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2026考研 高等数学基础班 主讲 武忠祥高等数学基础班教学计划 第一章 函数 极限 连续 (10学时) 第二章 导数与微分（3学时） 第三章 微分中值定理及其应用（4学时） 共计 48 学时 第四章 不定积分（3学时） 第五章 定积分及反常积分（4学时） 第六章 定积分的应用（2学时） 数二 前9章 38学时 第七章 微分方程（3学时） 第八章 多元微分及其应用（6学时） 数三 前10章 43学时 第九章 二重积分（3学时） 第十章 无穷级数（5学时） 数一 共12章 48学时 第十一章 空间解析几何及其应用（1学时） 第十二章 三重积分及线面积分（4学时）课次 内 容 页码 1 函数概念及常见函数，函数性质，数列极限概念 P1-P11 2 函数极限概念，极限的性质，极限存在准则，无穷小及无穷大 P11-P22 3 常考题型举例：1.极限概念、性质、存在准则，2.求极限方法举例（基本极限；等价代换；有理运算） P22-P35 4 求极限方法举例（洛必达法则；泰勒公式；夹逼原理；单调有界准则；定积分定义） P35-P47 5 无穷小量阶的比较举例；函数连续性及常考题型举例 P47-P60 6 导数与微分的概念及几何意义，导数公式及求导法则（有理运算；隐函数、反函数、参数方程求导法；对数求 P61-P72 导法） 7 高阶导数；常考题型举例（导数定义；复合、隐函数、参数方程求导；高阶导数；导数应用） P73-P82 8 微分中值定理（罗尔，拉格朗日，柯西）；泰勒公式；函数的单调性，极值，曲线的凹向、拐点及渐近线，导 P83-P91 数在经济学中的应用 9 常考题型举例(极值与最值；凹向与拐点；渐近线；方程根，证明不等式；微分中值定理证明题) P92-P104 10 不定积分概念性质，3种主要积分法（凑微分；第二类换元，分部）3类能积得出的积分（有理函数，三角有理 P105-P119 式，简单无理式） 11 不定积分举例；定积分的概念、性质及计算方法；变上限积分 P120-P131 12 定积分举例（定积分概念；定积分计算；变上限积分；）反常积分 P131-P149 13 反常积分举例（敛散性；计算），定积分应用（几何；物理） P150-P161 14 微分方程概念，一阶方程，可降阶方程，高阶线性方程， P162-P173 15 差分方程；微分方程举例（方程求解；综合题；应用题） P173-P185 16 多元微分学的概念及关系（重极限、连续、偏导数及全微分） P186-P195 17 多元函数微分法及举例（复合函数微分法；隐函数微分法） P195-P206 18 多元函数的极值（无约束极值；条件极值）；最大最小值 P206-P212 19 二重积分（概念、性质、计算方法及举例） P213-P222 20 常数项级数（定义、性质、敛散性的判别法及举例） P223-P232 21 幂级数（概念、性质、函数展开为幂级数，级数求和及举例） P232-P243 22 傅里叶级数；向量代数与空间解析几何；方向导数，曲面切的平面，曲线的法线 P243-P263 23 三重积分、线面积分的概念、计算方法及举例（三重积分，曲线积分） P264-P277 24 曲面积分计算举例；多元积分应用（质量、质心、形心、转到惯量，变力沿曲线做功，场论初步（散度，旋度） P277-P292教学环节 1. 课前预习 2. 听课 3. 课后复习（内容、例题） 4. 作业题 函数、极限、连续 导数与微分 微分学   微分中值定理及导数的应用 一元函数  不定积分 微积分 定积分及反常积分 积分学 定积分应用  函数、极限、连续 微分学 偏导数与全微分 多元函数 微分学的应用 ( 极值与最值） 高 微积分  重积分 ( 数二和数三只考二重积分 ) 等 积分学 线面积分（仅数一要求） 数 积分应用（仅数一要求） 学 空间解析几何与向量代数（仅数一要求 )  一阶方程 微分方程 可降阶方程（数三不要求） 高阶线性方程  常数项级数 无穷级数 幂级数 数二不要求） 傅里叶级数（数三不要求） (第一章 函数 极限 连续 第一节 函 数 第二节 极 限 第三节 连 续第一节 函 数 本节内容要点 一. 考试内容概要 （一）函数的概念及常见函数 （二）函数的性质 二. 常考题型与典型例题 题型一 函数的性质 题型二 复合函数第一节 函 数 考试内容概要 （一）函数概念及常见函数 1. 函数概念 定义1 如果对于每个数 x  D ,变量 x 按照一定的法则 总有一个确定的 y 和它对应, 则称 y 是 x 的函数, 记为 y  f (x) .常称 x 为自变量， y 为因变量, 为定义域. D 定义域 D  D. f 值域   R  f (D)  y y  f (x), x  D f 【注】函数概念有两个基本要素：定义域、对应规则. 1, x  0,  【例1】函数 y  sgn x   0, x  0, 称为符号函数.   1, x  0 y 1 O x 1 【例2】设 为任意实数,不超过 的最大整数称为 x x x 的整数部分,记为 [x]. 函数 y  [x] 称为取整函数. y  21 O 1 2 3 4 x2. 复合函数 定义2 设 y  f (u) 的定义域为 u  g( x) 的定义域为 D D , g f 值域为 若 则称函数 y  f [g(x)] 为函数 R , D  R , g f g 与 的复合函数.它的定义域为 y  f (u) u  g(x)   x x  D , g(x) D g f 【注】 不是任何两个函数都可以复合，如 y  f (u)  ln u, u  g(x)  sin x  1, 就不能复合，这是由于 D  (0,), R  [2,0], D  R  . f g f g3. 反函数 定义4 设函数 y  f (x) 的定义域为 D , 值域为 R .若对任意 y y  R ,有唯一确定的 x  D ,使得 y  f (x) ,则记为 x  f 1 ( y) y 称其为函数 y  f (x) 的反函数. 【注】（1）不是每个函数都有反函数.如 y  x 3 有反函数，而 y  x 2 没有反函数； （2）单调函数一定有反函数，但反之则不然，如  x, 0  x  1, f (x)   3  x, 1  x  2 有反函数，但不单调.(3) 有时也将 y  f (x) 的反函数 x  f 1 ( y) 写成 y  f 1 (x) 在同一直角坐标系中， y  f (x) 和 x  f 1 ( y) 的图形重和， y  f (x) 和 y  f 1 (x) 的图形关于直线 y  x 对称. (4) f 1 [ f (x)]  x, f [ f 1 (x)]  x.e x  e x 【例3】求函数 的反函数. y  sh x  2 e x  e x 【解】由 知 y  2 e 2x  2 ye x  1  0 解得 e x  y  1  y 2 x  ln( y  1  y 2 ) e x  e x 则函数 y  sh x  的反函数为 y  ln( x  1  x 2 ). 24. 初等函数 定义4 将幂函数 ,指数,对数,三角,反三角统称为基本 初等函数.了解它们的定义域,性质,图形. 幂函数 y  x  （  为实数）； 指数函数 y  a x （ a  0, a  1 ） 对数函数 y  log x (a  0,a  1) a 三角函数 y  sin x y  cos x, y  tan x y  cot x 反三角函数 y  arcsin x y  arccos x y  arctan x, 定义5 由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、 除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数,称为初等函数.（二）函数的性质 1. 单调性 定义2 如果对于区间 I 上的任意两点 x  x 恒有 1 2 f (x )  f (x ) 单调增加 1 2 f (x )  f (x ) 单调减少 1 2 2. 奇偶性 定义3 设 y  f (x) 的定义域 D 关于原点对称, x  D f ( x)  f (x) 偶函数 f ( x)   f (x) 奇函数 1  x 【注】奇 sin x,tan x,arcsin x,arctan x,ln ,ln( x  1  x 2 ), 1  x e x  1 , f (x)  f ( x) e x  1 偶 x 2 , x ,cos x, f (x)  f ( x)2）奇函数的图形关于原点对称, 且若 在 f (x) x  0 处有定义, 则 f (0)  0 ;偶函数的图形关于 y 轴对称. 3）奇+奇=奇; 偶+偶=偶; 奇 奇=偶  偶  偶=偶； 奇  偶= 奇; 【例4】证明 f (x)  ln( x  1  x 2 ) 是奇函数. 【证】由于 f ( x)  ln( x  1  x 2 ) 1 (有理化)  ln x  1  x 2   ln( x  1  x 2 )   f (x) 则 f (x)  ln( x  1  x 2 ) 是奇函数.3. 周期性 定义4 若存在实数 T  0 , 对于任意 x , 恒有 f (x  T )  f (x) 则称 为周期函数.使得上式成立的最小正数 y  f (x) T 称为最小正周期，简称为函数 的周期. f (x) 【注】（1） sin x,cos x 周期 2; sin 2x, sin x 周期 ; T （2）若 f (x) 以 为周期，则 f (ax  b) 以 为周期. T a4. 有界性 定义5 若存在 ,使得对任意的 ,恒有 M  0 x  X | f (x) | M 则称 在 上为有界函数. f (x) X 如果对任意的 M  0 ,至少存在一个 x  X ,使得 0 f (x )  M , 则 f (x) 为 X 上的无界函数. 0 【注】1） 为有界函数 f (x) 2）常见的有界函数   sin x  1; cos x  1; arcsin x  ; arctan x  , arccos x ; 2 2【例5】证明函数 f (x)  x sin x 是无界函数.   【证】由于 f (2n )  2n , 2 2 所以，对于任意的 M  0 ,只要正整数 n 充分大   总有 f (2n )  2n  M , 2 2 故函数 f (x)  x sin x 是无界函数.常考题型与典型例题 1.函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定； 2.复合函数； (一）函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定 【例6】(1987年3） f (x) | xsin x | e cos x (  x  ) 是 （A）有界函数. （B）单调函数. （C）周期函数 （D）偶函数.(二）复合函数 2  x, x  0, x 2 , x  0, 【例7】(1997年2)设 g(x)   f (x)   则 g[ f (x)]  ( ) x  2, x  0,   x, x  0,  2  x 2 , x  0,  2  x 2 , x  0, （A） （B）   2  x, x  0 2  x, x  0  2  x 2 , x  0,  2  x 2 , x  0, （C） （D）   2  x, x  0 2  x, x  0【例8】(1988年1)已知 f (x)  e x 2 , f [(x)]  1  x 且 (x)  0 求(x) 并写出它的定义域. 【解】由 f (x)  e x 2 , f [(x)]  1  x, 知 e 2 (x)  1  x (x  0) 2 (x)  ln(1  x) (x  0) (x)  ln(1  x) (x  0)第二节 极 限 本节内容要点 一. 考试内容概要 (一）极限的概念 （二）极限的性质 （三）极限存在准则 （四）无穷小 （五）无穷大二. 常考题型与典型例题 题型一 极限的概念性质及存在准则 题型二 求极限 题型三 无穷小量阶的比较第二节 极 限 考试内容概要 （一）极限的概念 1. 数列的极限 定义1 lim x  a : n n  0, N  0, 当 n  N 时，恒有 | x  a | . n 【注】 (1) 与 的作用;  N (2) 几何意义; （3）数列   的极限与前有限项无关; x n （4） lim x  a  lim x  lim x  a. n 2k1 2k n k k(1) n  n  1 【例1】(2006年3) lim   ________ . n n  1  n  1 【解1】 当 n 为奇数时 x    n  n  1  n  1 lim x  l im    1 n n n n   n  1 当 n 为偶数 时 x    n  n   n  1 lim x  l im    1 n n n n  (1) n  n  1 lim x  lim   1 n n n n (1) n  n  1 【例1】(2006年3) lim   ________ . n n   n  1 1  n  1 (1) n  n  1 【解2】          n   n   n  (1) n (1) n  n  1  1  n 【解3】    (1  ) n    n   n  (1) n  n  1  1  【解4】 l n   (1) n ln1    n   n 【例2】试证明： （1）若 lim x  a, 则 lim x  a , 但反之不成立; n n n n （2）lim x  0 的充分必要条件是 lim x  0. n n n n