
 ( 1 ,  3 , 0 ) T 
1 1 1  3 
   
令P (,,) 1 0 3 ，得P1AP  3
1 2 3    
   
0 1 0   111.【答案】（1） 1 , 2 ；（2） P  (  2
1

2
, 
1

2
)     ， P  1 A P 
 1
2

【解析】（1）按已知条件，有 A (
1
,
2
)  (
2
,  2
1
 3
2
)  (
1
,
2
)
 0
1

3
2 
      
记P (,)是可逆矩阵，
1 1 2
B 
 0
1

3
2 
，有 A P
1
 P
1
B 即有 P
1
 1 A P
1
 B 即 A ~ B ，
由
1
2
3
2 3 2 ( 1 ) ( 2 )

    

E  B 
 
      知矩阵 B 的特征值是：1,2. 从而
矩阵 A 的特征值是： 1 , 2 .
（2）对矩阵 B ，由 ( E  B ) x  0 得矩阵 B 关于特征值1的特征向量
1
 (  2 , 1 ) T  ；
由(2EB)x 0得矩阵B 关于特征值 2   的特征向量
2
 (  1 , 1 ) T 
那么，矩阵 A 关于特征值1和 2   的特征向量分别是
P
1 1
 (
1
,
2
)
 
1
2 
  2
1

2
     ， P
1 2
 (
1
,
2
)
 
1
1 
 
1

2
    
故令 P  (  2
1

2
, 
1

2
)     ，有 P  1 A P 
 1
2

.
12.【答案】 a  7 ， b   2
11 5
，P   
2 0 2 
【解析】由 A ~ B 知
 1


5
3


a
6


6
b
b
，解得 a  7 ， b   2
又 E A
2
1 4
3
2 4 5 ( 5 ) ( 1 )

    

 

 

      ，矩阵 A 的特征值为：5,1.
由 ( 5 E  A ) x  0 ，得基础解系
1
 (1 , 1 ) T  ；
由 (  E  A ) x  0 ，得基础解系 (2,1)T.
2
令 P
1
 (
1
,
2
) 
 1
1

1
2  5 
  得P1AP  Λ  ，
1 1  1
类似地，由 ( 5 E  B ) x  0 ，得基础解系
1
 (  7 , 1 ) T 
由(EB)x 0，得基础解系 (1,1)T ，
27 1
令P (,)  ，得
2 1 2  1 1 
P 2 1 B P
2
 Λ 
 5
 1

由P1AP  P1BP  P P1APP1 B
1 1 2 2 2 1 1 2
1
1 27 1 11 5
令P  PP1       ，有
1 2 1 1  1 1  2 0 2 
P  1 A P  B .
13.【答案】 Q 


2
0
1
5
5


3
3
3
5
4
2
5
5
5
2
3
1
3
2
3

, Q  1 A Q 
  3
0
0

0
3
0
0
0
6

【解析】 2
4
1 2
2
2
4
2
1
( 3 ) 2 ( 6 ) 0

   

E  A  

 





   
所以 A 的特征值为
1 2
3      ，
3
6   .
对于
1 2
3      ，解齐次线性方程组 (  3 E  A ) x  0 ，得其基础解系 (1,2,0)T，
1
 (1,0,1)T. 把
2 1
,
2
 正交化，得
1

1
 (  1 , 2 , 0 ) T  
2

2

T2T1
1
1
1
 (  1 , 0 , 1 ) T 
1
5
(  1 , 2 , 0 ) T 


4
5
, 
2
5
, 1
 T 
  
 
对于
3
6   ，解齐次线性方程组 ( 6 E  A ) x  0 ，得其基础解系 (2,1,2)T.
3
将
1
,
2
,
3
  单位化，即
1
 1




1
5
,
2
5
, 0

T

 ，
 2
 
2



3
4
5
, 
3
2
5
,
3
5
5

T

 ，

3
 3
3

 2
3
,
1
3
,
2
3

T


令矩阵 Q  (
1
,
2
,
3
) 


2
0
1
5
5


3
3
3
5
4
2
5
5
5
2
3
1
3
2
3

   ， Λ 
  3
0
0

0
3
0
0
0
6

，则 Q 为所求的正交
矩阵，且 Q  1 A Q  Λ .
14.【答案】（1） a   2 ；（2） P 


1
1
2
1
1
1

0
1
1 
, P  1 A P 
 
0
0
3 0
0
0
0
0
3

；
（3） Q 


1
1
6
2
6
6
1
1
1
3
3
3

0
1
1
2
2

, Q T A Q 
 
0
0
3 0
0
0
0
0
3

.
【解析】（1）因为 A x 
1 1 a
有解但不唯一，所以 A  1 a 1 (a2)(a1)2 0，于
a 1 1
是 a   2 或 a  1 .
当 a  1
1 1 1 1  1 1 1 1
   
时，A 1 1 1 1  0 0 0 1 ，因为r(A)r(A)，所以方程组
   
   
1 1 1 2 0 0 0 0
   
无解，于是 a   2 .
（2）由 | |
2
1
1 1
1
2
2
1
1
( 3 ) ( 3 ) 0

   

E  A  
 




    ，得
3， 0， 3.
1 2 3
当3时，由
1
(  3 E  A ) x  0 ，即 ( 3 E  A ) x  0
 1 
 
，得  2 ；
1  
 
1
 当
2
0   时，由 ( 0 E  A ) x  0 ，即 A x  0 ，得
2

 1
1
1

 ；
当
3
3   时，由(3EA)x 0，得
3

 
0
1
1 
 .
令 P  (
1
,
2
,
3
) 


1
1
2
1
1
1

0
1
1 
   ，则 P  1 A P 
 
0
0
3 0
0
0
0
0
3

.
（3）令
1

1
6


1
1
2

 ，
2

1
3
 1
1
1

 ，
3

1
2
 
0
1
1 
 ， Q 


1
1
6
2
6
6
1
1
1
3
3
3

0
1
1
2
2

，则
Q T A Q 
 
0
0
3 0
0
0
0
0
3

.
1 1 13 2 5 
    1 
15.【答案】（1） 0 或k k 0 ,(k 0)；（2）A 2 10 2
  3 3 3  3 6  
     
1 1 5 2 13
     
【解析】（1）令
3
3   对应的特征向量为
3

 x
x
x
1
2
3

 ，因为实对称矩阵不同特征值对应的
T 0 x x x 0,
1 3 1 2 3 特征向量正交，所以 即 于是矩阵
 
2
T
3
0  x
1
2x
2
x
3
0,
A 的对应于
3
3   的线性
1
 
无关的特征向量为  0 ，所有特征向量为k,(k 0)
3   3 3 3
 
1
 
1 1 1 2 2 2 
  1 
（2）令P (,,) 1 2 0 ，P1  1 2 1 ，由
1 2 3   6  
   
1 1 1 3 0 3
   P  1 A P 
 1
0
0
0
2
0
0
0
3

，得 A  P
 1
0
0
0
2
0
0
0
3

P  1 
1
6
 1

3
2
5

1
2
0
2 1
5
2
3

.综合测试
1.【答案】C
【解析】 A  3 a  2 , A *  λ  ，又由 A A *  A E ，有 A A *  A  λ A   ，可得
( 3 a  2 )
 1
b
1

 λ
 2
1
1
1
2
1
1
1
a
  1
b
1

，即
 3
(
3
a
3
a
a



2
2
2

)

b
λ
λ
(

(
3
1

λ (

b
2
a
)


,
2
b
b
)
)
.
,
又3a20,λ0，故可解得
 a
b
λ



2
1
1
或
 a
b
λ



2

4
2 (由 b  0 ，舍去)
故选（C）.
2.【答案】B
【解析】根据特征值的性质， A 的特征值 λ 的重数必然大于等于属于λ的线性无关的特征
向量的个数.现在 A 是3阶矩阵， r ( A )  1 ，故 r ( 0 E  A )  1 ，那么 ( 0 E  A ) x  0 有两
个线性无关的解向量，则A中属于特征值 λ  0 的线性无关的特征向量有2个，故λ0至
少是二重特征值，也可能是三重特征值，故答案选（B）.
3.【答案】D
【解析】由题设T1，知0,0，由于 A  ( T )  ( T )      ，因此
λ
1
= 1 是矩阵A的特征值，是对应的特征向量.
由于 , 均为非零列向量，则有AO，故 r ( A )  1 ，另一方面，
r(A)r(T)r()1，因此r(A)1，从而方程组 A x  0 的基础解系由两个线性无
关的解向量构成，于是λ = λ =0是矩阵A的二重特征值，所以矩阵A的特征值为
2 3
1 , 0 , 0 ，因此A2  AE的特征值为3,1,1，故 A2 AE 3113，答案选（D）.
4.【答案】（1）λ 1,λ 1,λ 2；
1 2 3
（2）A的对应于特征值1的全部特征向量为2k3k Ak A2 (k 为任意非零常
1 1 1 1
数)；A 的对应于特征值 1 的全部特征向量为  2 k
2
 k
2
A  k
2
A 2    (k 为任意非零常数)；
2
A 的对应于特征值 2 的全部特征向量为kk A2 (k 为任意非零常数)
3 3 3
【解析】（1）令 P  ( , A , A 2 )    ，由于 , A , A 2   线性无关，因此 P 可逆，由于
A 3  2 A 2  A  2  0     ，即 A 3 = 2 A 2  A  2    ，因此
A P  A ( , A , A 2 )  ( A , A 2 , A 3 )  ( A , A 2 , 2 A 2 + A  2 )           
0 0 2
 
=(,A,A2) 1 0 1  PB，
 
 
0 1 2
 
其中 B 
 0
1
0
0
0
1

1
2
2 
，即A= PBP1 ，因此A B ，于是A的特征多项式为
f

A
( λ
λ
 1
0
) 
0
λ

f
1
B
( λ
2
λ
) 

0

λ
2
λ E


λ

0
B
1
=


λ
1
1
λ

0
1
λ
0
λ
 1
0
0
 2
=
λ
(
2
 1

λ 
2
1 ) ( λ  1 ) ( λ  2 )
因此得 A 的特征值为 λ
1
  1 , λ
2
 1 , λ
3
 2 .
（2）若 λ 是 B 的一个特征值， ξ 是相应的特征向量，则
A ( P ξ )  P B P  1 P ξ  P B ξ  P ( λ ξ )  λ ( P ξ ) ，
故Pξ 是 A 的对应于特征值λ的特征向量，下面先求 B 的特征向量，
对于特征值
1
1   
1 0 2  1 0 2 1 0 2
     
，EB  1 1 1  0 1 3  0 1 3 ，故B
     
     
0 1 3 0 0 0 0 0 0
     
的对应于特征值1的线性无关的特征向量为
1
ξ
1
 ( 2 ,  3 , 1 ) T ；
 1 0 2  1 0 2
   
对于特征值 1，EB  1 1 1  0 1 1 ，故
2    
   
0 1 1 0 0 0
   
B 的对应于特征值 1
2
的线性无关的特征向量为ξ (2,1,1)T；
2对于特征值
3
2   ， 2 E  B 
 2

0
1
0
2
 1
2

0
1


 1
0
0
0
1
0
1
0
0

，故 B 的对应于特征值
3
2   的线性无关的特征向量为 ξ
3
 (  1 , 0 , 1 ) T ；
于是， A 的对应于特征值1的全部特征向量为
k
1
P ξ
1
 k
1
( , A , A 2 )
 2

1
3

 2 k
1
 3 k
1
A  k
1
A 2       ( k
1
为任意非零常数)
A 的对应于特征值 1 的全部特征向量为
k
2
P ξ
2
 k
2
( , A , A 2 )
 

1
2
1

  2 k
2
 k
2
A  k
2
A 2       ( k
2
为任意非零常数)
A 的对应于特征值 2 的全部特征向量为
k
3
P ξ
3
 k
3
( , A , A 2 )
 
0
1
1 
  k
3
 k
3
A 2      ( k
3
为任意非零常数).
5.【答案】（1）略；（2）A不能相似于对角矩阵
【解析】（1）由题设条件，得
( A  2 E )
1
 0 , ( A  2 E )
2

1
, ( A  2 E )
3

2
    
设存在常数 k
1
, k
2
, k
3
，使 k
1 1
 k
2 2
 k
3 3
 0    ①
在①式两端左乘 A  2 E ，得 k
2 1
 k
3 2
 0   ②
在②式两端左边乘 A  2 E ，得 k
3 1
 0 
因 0，故
1
k
3
 0 ，代回②式，得 k
2
 0 ，代回①式，得k 0，故
1
kk k 0k k k 0，得证,,线性无关.
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
（2）由题意可得
2 1 0
记
A(,,)(,,)0 2 1 (,,)B
1 2 3 1 2 3   1 2 3
0 0 2
 
因,,线性无关，故C (,,)是可逆矩阵，则C1AC  B，即A B .
1 2 3 1 2 3又 B 有三重特征值 λ
1
 λ
2
 λ
3
 2 ，但 r ( 2 E  B )  2 ，则(2EB)x 0只有一个线性
无关的解向量，故 B 不能相似于对角矩阵，由相似关系的传递性知， A 不能相似于对角矩
阵.
6.【答案】 A n 


2
3
2
3
1
3



2
2
2
n 
n  1
n  1
2


2
2
2
n  1  3
n  1  3
2 n   3 1


【解析】因为 λ
1
 1 , λ
2
 2 , λ
3
 3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是
ξ
1
 ( 2 , 2 ,  1 ) T , ξ
2
 (  1 , 2 , 2 ) T , ξ
3
 ( 2 ,  1 , 2 ) T ,
所以有
1 1 1
,
2 2 2
,
3 3 3
   A ξ  ξ A ξ  ξ A ξ  ξ ，有 n
i
ni
i
( i 1 , 2 , 3 )  A ξ  ξ  ，将表示成
ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
的线性组合，设  x
1
ξ
1
 x
2
ξ
2
 x
3
ξ
3
 ，即
 1
2
3

 x
1
 2
2
 1

 x
2
 
2
2
1 
 x
3
 2

2
1

解
得 x
1

1
3
, x
2
 1 , x
3

2
3
1 2
，即 ξ ξ  ξ ，故
3 1 2 3 3
n
1
3
1
3
n
n
2
2
1
3
1
1
1
2
n
n
2
2
2
2
1
2
3
2
3
3
2
n
3
3
n 1
1
3
2
2
1
n1
1
n2
2
2
3
n3
3
  
Α 


Α
Α



ξ
ξ




Α
ξ
ξ





ξ

Α

ξ






ξ  ξ  ξ

 2 
2n 223n1
 
3
 
 2 
 2n123n1 .
 3 
 
1
 2n1223n1
 
 3 
7.【答案】略
【解析】Aξ  λξ ，两边转置得ξTAT  λξT，在上述方程得两端都右乘η，
得ξTATηξTη，于是ξTμη= λξTη，即(μ)ξTη0，λ μ，故ξTη0，即 ξ , η 相互正交.
8.【答案】（1） a   2 , P 
 0
1
0
1
0
1
1
2
 1

；（2） E
【解析】
(1)令 λ E  A  0 ，即
0 
λ


a
1
0
λ
0
 1


λ
1
2 
λ

λ

a

1

1
2
0
λ
0
 1


λ
1
2 
λ

0

a
1
 2
0
λ
0
 1


λ
1
2
 1
，可得
 λ
1
 λ
2
 1 , λ
3
  1 .
因为 A 相似于对角矩阵，所以r(EA)1，则 r
 1


a
1
0
0
0


1
1
2

 1 ，可得 a   2 ，即
A 


0
1
2
0
1
0
1
2
0

.
( E  A ) x  0 的基础解系为 ξ
1
 ( 0 , 1 , 0 ) T , ξ
2
 (1 , 0 , 1 ) T ，
(  E  A ) x  0 的基础解系为 ξ
3
 ( 1 , 2 ,  1 ) T ，
0 1 1 
 
令P (ξ ,ξ ,ξ ) 1 0 2 ，则
1 2 3  
 
0 1 1
 
P  1 A P  Λ 
 1
1
 1

.
（2）由（1）知P1AP  Λ，则A PΛP1 ，可得
A100 (PΛP1)100  PΛP1PΛP1 PΛP1  PΛ100P1
1 
 
 P 1 P1  PP1  E.
 
 
1
 
9.【答案】C
【解析】显然 3
2
, 
3
, 2
1
  也是特征值 1 , 2 ,  1 的特征向量，所以P  1 A P =
 1
2
 1

，故选（C）.
10.【答案】D
【解析】（A）不对，例如 A =
 0
0
1
0

， A 的两个特征值都是 0 ，但 r ( A )  1 ；
（B）不对，因为 A B ，不一定保证 A , B 可以对角化；
（C）不对，例如： A 
 1
1
0
2
1
0
2

0
3

，A经过有限次行变换化为
 1
0
0
0
1
0

5
0
8 
，经过行
1 0 0
 
变换不能化为 0 1 0 ；
 
 
0 0 0
 
因为 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵 P ，使得 1
1
n


P  A P 
 
，
于是 r ( ) r
1
n


A 
 
，故选（D）.
11.【答案】D
【解析】将选项（A）（B）（C）（D）中的矩阵依次记为 A , B , C , D
由于矩阵A是实对称矩阵，故 A 可相似对角化；
显然，矩阵B 有 3 个互不相同的特征值 1 , 2 ,  3 ，故B 可相似对角化；
C 为秩为 1 的矩阵，因此 C 的特征值为 0 , 0 ,  2 ，由于3r(0EC)312，故
C 的二重特征值0对应两个线性无关的特征向量，故 C 可相似对角化.
D为秩为1的矩阵，因此D的特征值为 0 , 0 , 0 ，但由于
3  r ( 0 E  D )  3  r ( D )  3  1  2 ，故 D 的三重特征值0仅对应两个线性无关的特征向
量，故 D 不可相似对角化，应选（D）.12.【答案】 A 可以相似对角化， P 
 5
7
1


1
1
1


1
1
2

, P  1 A P 
 1
0
0
0

0
1
0
0
 2

【解析】 A 的特征多项式为
( 5
1
5
2
2 ) (
a
1
b
a 2
2
3
)
1
( 2
1
5
2
) ( b
a
b
0
5
2
5
)
5
0
2
2
    
   

    
E  A 







 







 







由于
1
1   与
2
1    是A的特征值，故


E
E


A
A


0 ,
0 ,
即
 a
3

a
1


2 b
0 ,
 3 ,
故
 a
b




1
3
,
.
设 A 的第三个特征值为
3
，则由特征值的性质知 tr(A) 2，
3 1 2
由于 A 有三个不同的特征值 1 ,  1 ,  2 ，故 A 可相似对角化.
对于特征值
1
1   ， E  A 
 

1
1
5
1
4
 1


2
2
3


 
0
0
1 1

0
1

7
0
2 

 1
0
0
0
1
0


0
5
7

故 A 的对应于特征值
1
1   的线性无关的特征向量为 ξ
1
 ( 5 , 7 , 1 ) T ；
对于特征值
2
1    ，  E  A 
 

1
3
5
1
2
 1


0
2
3


 1
0
0

1
0
1 0
1
0


 1
0
0
0
1
0
1
1
0

故 A 的对应于特征值 1的线性无关的特征向量为
2
ξ
2
 (  1 ,  1 , 1 ) T ；
对于特征值 2，
3
 2 E  A 
 

1
4
5
1
1
 1



2
3
1


 1
0
0

1
0
1 
2
0
1 

 1
0
0
0
1
0
1
2
0

故 A 的对应于特征值 2的线性无关的特征向量为
3
ξ
3
 (  1 ,  2 , 1 ) T ；
令 P  ( ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) 
 5
7
1


1
1
1


1
1
2

，则 P  1 A P 
 1
0
0
0

0
1

0
0
2

.
1 4 7
 
13.【答案】A 4 4 4
 
 
7 4 1
 【解析】记 B  (
1
,
2
)   ，其中
1

 1
2
1

,
2

 1

1
1

  ，则 C  ( 0 ,  1 2
2
)  ，由 A B  C ，
得 A (
1
,
2
)  ( 0 ,  1 2
2
)    ， A
1
 0 , A
2
  1 2
2
  ，故
1
,
2
  分别是 A 的属于特征值
1
0 ,
2
1 2      的特征向量.
记为A的第
3
3 个特征值，则由 t r ( A )   6 知
1 2 3
6        ，于是
3
6   .
由于 A 为实对称矩阵，且
3 1
,
3 2
     ，故 A 的属于 6的特征向量
3
3
 ( x
1
, x
2
, x
3
) T  满足 , ，于是
3 1 3 2
 x
x
1
1


2
x
x
2
2


x
x
3
3


0
0
,
,
解得
 x
x
x
1
2
3

 k
 
0
1
1 
，其
中 k 为任意非零常数，故取
3

 
0
1
1 
 即可.
将,,单位化得
1 2 3
η
1

1
6
 1
2
1

, η
2

1
3
 1

1
1

, η
3

1
2
 
0
1
1 
，
记 P  ( η
1
, η
2
, η
3
) ，则 P 为正交矩阵，且 P T A P  Λ 
 0
 1 2
6

1 4 7
 
则A PΛPT  4 4 4 .
 
 
7 4 1
 
14.【答案】 Q 


0
1
1
2
2
1
0
0
0
1
1
2
2

， ( A Q ) T A Q 
 1
0
0
0
4
0
0
0
9

1 0 0
【解析】由于A的一个特征值为1，故 E A  0 1 1 (x2)0即
0 1 1x
x  2 ，由于 0
0
2 0
1
2
0
1
2
( 1 ) ( 2 )

   

E  A 


 

   ，故 A 的全部特征值为
1
1 ,
2
2 ,
3
3       ；
对于特征值
1
1   ， E  A 
 
0
0
1 0


1
1
0


1
1


 1
0
0
0
1
0
0
1
0

，故 A 的对应于特征值
1
1  
的线性无关的特征向量为 ξ
1
 ( 0 ,  1 , 1 ) T ；
对于特征值 2，
2
2 E  A 
 0
0
0
0
0
 1
0

0
1


 0
0
0
1
0
0
0
1
0

，故 A 的对应于特征值
2
2   的线性无关的特征向量为 ξ
2
 ( 1 , 0 , 0 ) T ；
对于特征值
3
3   ， 3 E  A 
 1
0
0
0
1
 1
0

1
1


 1
0
0
0
1
0
0

0
1

，故 A 的对应于特征值
3
3   的线性无关的特征向量为 ξ
3
 ( 0 , 1 , 1 ) T ；
显然， ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
两两正交，将其单位化，得
η
1


0 , 
1
2
,
1
2

T
, η
2
 (1 , 0 , 0 ) T , η
3


0 ,
1
2
,
1
2

T
，
令 Q  ( η
1
, η
2
, η
3
) 


0
1
1
2
2
1
0
0
0
1
1
2
2

，则 Q T A Q 
 1
0
0
0
2
0
0
0
3

，从而
( A Q ) T A Q  Q T A 2 Q  ( Q T A Q ) 2 
 1
0
0
0
2
0
0
0
3

2

 1
0
0
0
4
0
0
0
9

.拓展提升
1.【答案】C
【解析】 A 是n阶非零矩阵，设是 A 的特征值，是对应的特征向量，则A，
因为 A 2  A ，所以 2 , 2 , ( 2 )     A  A    0      .由于  0  ，故有 2 0     ，
因此 1   或0.
又由于 A 2  A ，即 ( E  A ) A  O ，且 A  O ，因此齐次线性方程组 ( E  A ) x  0 有非
零解，从而 E  A  0 ，知 1   是 A 的特征值，又因为AB O,B O，所以齐次线性
方程组 A x  0 有非零解，由此可知， A  0 ，故 0   也是 A 的特征值. 同理可证，矩阵
B 的特征值必有 1 和 0 .故①不正确，②正确.
由于 1 是 A 的特征值，是对应的特征向量，因此A.在等式的两边都左乘矩阵 B ，
得 B  B ( A )  ( B A )   .因为 B A  O ，所以 B  0  0  .由此可知，若是 A 的属于
特征值 1 的特征向量，则必是 B 的属于特征值 0 的特征向量，故③正确，选（C）.
2.【答案】 A 


1
2
2 
2
4
4


4
2
4

； A 1 0 0  9 9 9 A
【解析】方法一：由题设条件知，对应齐次线性方程组的基础解系是
ξ (2,1,0)T,ξ (2,0,1)T，即ξ ,ξ 是A的对应于
1 2 1 2
0   的两个线性无关的特征向量，
又ξ (1,2,2)T是
3
A x  b 的特解，即 A


1
2
2

 b 

1

9
8
1 8

 9


1
2
2

，
知ξ (1,2,2)T是
3
A 的对应于 9   的特征向量.
取可逆矩阵P (ξ ,ξ ,ξ )，则得P1AP  Λ,A PΛP1，其中
1 2 3
P 
 
1
0
2 2
0
1 
1
2
2

, Λ 
 0
0
9

, P  1 
1
9
 
2
1
2 5
4
2 
4
5
2

所以A 

P

Λ

1
0
2
P  1
2
0
1




1
0
1
2
2
2
 
2
0
1
0
0
1

0
0
2
1
2
2



0
0
2
0


0


1
2
9
2

1
9

2
4

4

2
1
2


4
2
4
5
4
2

.

4
5
2

由于 A 


1
2
2 
2
4
4


4
2
4




1
2
2

(1 , 2 ,  2 ) ，故
A 1 0 0 


1
2
2
 
(1 , 2 ,  2 )


1
2
2
  
(1 , 2 ,  2 )


1
2
2
 
(1 , 2 ,  2 )  9 9 9 A .
或
1 0 0 A 



(


9
P

1
0

1
0
9 9
Λ
2
2

P

1
2

2
0
1
2
0
1
2
1 ) 1 0 0 
1
2
 2
1
2
 2
2
4
 4


P




1 0 Λ
0
0
0
9 9 9
2 
4

4

0 P
0


2
9
1
1 0 9
0
0
9  9
9 9 A
0
9
.

1
9


2

2
1
0
0

2
9 9 9
5
4
2


4
5
2

方法二：由方程组的通解直接求出系数矩阵 A .
由于对应齐次线性方程Ax0的通解为 k
1
ξ
1
 k
2
ξ
2
 k
1
(  2 , 1 , 0 ) T  k
2
( 2 , 0 , 1 ) T ，
故 r ( A )  1 .
可设其同解方程为 a x
1
 b x
2
 c x
3
 0
2ab0,
，将ξ ,ξ 代入，则有
1 2 2ac0,
得c2a,b2a,
故方程为 a ( x
1
 2 x
2
 2 x
3
)  0 ，对应的非齐次线性方程为 k
k
k
1
2
3
(
(
(
x
x
x
1
1
1



2
2
2
x
x
x
2
2
2



2
2
2
x
x
x
3
3
3
)
)
)



9
1

,
8
1
,
8 ,
将特解 η  (1 , 2 ,  2 ) T 代入得 k
1
 1 , k
2
 2 , k
3
  2 ，故对应矩阵
A 


1
2
2 
2
4
4


4
2
4

.
再求 A 1 0 0 .(同方法一)
或由于 A ξ
1
 0 ，故 A 1 0 0 ξ
1
 0 ；由于 A ξ
2
 0 ，故 A 1 0 0 ξ
2
 0 ；
由于 A η  9 η ，故 A 1 0 0 η  9 1 0 0 η . 故 A 1 0 0 ( ξ
1
, ξ
2
, η )  ( 0 , 0 , 9 1 0 0 η ) ，
A 1 0 0 


(
9
9
0 , 0 , 9
0 
1 0 0 0

0

1 
9 9 2



1
2
0 0 η
0
0
0
)
2
4

(
4
ξ
1
1
2

,
2
ξ



4
, η
2

1 
9

2 
4

 1 )
 2
2
1
 9 9 9
5
4
2
A .

4
5
2

3.【答案】（1） A  3 E  4 0 ；（2） A  3 E  4 2
【解析】（1）当 a  0 时，易知 A 有 3 个互异的特征值 1 , 2 ,  1 ，所以A3E的特征值为
4,5,2，因此 A  3 E  4  5  2  4 0 .
（2）当 a  2 时，设 f ( )    E  A 是 A 的特征多项式， g ( ) f ( ) 2     ，则
g (1 )  f (1 )  2  E  A  2  0 ，
g(2) f(2)2 2EA 20，
g (  1 )  f (  1 )  2   E  A  2  0 ，
所以g()(1)(2)(1)322 2，由此得
f() g()2(2 21)，
令 f()0，解得A的特征值为0,1 2,1 2 ，
所以A3E的特征值为3,4 2,4 2 ，故 A  3 E  3 ( 4  2 ) ( 4  2 )  4 2 .
4.【答案】（1）略；（2） r ( A  E )  2 ， A  2 E  6
【解析】（1）设存在一组常数 k
1
, k
2
, k
3
使
kk Ak A20 ①
1 2 3
由题设有
i i i
( i 1 , 2 , 3 )  A     ，于是
1 2 3 1 1 2 2 3 3
   A  A  A  A          
2 21
1
22
2
23
3
   A       
代入①式整理得
( k
1
k
2 1
k
3
21 )
1
( k
1
k
2 2
k
3
22 )
2
( k
1
k
2 3
k
3
23 )
3
               0   
因为
1
,
2
,
3
  是三个不同特征值对应的特征向量，所以必线性无关，于是有
k
k
k
1
1
1
k
k
k
2
2
2
1
2
3
k
k
k
3
3
3
21
2223
0
0
0
,
,
,
 
 
 
 








这是一个关于未知数k ,k ,k 的线性方程组，其系数行列式
1 2 3
1
1
1
1
2
3
212223
0
 
 
 
 ，必有
k
1
 k
2
 k
3
 0 ，故,A,A2线性无关.
（2）由 A 3  A  ，有
A ( , A , A 2 )  ( A , A 2 , A 3 )  ( A , A 2 , A )  ( , A , A 2 )
 0
1
0
0
0
1
0
1
0

            ，
令 P  ( , A , A 2 )    ，则P 可逆，且
P  1 A P 
 0
1
0
0
0
1
0
1
0

记
B
从而有r (
A
A


2
E
E
)

 r
B
( B


2 E
E )


2
1
0
r
 
1
0
0
2
1
1
0
1
2
0
 1
1
 6 .
0
1
 1

 2 ,
5.【答案】 k  5 ； P 

1
1
 1


8
3
1 1
3
1
3
0
1
2

【解析】由 A  B ，知 A , B 有相同的迹，即 k  3  (  6 )  1  2  (  1 ) 得 k  5 .
由 0
0
1 0
4
2 0
2
1
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) 0

    

E  B 





     ，
得 B 的三个不同特征值分别为
1
1 ,
2
2 ,
3
1        ，由此可知， B 可相似于对角矩阵，
由 (1 E  B ) x  0 ，得特征向量 (1,0,0)T；
1
由 ( 2 E  B ) x  0 ，得特征向量
2
 ( 8 , 3 , 4 ) T  ；
由(EB)x 0，得特征向量
3
 (1 , 0 ,  1 ) T  ；
1 0 0 
 
令P (,,)，则P1BP  0 2 0  Λ
1 1 2 3 1 1  
 
0 0 1
 
又由于 A  B ，故 1 , 2 ,  1 也是 A 的特征值.
由 (1 E  A ) x  0 ，得特征向量
1
 ( 1 , 1 ,  1 ) T  ；
由(2EA)x 0，得特征向量
2
 ( 0 , 1 , 1 ) T  ；
由(EA)x 0，得特征向量
3
 ( 1 , 0 ,  3 ) T  ；
1 0 0 
 
令P (,,)，则P1AP  0 2 0  Λ
2 1 2 3 2 2  
 
0 0 1
 
综上可得，P1AP  P1BP，即(P P1)1A(P P1) B
2 2 1 1 2 1 2 1其中 P  P
2
P
1
 1 
 1
1
 1
0
1
1
1
0
 3
  1
0
0
8
3
4
1
0
 1

 1


1
1
 1


8
3
1 1
3
1
3
0
1
2

.
6.【答案】（1）略；（2）A的特征值全为零，对应全部特征向量为 k
n
( k  0 ) 
【解析】（1）令 x
1 1
 x
2 2
  x
n n
 0    ，则
x Ax A  x A 0x x  x  0
1 1 2 2 n n 1 2 2 3 n1 n
x
1
A
2
 x
2
A
3
  x
n  1
A
n
 0  x
1 3
 x
2 4
  x
n  2 n
 0      
x
1 n
 0 
因为
n
 0  ，所以 x
1
 0 ，反推可得 x
2
  x
n
 0 ，所以
1
,
2
, ,
n
  线性无关.
（2） A (
1
,
2
, ,
n
)  (
1
,
2
, ,
n
)
 0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0

      ，令 P  (
1
,
2
, ,
n
)   
0 0 0 0
 
1 0 0 0
 
则P1AP 0 1 0 0 B，则
 
 
 
0 0 1 0
A , B 相似，由
0
1 n
0    E  B      ，即 A 的特征值全为零，又 r ( A )  n  1 ，所以Ax0
的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而 A
n
 0
n
(
n
 0 )    ，所以 A 的全部特征向
量为 k
n
( k  0 )  .
7.【答案】D
【解析】条件③，当 b  c 时 A 是实对称矩阵  A Λ ，③是充分条件.
由A的特征值，来看什么条件下A相似于对角矩阵，c
a b
d
2 ( a d ) a d b c

  

E  A 

 

     ，
1 ,2
a d ( a d
2
) 2 4 ( a d b c )
 
    
(*)

a  d  ( a
2
 d ) 2  4 b c
(**)
条件①， a d  b c  0 ，由(*)式得 ( a  d ) 2  4 ( a d  b c )  0 ，故A 有两个不同的特征值
 A Λ ，①是充分条件.
条件②， b , c 同正或同负，由(**)式得 ( a  d ) 2  4 b c  0 ， A 有两个不同的特征值
 A Λ ，②是充分条件.
条件④， b , c 异号，由(**)式知，因bc0，当 ( a  d ) 2  4 b c  0 时会有二重特征值，例
1 1
如A   ,b1,c1，有
1 1 1
1 1
1
2 0

 

E  A 



  ，
得 0，但
1 2
r ( 0 E  A )  1 ，线性无关的特征向量只有一个， A 不相似于对角矩阵
Λ ，故④不是充分条件，从而条件①②③是 A 相似于对角矩阵的充分条件，故选（D）.
8.【答案】（1）略；（2）通解为 x 
2
 k
1
 ，其中k为任意常数
【解析】（1）①若
1
,
2
 都是 A 的属于
1
0   的特征向量，
则A() AA 0矛盾；
1 2 1 2 2
②若
1
,
2
 都是 A 的属于
2 3
1     的特征向量，
则 A (
1

2
)  A
1
 A
2

1

2

2
      矛盾；
③若
1
是A的属于
2 3
1     的特征向量，
2
 是 A 的属于
1
0   的特征向量，则
A (
1

2
)  A
1
 A
2

1
 0 
1

2
       矛盾；
④若
1
是A的属于0的特征向量， 是A的属于  1的特征向量，则
1 2 2 3
A() AA 0 符合题意，故是A的属于0的特征向量，
1 2 1 2 2 2 1 1
所以A 0.
1
（2）因A是实对称矩阵，必可相似对角化，故r(A)2.于是Ax0的基础解系所含向量个数为 3  r ( A )  1 ，又由（1）知，
1
是 A x  0 的非零解，故可作为 A x  0 的基础解
系； 是
2
A 的属于  1的特征向量，故 是Ax 的一个特解，于是Ax 
2 3 2 2 2
的通解为 x 
2
 k
1
 ，其中 k 为任意常数.
 1 2 1 
 
9.【答案】（1）略；（2）A 2 1 1
 
 
1 1 2
 
【解析】（1）因为 3 阶矩阵 A 的每行元素之和均为 0 ，所以 A γ  0 γ ，其中
γ  (1 , 1 , 1 ) T ；因为存在线性无关的向量 , ，使得 A  3  ， A  3  ，所以
A (  )  3 (  )     ，
A (  )   3 (  )     ，且  ,    都不是零向量，于是， A 有三个不同的特征值
1
0 ,
2
3 ,
3
3        ，而γ,,依次为 A 的属于特征值
1
,
2
,
3
  的线性无关的
特征向量，因此 A 可相似对角化.
（2）当  ( 0 ,  1 , 1 ) T ,  ( 1 , 0 ,  1 ) T   时，由（1）知， A 的属于特征值
1
,
2
,
3
  的线性无
关的特征向量依次为 γ  (1 , 1 , 1 ) T ,   ( 1 ,  1 , 0 ) T ,   (  1 ,  1 , 2 ) T     ，于是，
令 P 
 1
1
1
1

0
1


2
1
1

, Λ 
 0
0
0
0
3
0
0
0
 3

，则P1AP  Λ，从而
A 


P


Λ
0
0
0
1

1
2
P  1
3
 3
0


2
1
1
1 
1

1

3
3
 6

1
1

2
1

0
1
6

1

.
2
3



2
1
1
1
 
2


0
0
0
3
1
0
3
0
2
0
2

0
0
 3
  1
1
1
1

0
1


2
1
1

 1
10.【答案】略
【解析】 A 有n个互不相同的特征值，故存在可逆矩阵 P ，使得1
1
2
n
1



P  A P 
 
 Λ
其中
i
( i 1 , 2 , , n )   是 A 的特征值，且(i  j)；
i j
又 A B  B A ，故 P  1 A P P  1 B P  P  1 B P P  1 A P ，即 Λ
1
P  1 B P  P  1 B P Λ
1
设 P  1 B P  ( c
ij
)
n  n
，则
0
0
1
0
0
2
0
0
n
c
c
c
1
2
n
1
1
1
c
c
c
1
2
n
2
2
2
c
c
c
1
2
n
n
n
n
c
c
c
1
2
n
1
1
1
c
c
c
1
2
n
2
2
2
c
c
c
1
2
n
n
n
n
0
0
1
0
0
2
0
0
n
 
 
 
   

   
c c c  c c c 
1 11 1 12 1 1n 1 11 2 12 n 1n
   
c c c c c c
即  2 21 2 22 2 2n   1 21 2 22 n 2n
   
   
c c c c c c
   
n n1 n n2 n nn 1 n1 2 n2 n nn
比较对应元素可得c c 即()c 0，由(i  j)得c 0(i j)，于是
i ij j ij i j ij i j ij
P  1 B P 
 c
1
0
0
1
c
0
2
0
2
c
0
0
n n

 Λ
2
，即 B 相似于对角矩阵 Λ
2
.
11.【答案】 P 
 0

1
1
1
0
0
0
1
1

， P  1 A P 
 1
0
0
0
2
0
0
0
3

1 
0 0
 
2
 
 2 
，P1BP  0 0
 3 
 
3
0 0 
 
 4
【解析】 0
0
2 0
1
2
0
1
2
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )

    

E  A 


 

    ，故A的全部特征值为
1, 2, 3；
1 2 3对于特征值
1
1   ， E  A 
 
0
0
1 0


1
1
0


1
1


 1
0
0
0
1
0
0
1
0

，故 A 对应于
1
1   的线性无
关的特征向量为 ξ
1
 ( 0 ,  1 , 1 ) T ；
对于特征值
2
2   ， 2 E  A 
 0
0
0
0
0
 1
0

0
1


 0
0
0
1
0
0
0
1
0

，故 A 对应于
2
2   的线性
无关的特征向量为 ξ
2
 ( 1 , 0 , 0 ) T ；
对于特征值 3，
3
3 E  A 
 1
0
0
0
1
 1
0

1
1


 1
0
0
0
1
0
0

0
1

，故 A 对应于 3的线性
3
无关的特征向量为 ξ
3
 ( 0 , 1 , 1 ) T ；
由于 A B  A  B ，得 ( A  E ) ( E  B )  E ，故 E  B  ( A  E )  1 ，即
B  E  ( A  E )  1 ，由于 A 的全部特征值为
1
1 ,
2
2 ,
3
3       ，因此由特征值的性
质， B 的全部特征值为
1
1
2
,
2
2
3
,
3
3
4
      ，相应的特征向量分别为ξ ,ξ ,ξ ，于是，
1 2 3
 0 1 0 1 0 0
   
令P (ξ ,ξ ,ξ ) 1 0 1 ，则P1AP  0 2 0 ，
1 2 3    
   
1 0 1 0 0 3
   
P  1 B P 
 1
2
0
0
0
2
3
0
0
0
3
4

.
12.【答案】 B 
1
3



8
2
2


5
2
4


5
2
4

8 2 2
【解析】EA  2 5 4 (9)2 00,  9，
1 2 3
2 4 5
当0时，(0EA)x 0，则对应的特征向量为ξ (1,2,2)T；
1 1
当  9时，(9EA)x 0，则对应的特征向量为
2 3ξ
2
 ( 2 ,  2 , 1 ) T , ξ
3
 ( 2 , 1 ,  2 ) T ；
单位化后得正交矩阵 Q 
1
3
 1
2
2

2
1
2

2
1
2

，
0 
 
由QTAQ  9 有
 
 
9
 
A 


Q
Q

Q


0
0
 0
9
3
3
9
3


3
Q
Q

Q
T
T Q
T

2

0

3
B 2
3

Q T ( Q T Q  Q  1 Q  E )
因此 B  Q
 0
3
3

Q T 
1
3



8
2
2


5
2
4


5
2
4

.