(462)--选填05板书_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26选填题速成(5) (高等数学) 主讲 武忠祥第四章 微分方程 二. 高阶方程 一. 一阶方程 第五章 多元函数微分学 一. 多元函数连续 可导及可微 二. 偏导数与全微分的计算 三. 多元函数的极值与最值 第六章 多元函数积分学----二重积分 一. 累次积分交换次序及计算 二. 二重积分计算 三. 二重积分比较大小第四章 微分方程 一. 一阶方程 dy 1. 可分离变量的方程 y   f (x)g( y)    f ( x)dx g( y) y y 2. 齐次方程 y   f ( ) (  u) x x 3. 线性方程 y   P(x) y  Q(x)  p(x)dx   p(x)dx  通解： y  e  Q(x)e dx  C    【例1】(2012年2）微分方程 ydx  (x  3 y 2 )dy  0 满足条件 y  1 的解为 y  ______ . (y  x) x1 dx 【解1】 y  (x  3 y 2 )  0 dy dx x   3 y dy y 【解2】【例2】（2014年1）微分方程 xy   y(ln x  ln y)  0 满足条件 y(1)  e 3 的解为 y  ________ . (y  xe2x1) y y 【解】 y   ln x x【例3】（2019年1）微分方程 2 yy   y 2  2  0 满足条件 y(0)  1 的特解 y  ______ . (y  3ex 2) 【解1】令 y 2  u du  u  2 dx 2 ydy 【解2】  dx ln( y 2  2)  x  C y 2  2【例4】(2010年2,3)设 是一阶线性非齐次微分方程 y , y 1 2 y   p(x) y  q(x) 的两个特解，若常数 , 使 y  y 1 2 是该方程的解，y  y 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）. 1 2 A 1 1 1 1 （A） , （B）  ,  2 2 2 2 2 1 2 2 （C） , （D） , 3 3 3 3 【解1】 [y  y ]   p(x)[y  y ]  q(x) 1 2 1 2 [ y   p(x) y ] [ y   p(x) y ]  q(x) 1 1 2 2 ( )q(x)  q(x) ( )q(x)  0 【解2】【例5】(2016年1)若 y  (1  x 2 ) 2  1  x 2 , y  (1  x 2 ) 2  1  x 2 是微分方程 y   p(x) y  q(x) 的两个解，则 q(x)  A (A) 3x(1  x 2 ). （B）  3x(1  x 2 ). x x （C） . （D）  . 1  x 2 1  x 2  y x 【解】 y  1  x 2 y   p(x) y  0 p(x)     y 1  x 2 1 1 [(1  x 2 ) 2  1  x 2 ] [(1  x 2 ) 2  1  x 2 ]  (1  x 2 ) 2 y   p(x) y  q(x) 2 2 x q(x)  y   p(x) y  4x(1  x 2 )  (1  x 2 ) 2  3x(1  x 2 ) 1  x 2【例6】(2016年2)以 y  x 2  e x 和 y  x 2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 _______ . y y  2x x2 【解】设 y   p(x) y  q(x) y  e x y   p(x) y  0 p(x)  1 q(x)  y   p(x) y  2x  x 2【例7】（2018年2,3）设函数 满足 f (x) f (x  x)  f (x)  2xf (x)x (x) (x  0), 且 f (0)  2, 则 f (1)  _________ . 【解】由 f (x  x)  f (x)  2xf (x)x (x) (x  0) f (x  x)  f (x) (x) 知  2xf (x)  x x f  (x)  2xf (x) 2 f (x)  Ce x 又 f (0)  2, 则 C  2, f (x)  2e x 2 , f (1)  2e.1 【例8】(2024年1,2)微分方程 y   满足条件 y(1)  0 的解为 __________ . (x  y) 2  [ y  arctan( x  y)   0] 【解】 4二. 高阶方程 （一）可降阶的高阶方程（数三不要求） 1) y   f (x) dp 2) y   f (x, y  ) ( y   p, y   ) dx dp 3) y   f ( y, y  ) ( y   p, y   p ) dy（二）高阶线性方程 1.常系数齐次线性微分方程 y   py   qy  0 特征方程 r 2  pr  q  0 设 r ,r 是特征方程两个根 1 2 1）不等实根： r  r y  C e r 1 x  C e r 2 x 1 2 1 2 2）相等实根： r  r  r y  e rx (C  C x) 1 2 1 2 3）共轭复根： r  i y  e x (C cosx  C sinx) 1,2 1 2 2.常系数非齐次线性微分方程 y   py   qy  f (x) 1. f (x)  P (x)e x 令 y   x k Q (x)e x m m   2. f (x)  e x P (x)cosx  P (x)sinx l n   令 y   x k e x R (1) (x)cosx  R (2) (x)sinx . m  max{l, n} m m【例1】(2002年2）设 y  y(x) 是二阶常系数微分方程 y   py   qy  e 3x 满足初始条件 y(0)  y  (0)  0 的特解,则当 x  0 时,函数 ln(1  x 2 ) 的极限（ ） (C) y(x) （A）不存在; （B）等于1; （C）等于2; （D）等于3 【解】由 y   py   qy   e 3x 知 y  (x) 连续且 y  (0)  1 ln(1  x 2 ) x 2 2x lim  lim  lim x0 y(x) x0 y(x) x0 y  (x) 2 2  lim   2   x0 y (x) y (0)【例2】(2004年2)微分方程 y   y  x 2  1  sin x 的特解形式可设为（ ）. （A） y   ax 2  bx  c  x(Asin x  B cos x) (A) （B） y   x(ax 2  bx  c  Asin x  B cos x) （C） y   ax 2  bx  c  Asin x （D） y   ax 2  bx  c  Acos x 【解】【例3】(2006年2)函数 y  C e x  C e 2x  xe x 满足的一个微分方程是（ ）. 1 2 （A） y   y   2 y  3xe x （B） y   y   2 y  3e x (D) （C） y   y   2 y  3xe x （D） y   y   2 y  3e x 【解】1 1 【例4】(2015年1）设 y  e 2x  (x  )e x 是二阶常系数非齐 2 3 次线性微分方程 y   ay   by  ce x 的一个特解，则( ) (A) （A） a  3,b  2,c  1. （B） a  3,b  2,c  1. （C） a  3,b  2,c  1. （D） a  3,b  2,c  1. 1 1 【解】由 y  e 2x  (x  )e x 是方程 y   ay   by  ce x 的一个特 2 3 解可知， y  e 2x , y  e x 是齐次方程的两个线性无关的解， 1 2 y   xe x 是非齐次方程的一个解. 齐次方程的特征方程为 (r  1)(r  2)  0 即 r 2  3r  2  0 则 a  3,b  2 将 y  xe x 代入方程 y   3 y   2 y  ce x 得 c  1. 故应选（A）.【例5】(2012年1)若函数 f (x) 满足方程 f  (x)  f  (x)  2 f (x)  0 及 f  (x)  f (x)  2e x，则 f (x)  ________ . 【解1】 f  (x)  f  (x)  2 f (x)  0 的通解为 f (x)  C e x  C e 2x 1 2 代入 f  (x)  f (x)  2e x 得 f (x)  e x 【解2】将 f  (x)  f (x)  2e x 代入 f  (x)  f  (x)  2 f (x)  0 得 f  (x)  3 f (x)  2e x f (x)  Ce 3x  e x 将 f (x)  Ce 3x  e x 代入 f  (x)  f (x)  2e x 得 f (x)  e x【例6】(2013年1)已知 y  e 3x  xe 2x , y  e x  xe 2x , y   xe 2x 1 2 3 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为 y  _____________ . [y Cex C e3x xe2x] 1 2 【解】【例7】(2020年1)若函数 f (x) 满足 f  (x)  af  (x)  f (x)  0(a  0) ,且  f (0)  m, f  (0)  n, 则  f (x)dx  ___________ . 0  a  a 2  4 【解】 r 2  ar  1  0 r  1,2 2 0  a  2 f (x)  C e r 1 x  C e r 2 x (r  0, r  0) 1 2 1 2 a  2 f (x)  (C  C x)e  x 1 2 ax  a  2 f (x)  e 2 (C cosx  C sinx) 1 2 lim f (x)  0 lim f  (x)  0 x x    f (x)dx    [ f  (x)  af  (x)]dx 0 0   [ f  (x)  af (x)]  n  ma 0【例8】(2023年1,2,3)若微分方程 y   ay   by  0 的解在 (,) 上有界，则（ ） A. a  0,b  0. B. a  0,b  0. C. C. a  0,b  0. D. a  0,b  0.  a  a 2  4b 【解】 r 2  ar  b  0 r  1,2 2 1）不等实根： r  r y  C e r 1 x  C e r 2 x 1 2 1 2 2）相等实根： r  r  r y  e rx (C  C x) 1 2 1 2 3）共轭复根： r  i y  e x (C cosx  C sinx) 1,2 1 2第五章 多元函数微分学 一. 多元函数连续 可导及可微 1）连续 lim f (x, y)  f (x , y ) 0 0 (x,y)(x ,y ) 0 0 f (x  x, y )  f (x , y ) d 2) 偏导数 f (x , y )  lim 0 0 0 0  f (x, y ) x 0 0 x0 x dx 0 xx 0 f (x , y  y)  f (x , y ) d f (x , y )  lim 0 0 0 0  f (x , y) y 0 0 y0 y dy 0 y y 0 3) 全微分 若 z  f (x  x, y  y)  f (x , y )  Ax  By  o() 0 0 0 04) 可微分性判定 (1) 必要条件 f (x , y ) 与 f ( x , y ) 都存在; x 0 0 y 0 0 (2) 充分条件 和 在 连续; f ( x, y) f ( x, y) (x , y ) 连续 可导 x y 0 0 (3) 用定义判定 可微 a) f (x , y ) 与 f ( x , y ) 是否都存在? x 0 0 y 0 0 一阶偏导数连续 z  [ f (x , y )x  f (x y )y] 是否为零? x 0 0 y 0, 0 b) lim (x,y)(0,0) (x) 2  (y) 2【例1】(2008年3）已知 f (x, y)  e x 2 y 4 ,则（ ）. (B) （A）   都存在 （B）  不存在，  存在 f (0,0), f (0,0) f (0,0) f (0,0) x y x y （C）  存在，  不存在 （ D）   都不存在. f (0,0) f (0,0) f (0,0), f (0,0) x y x y 【解】 【例】（2023年3）已知函数 则（ ） f (x, y)  ln( y  x sin y ), f f f f A. 不存在， 存在. B. 存在， 不存在. x y x y (0,1) (0,1) (0,1) (0,1) f f f f C. 均存在. D. , , x y x y (0,1) (0,1) (0,1) (0,1)【例2】(2007年2）二元函数 在点 处可微的一个充分条件是 f ( x, y) (0,0) （A） lim [ f (x, y)  f (0,0)]  0 (x,y)(0,0) f (x,0)  f (0,0)] f (0, y)  f (0,0)] 且 （B） lim  0, lim  0; x0 x y0 y f (x, y)  f (0,0) （C） lim  0; (x,y)(0,0) x 2  y 2 （D） lim[ f (x,0)  f (0,0)]  0, 且 lim[ f (0, y)  f (0,0)]  0. x x y y x0 y0 【解】 f (x  x, y  y)  f (x , y )  Ax  By () 0 0 0 0 f (x, y)  f (0,0)  Ax  By () f (x, y)  f (0,0)  Ax  By ()【例3】(2012年1）如果函数 f ( x, y) 在 (0,0) 处连续，那么下列 命题正确的是 f ( x, y) （A）若极限 存在，则 在 处可微. lim f ( x, y) (0,0) x0 x  y y0 f (x, y) （B）若极限 lim 存在，则 f ( x, y) 在 (0,0) 处可微. x0 x 2  y 2 y0 f ( x, y) （C）若 f ( x, y) 在 (0,0) 处可微，则极限 lim 存在. x0 x  y y0 f (x, y) （D）若 f ( x, y) 在 (0,0) 处可微，则极限 lim 存在. x0 x 2  y 2 y0 【解】 f (x, y)  f (0,0)  Ax  By ()【例4】(2020年1）设函数 f (x, y) 在点 (0,0) 处可微，  f f  f (0,0)  0, n   , ,1 ，非零向量  与 n 垂直，则【 】 (A)  x y  (0,0) 【解】 n  (x, y, f (x, y) A. lim 存在 (x,y)(0,0) x 2  y 2 f (x, y)  f (0,0)  f  (0,0)x  f  (0,0) y () n (x, y, f (x, y) x y B. lim 存在 (x,y)(0,0) x 2  y 2 f (x, y)  f  (0,0)x  f  (0,0) y () x y  (x, y, f (x, y) C. 存在 lim f (x, y)  f  (0,0)x  f  (0,0) y (x,y)(0,0) x 2  y 2 lim x y  0 (x,y)(0,0) x 2  y 2  (x, y, f (x, y) D. lim 存在 (x,y)(0,0) x 2  y 2xy, xy  0,  【例5】(2020年2）关于函数 f (x, y)   x, y  0, , 给出以下结论：   y, x  0, f 2 f 1  1 2  1 3 lim f (x, y)  0 4 lim lim f (x, y)  0 x xy (x,y)(0,0) y0 x0 (0,0） (0,0） 其中正确的个数为【 】 (B) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 f f (x,0)  f (0,0) x  0 2 f f (0, y)  f (0,0) 【解】  lim  lim  1  lim x x x x0 x x0 x xy y0 y (0,0） (0,0） f (x, y)  f (0, y) xy  y 2 f y  0, f (0, y)  lim  lim 不存在 不存在 x x0 x x0 x xy (0,0） f (x, y)  x  y  xy【例6】(2012年2）设 具有一阶偏导数,且对任意的 f (x, y) (x, y) f (x, y) f (x, y) 都有  0,  0, 则( ) (D) x y （A） f (0,0)  f (1,1). （B） f (0,0)  f (1,1). （C） f (0,1)  f (1,0). （D） f (0,1)  f (1,0). 【解1】直接法 【解2】排除法 f (x, y)  x  yf (x, y)  x  2 y  2 【例7】已知函数 z  f (x, y) 连续且满足 lim  0 ,则 x1 (x  1) 2  y 2 y0 f (e 2t ,0)  f (1,2sin t) lim  ________ . (6) t0 t 【解1】推演法 f (1,0)  1, f (x, y)  f (1,0)  (x  1)  2 y () f  (1,0)  1, f  (1,0)  2. x y f (e 2t ,0)  f (1,2sin t) lim t0 t f [1  (e 2t  1),0] f (1,0) e 2t  1 f (1,2sin t)  f (1,0) 2sin t  lim   lim  t0 e 2t  1 t t0 2sin t t  1 2  (2) 2  6 【解2】具体函数法 f (x, y)  x  2 y  2【例8】下列4个函数中在 (0,0) 点可微的个数为（ ） (B)  x 2 y  , (x, y)  (0,0) 1） f (x, y)  (x  y)( x  y ) 2） f (x, y)   x 2  y 2   0, (x, y)  (0,0)  (x  y) xy  , (x, y)  (0,0) 3） f (x, y)   x 2  y 2   0, (x, y)  (0,0) f (x, y)  f (0,0) lim  0 x0 x 2  y 2 y0  1 xy sin , (x, y)  (0,0) 4） f (x, y)   x 2  y 2   0, (x, y)  (0,0) (A）1； (B) 2; (C) 3; (D) 4.用定义判定 a) f (x , y ) 与 f ( x , y ) 是否都存在? x 0 0 y 0 0 z  [ f (x , y )x  f (x y )y] 是否为零? x 0 0 y 0, 0 b) lim (x,y)(0,0) (x) 2  (y) 2 f (x, y) 在 (0,0) 点可微性判定 f (x, y)  f (0,0) 1） lim  0 f (x, y) 在 (0,0) 点可微； x0 x 2  y 2 y0 2）若 则 f (0,0)  f (0,0)  0, x y f (x, y)  f (0,0) f (x, y) 在 (0,0) 点可微  lim  0 x0 x 2  y 2 y0二. 偏导数与全微分的计算 （一）复合函数偏导数与全微分的计算 1) 复合函数求导法 设 u  u(x, y),v  v(x, y) 可导, z  f (u,v) 在相应点有连续 一阶偏导数,则 z f u f v z f u f v     x u x v x y u y v y 2) 全微分形式不变性 设 z  f (u,v), u  u( x, y),v  v( x, y) 都有连续一阶偏导数 z z z z 则 dz  dx  dy dz  du  dv x y u v【例1】(2019年1) 设函数 f (u) 可导， z  f (sin y  sin x)  xy 1 z 1 z 则    ________ . y x  cos x x cos y y cosx cosy 【解】x  y 【例2】设 f (x, y)  e x y(x) , 其中 (x) 可导，且 f  (1,1)  1, x 1  x 2 则 f  (1,1) （ ） D y 1 1 (A) 1 (B) ; (C)  ; (D)  1; 2 2 x  1 【解】 f (x,1)  e x(x) 1  x 2 f (x,1)  f (1,1) 1 1 f  (1,1)  lim  lim e x(x)  e 1(1)  1 x x1 x  1 x1 1  x 2 2 1  y f (1, y)  e 1 y(1) 2 f (1, y)  f (1,1) 1 1 f  (1,1)  lim   lim e 1 y(1)   e 1(1)  1 y y1 y  1 y1 2 2y x z z 【例3】（2013年2）设 z  f (xy), 其中函数 f 可微，则   x y x y A 2 2 （A） 2 yf  (xy). （B） 2 yf  (xy). （C） f (xy ) . （D） f (xy). x x 【解1】直接法 x z z 【解2】排除法 f (xy)  (xy) 2 z  xy 3   4xy 2 y x y【例4】（2009年1）设二元函数 f (u,v) 具有二阶连续偏导数，令 2 z z  f (x, xy) ，则  __________ . xf  f xyf xy 12 2 22 【解】 2 f xy 2 【例5】(2020年1）设函数 f (x, y)   e xt dt, 则  __________ . [4e] 0 xy (1,1) 【解】f (x, y)  2x  y  2 【例6】（2012年3）设连续函数 z  f (x, y) 满足 lim  0 x0 x 2  ( y  1) 2 y1 2dxdy 则 dz  ________ . (0,1) 【解1】推演法 f (0,1)  1, f (x, y)  f (0,1)  2x  ( y  1) () f  (0,1)  2, f  (0,1)  1. x y 【解2】具体函数法【例7】(2020年2,3）设 z  arctan[ xy  sin( x  y)], 则 dz  ________ . (0,) [(1)dxdy] 【解】【例8】(2021年1,2,3) 设函数 f (x, y) 可微且， f (x  1,e x )  x(x  1) 2 , f (x, x 2 )  2x 2 ln x, 则 df (1,1)  （ A ） d x  d y （B）dx  dy （C）dy （D）  dy (C) 【解1】直接法 【解2】排除法 f (x, y)  x 2 ln y【例9】(2022年1） y z z 设 z  xyf ( ), 且 f (u) 可导，若 x  y  xy(ln y  ln x), 则（ ） x x y 1 1 （A）f (1)  , f  (1)  0. （B）f (1)  0, f  (1)  . (B) 2 2 1 （C）f (1)  , f  (1)  1. （D） f (1)  0, f  (1)  1. 2 z y y 2 y 【解1】  yf ( )  f  ( ) x x x x z z y y 1 x  y  2xyf ( )  xy ln f (x)  ln x x y x x 2 z y y  xf ( )  yf  ( ) y x x f f 【解2】 f ( x, y) 是 n 次齐次函数  x  y  nf (x, y) x y【例10】(2022年2,3） x y 设函数 f (x) 连续，令 F(x, y)   (x  y  t) f (t)dt ，则（ ） 0 F F 2 F 2 F F F 2 F 2 F （A）  ,  （B）  ,   (C) x y x 2 y 2 x y x 2 y 2 F F 2 F 2 F F F 2 F 2 F （C）   ,  （D）   ,   x y x 2 y 2 x y x 2 y 2 【解1】直接法 1 【解2】排除法 f (x)  1 F(x, y)  (x  y) 2 2【例11】(2024年1）设函数 f (u,v) 具有二阶连续偏导数，且 df  3du  4dv, (1,1) 2 d y 令 y  f (cos x,1  x 2 ), 则  ____________ . 2 dx x0 dy 【解1】  f  ( sin x)  f  (2x) u v dx 2 d y  ( f  )  ( sin x)  f  ( cos x)  ( f  )  (2x)  2 f  2 u x u v x v dx 2 d y   f  (1,1)  2 f  (1,1)  5 2 u v dx x0 【解2】令 f (u,v)  3u  4v y  f (cos x,1  x 2 )  3cos x  4(1  x 2 )（二）隐函数偏导数与全微分的计算 设 F ( x, y, z) 有连续一阶偏导数, F  0, z  z(x, y) 由 z 所确定. F ( x, y, z)  0 z F z F 方法: (1) 公式   x ,   y ; x F y F z z (2) 等式两边求导 z z F  F  0, F  F  0, x z x y z y (3) 利用微分形式不变性 F dx  F dy  F dz  0 x y z【例1】(2005年1）设有三元方程 xy  z ln y  e xz  1, 根据隐 函数存在定理,存在点 的一个邻域,在此邻域内该方程（ ）. (0,1,1) (D) （A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z  z(x, y) （B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y  y(x, z) 和 z  z(x, y) （C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x  x( y, z) 和 z  z(x, y) （D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x  x( y, z) 和 y  y(x, z) 【解】【例2】(2018年2）设函数 z  z(x, y) 由方程 ln z  e z1  xy z 所确定,则  __________ . 1 ( ) x 4 1 (2, ) 2 1 【 解 】 将 x  2, y  代入 ln z  e z1  xy 得, z  1. 2 方程 ln z  e z1  xy 两端对 x 求偏导得 1 z z  e z1  y z x x 1 将 y  , z  1 代入上式得 2 z 1  x 4 1 (2, ) 2【例3】(2016年1,3）设函数 f (u,v) 可微, z  z(x, y) 由方程 (x  1)z  y 2  x 2 f (x  z, y) 确定，则 dz  _______ . [dx2dy] (0,1) 【解1】微分 【解2】先代后求x yz 【例4】设函数 z  z(x, y) 由方程 2z  3x  4 y   e t 2 cos( xyt)dt 0 所确定,则 dz  __________ . (2dx3dy) (0,0) 【解】先代后求【例5】(2017年2,3）设函数 具有一阶连续偏导数,且 f (x, y) df (x, y)  ye y dx  x(1  y)e y dy, f (0,0)  0 则 f (x, y)  ___________ . f(x,y)  xyey 【解1】偏积分 【解2】凑微分xdy  ydx  【例6】（2023年3）已知函数 f (x, y) 满足 df (x, y)  , f (1,1)  , x 2  y 2 4 则 f ( 3,3)  ________ .  3 【解1】偏积分 【解2】凑微分三. 多元函数的极值与最值 （一）无条件极值 1)必要条件 f (x , y )  0, f (x , y )  0 （可导） x 0 0 y 0 0 2)充分条件 设 f (x , y )  0, 且 f ( x , y )  0 x 0 0 y 0 0 A  0 ; 极小值 （1）当 时,有极值 AC  B 2  0  A  0 . 极大值 （2）当 AC  B 2  0 时,无极值. （3）当 AC  B 2  0 时,不一定(一般用定义判定). （二）条件极值 拉格朗日乘数法【例1】(2017年3） 二元函数 z  xy(3  x  y) 的极值点是（ ） (D) （A） （B） （C） （D） (0,0), (0,3), (3,0), (1,1). z  y(3  2x  y)  0 【解】由 x 得驻点  (0,0), (0,3), (3,0), (1,1). z  x(3  2 y  x)  0  y z  2 y, z  2x, z  3  2x  2 y. xx yy xy 在 (0,0) 点 A C  B 2  9  0, 无极值; 在 (0,3) 点 A C  B 2  9  0, 无极值; 在 (3,0) 点 A C  B 2  9  0, 无极值; 在 (1,1) 点 AC  B 2  3  0, 有极值;【例2】(2011年1）设函数 f (x) 具有二阶连续导数,且 f (x)  0, f  (0)  0, 则函数 在点 处取得极小值的一个充分条件是（ ）. z  f (x)ln f ( y) (0,0) (A) （A） f (0)  1, f  (0)  0 （B） f (0)  1, f  (0)  0 （C） f (0)  1, f  (0)  0 （D） f (0)  1, f  (0)  0 z z f  ( y) 【解】  f  (x)ln f ( y)  f (x) x y f ( y) 2 z 2 z f  ( y)  f  (x)ln f ( y)  f  (x) x 2 xy f ( y) 2 z f  ( y) f ( y)  [ f  ( y)] 2  f (x)  y 2 f 2 ( y) 2 2 z 2 z  2 z  在 处，      [ f  (0)] 2 ln f (0). (0,0)   x 2 y 2 xy  【例3】(2009年,2)设函数 z  f (x, y) 的全微分为 则点 dz  xdx  ydy, (0,0) (D) （A）不是 f (x, y) 的连续点. （B）不是 f (x, y) 的极值点. （C）是 f (x, y) 的极大值点. （D）是 f (x, y) 的极小值点. 【解1】直接法 【解2】排除法【例4】已知函数 在点(0,0)的某个邻域内连续,且 f ( x, y) f (x, y)  xy 则 lim  1 (x,y)(0,0) (x 2  y 2 ) 2 A) 点(0,0)不是 的极值点; f ( x, y) B) 点(0,0)是 的极大值点; f ( x, y) C) 点(0,0)是 的极小值点; f ( x, y) D)根据所给条件无法判断点 (0,0)是否是 的极值点; f ( x, y) f (x, y)  xy 【解】由 知 且 lim  1 f (0,0)  0 (x,y)(0,0) (x 2  y 2 ) 2 f (x, y)  xy  1  lim 0 (x 2  y 2 ) 2 x0 y0 则 f (x, y)  xy  (1)(x 2  y 2 ) 2 令 y  x 得： f (x, x)  x 2  4x 4  4x 4  x 2  o(x 2 ) 令 y   x 得： f (x, x)   x 2  4x 4  4x 4   x 2  o(x 2 )【例5】(2014年2）设函数 在有界闭区域 上连续,在 u(x, y) D D 2 u 2 u 2 u 的内部具有2阶连续偏导数,且满足  0 及   0, 则 xy x 2 y 2 (A) （A） 的最大值和最小值都在 的边界上取得 u(x, y) D （B） u(x, y) 的最大值和最小值都在 的内部取得 D （C） 的最大值在 的内部取得,最小值都在 的边界上取得 u(x, y) D D （D） 的最小值在 的内部取得,最大值都在 的边界上取得 u(x, y) D D 【解】【例6】(2022年1） 设 x  0, y  0 满足 x 2  y 2  ke x y ，则 k 的取值范围为 . [k  4 ] e2 【解】本题等价于 (x 2  y 2 )e (x y)  k 只要求 f (x, y)  (x 2  y 2 )e (x y) 的最大值  f   e (x y) (2x  x 2  y 2 )  0 2 x  f (1,1)  f   e (x y) (2 y  x 2  y 2 )  0 2  e y第六章 多元函数积分学----二重积分 一. 累次积分交换次序及计算 常用方法 1.累次积分交换次序 1）画域 2）重新定限 2.累次积分计算 交换次序【例1】(2009年,2) 设函数 f (x, y) 连续, 则 2 2 2 4 y  dx  f (x, y)dy   dy  f (x, y)dx ( ) (C) 1 x 1 y （A） 2 4x （B） 2 4x  dx f (x, y)dy.  dx f (x, y)dy. 1 1 1 x （C）  2 dy 4y f (x, y)d x . （D） 2 2  dy f (x, y)dx. 1 1 1 y 【解】【例2】(2007年2,3）设函数 连续，则二次积分 f (x, y)  1   等于（ ）. d x f (x, y)d y (B)  sin x 2 1  1  （A）  （B）  d y f (x, y)d x d y f (x, y)d x 0 arcsin y 0 arcsin y 1 arcsin y 1 arcsin y （C）  （D）   d y f (x, y)d x d y f (x, y)d x   0 0 2 2 【解】 1 【例3】(2024年2,3）设 f (x, y) 是连续函数，则  2dx  f (x, y)dy  （ ）  sin x 6  1 arcsin y 1 （A） dy  f (x, y)dx. （B）  dy  2 f (x, y)dx. 1  1 arcsin y 2 6 2 1 1  arcsin y （C）2 dy  f (x, y)dx. （D） 2 dy  2 f (x, y)dx.  0 0 arcsin y 6 【解】1 1y 【例3】(2014年1）设 f (x, y) 是连续函数，则  dy  f (x, y)dx  0  1y 2 1 x1 0 1x 2 （A） dx  f (x, y)dy   dx  f (x, y)dy 0 0 1 0 （D）. 1 1x 0 0 （B） dx  f (x, y)dy   dx  f (x, y)dy 0 0 1  1x 2  1  1 （C）  2 d cossin f (r cos,r sin)dr   d f (r cos,r sin)dr  0 0 0 2  1 （D）  1  2 d cossin f (r cos,r sin)rdr   d f (r cos,r sin)rdr  0 0 0 2 【解】 2 【例4】（2012年3）设函数 连续，则二次积分  2 d f (r 2 )rdr （ ） f (t) 0 2cos 2 4x 2 （A）  dx  x 2  y 2 f (x 2  y 2 )dy. 0 2xx 2 2 4x 2 （B）  dx  f (x 2  y 2 )dy. (B) 0 2xx 2 2 4 y 2 （C）  dy  x 2  y 2 f (x 2  y 2 )dx. 0 1 1 y 2 2 4 y 2 （D）  dy  f (x 2  y 2 )dx. 0 1 1 y 2 【解】1 1 【例5】  dy  x 2xy  y 2 dx  _________ .  ( ) 16 0 y 1 1 1 x 【解】  dy  x 2xy  y 2 dx   dx  x 2xy  y 2 dy 0 y 0 01 1 【例6】  dy  [ 1  x 2  x 2  y 2 ]dx  _________ . 0 y 1 1 1 x 1 x 【解】  dy  [ 1  x 2  x 2  y 2 ]dx   dx  1  x 2 dy   dx  x 2  y 2 dy 0 y 0 0 0 0  1 1   x 1  x 2 dx   4 dcosr 2 dr 0 0 0 1  [5 2  ln(1  2)  2] 6t 2 t x  【例7】（2021年2）已知函数 f (t)   dx  sin dy, 则 f     _______ . 1 x y  2  2 x  2 t y ( cos ) 【解】 f (t)   dy  sin dx, 2  1 1 y 2 x t f  (t)   sin dx 1 t【例8】(2022年3) e x , 0  x  1   已知函数 f (x)   ，则  dx  f (x) f ( y  x)dy  _______ .    0, qita 【解】 ( e  1) 2二. 二重积分计算 b y (x) 1. 利用直角坐标计算  f (x, y)d   dx  2 f (x, y)dy a y (x) 1 D d x ( y)  f (x, y)d   dy  2 f (x, y)dx c x ( y) 1 D  r () 2. 利用极坐标计算  f (x, y)d   d 2 f (r cos, r sin)rdr  r () 1 D 3.利用对称性和奇偶性计算 4.利用变量对称性计算 若 D 关于 y  x 对称, 则  f (x, y)d   f ( y, x)d.` D D  【例1】设区域 D (x, y) | x 2  y 2  4, x  0, y  0 , f ( x) 为 D 上正 a f (x)  b f ( y) 值连续函数, 为常数,则 a,b  d  ____ . f (x)  f ( y) D ab a  b A) ab  B)  C) (a  b) D)  2 2 【解1】直接法 a f (x)  b f ( y) a f ( y)  b f (x)  d   d f (x)  f ( y) f ( y)  f (x) D D 1 a f (x)  b f (y) a f (y)  b f (x) 原式  [  d  d] 2 f (x)  f (y) f (y)  f (x) D D 1 a  b   (a  b)d   2 2 D 1 a  b 【解2】排除法 取 f (x)  1 原式   (a  b)d   2 2 D 【例2】(2012年2）设区域 D 由曲线 y  sin x, x   , y  1 围成,则  (xy 5  1)dxdy ( ) 2 D （A） . （B）2. （C） 2. （D）. (D) 【解】  【例3】(2008年,3) 设 D  (x, y) x 2  y 2  1 , [  ] 4 则  (x 2  y)dxdy  _________ . D 【解】【例4】(2016年3）设 D  {(x, y) | x  y  1,1  x  1}, 则  x 2 e y 2 dxdy  _________ . D 1 y 【解】  x 2 e  y 2 dxdy   dy  x 2 e  y 2 dx 0  y D 2 1   y 3 e y 2 dy 3 0 1 1    y 2 de y 2 3 0 1 2   3 3e三. 二重积分比较大小 常用方法 (不等式性质) 若在 D 上 f (x, y)  g(x, y) ,则  f (x, y)d  g(x, y)d. D D 【例1】(2019年2）已知平面域 D  {( x, y) | x  y  }, 记 2 I   x 2  y 2 d, I   sin x 2  y 2 d, I   (1  cos x 2  y 2 )d 则 1 2 3 D r D sin r D 1  cos r (B) √ (A) I  I  I I  I  I 3 2 1 1 2 3  (C) I  I  I (D) sin x  x  tan x (0  x  ) I  I  I . 2 1 3 2 3 1 2   【解 1 】令 x 2  y 2  r (0  r  ), 【解 2 】代点 r  2 2 sin r  r    sin  1 1  cos  1 2 2 2 sin r  sin 2 r  1  cos 2 r  1  cos r 【例1】(2019年2）已知平面域 D  {( x, y) | x  y  }, 记 2 I   x 2  y 2 d, I   sin x 2  y 2 d, I   (1  cos x 2  y 2 )d 则 1 2 3 D r D sin r D 1  cos r (B) √ (A) I  I  I I  I  I 3 2 1 1 2 3 I  I  I (D) I  I  I . 2 1 3 3 1 2 【解 3 】代点 r  0 【解 4 】等价代换 【解 5 】泰勒展开 (r)   1 sin r  r r 3 r sin r  r -   (sin r)   cos r sin r ~ r 3 2 2 2 r r r (1  cos r)   sin r 1  cos r ~ 1  cos r  1  [1   ]    2 2 2  【例2】(2013年2,3）设 是圆域 D D  (x, y) x 2  y 2  1 k 在第 k 象限的部分,记 I   ( y  x)dxdy (k  1,2,3,4), 则（ ） (B) k D k （A） I  0 . （B） I  0 . （C） I  0 . （D） I  0. 1 2 3 4 【解】【例3】(2016年3）设 J   3 x  ydxdy (i  1,2,3), 其中 i D i     D  (x, y)0  x  1,0  y  1 , D  (x, y)0  x  1,0  y  x , 1 2   则 D  (x, y)0  x  1, x 2  y  1 , 3 （A） J  J  J . （B） J  J  J . 1 2 3 3 1 2 (B) （C） J  J  J . （D） J  J  J . 2 3 1 2 1 3 【解】