(462)--选填05板书_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26选填题速成(5)
(高等数学)
主讲 武忠祥第四章 微分方程
二. 高阶方程
一. 一阶方程
第五章 多元函数微分学
一. 多元函数连续 可导及可微 二. 偏导数与全微分的计算
三. 多元函数的极值与最值
第六章 多元函数积分学----二重积分
一. 累次积分交换次序及计算 二. 二重积分计算
三. 二重积分比较大小第四章 微分方程
一. 一阶方程
dy
1. 可分离变量的方程 y   f (x)g( y)    f ( x)dx
g( y)
y y
2. 齐次方程 y   f ( ) (  u)
x x
3. 线性方程 y   P(x) y  Q(x)
 p(x)dx   p(x)dx 
通解： y  e  Q(x)e dx  C
 
 【例1】(2012年2）微分方程 ydx  (x  3 y 2 )dy  0 满足条件
y  1 的解为 y  ______ .
(y  x)
x1
dx
【解1】 y  (x  3 y 2 )  0
dy
dx x
  3 y
dy y
【解2】【例2】（2014年1）微分方程 xy   y(ln x  ln y)  0 满足条件
y(1)  e 3 的解为 y  ________ .
(y  xe2x1)
y y
【解】 y   ln
x x【例3】（2019年1）微分方程 2 yy   y 2  2  0 满足条件
y(0)  1 的特解 y  ______ .
(y  3ex 2)
【解1】令 y 2  u
du
 u  2
dx
2 ydy
【解2】  dx ln( y 2  2)  x  C
y 2  2【例4】(2010年2,3)设 是一阶线性非齐次微分方程
y , y
1 2
y   p(x) y  q(x) 的两个特解，若常数 , 使 y  y
1 2
是该方程的解，y  y 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）.
1 2 A
1 1 1 1
（A） , （B）  , 
2 2 2 2
2 1 2 2
（C） , （D） ,
3 3 3 3
【解1】 [y  y ]   p(x)[y  y ]  q(x)
1 2 1 2
[ y   p(x) y ] [ y   p(x) y ]  q(x)
1 1 2 2
( )q(x)  q(x) ( )q(x)  0
【解2】【例5】(2016年1)若 y  (1  x 2 ) 2  1  x 2 , y  (1  x 2 ) 2  1  x 2
是微分方程 y   p(x) y  q(x) 的两个解，则 q(x) 
A
(A) 3x(1  x 2 ). （B）  3x(1  x 2 ).
x x
（C） . （D）  .
1  x 2 1  x 2

y x
【解】 y  1  x 2 y   p(x) y  0 p(x)    
y 1  x 2
1 1
[(1  x 2 ) 2  1  x 2 ] [(1  x 2 ) 2  1  x 2 ]  (1  x 2 ) 2 y   p(x) y  q(x)
2 2
x
q(x)  y   p(x) y  4x(1  x 2 )  (1  x 2 ) 2  3x(1  x 2 )
1  x 2【例6】(2016年2)以 y  x 2  e x 和 y  x 2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为
_______ .
y y  2x x2
【解】设 y   p(x) y  q(x)
y  e x y   p(x) y  0 p(x)  1
q(x)  y   p(x) y  2x  x 2【例7】（2018年2,3）设函数 满足
f (x)
f (x  x)  f (x)  2xf (x)x (x) (x  0),
且 f (0)  2, 则 f (1)  _________ .
【解】由
f (x  x)  f (x)  2xf (x)x (x) (x  0)
f (x  x)  f (x) (x)
知
 2xf (x) 
x x
f  (x)  2xf (x)
2
f (x)  Ce x
又 f (0)  2, 则 C  2, f (x)  2e x 2 , f (1)  2e.1
【例8】(2024年1,2)微分方程 y   满足条件 y(1)  0 的解为 __________ .
(x  y) 2

[ y  arctan( x  y)   0]
【解】
4二. 高阶方程
（一）可降阶的高阶方程（数三不要求）
1) y   f (x)
dp
2) y   f (x, y  ) ( y   p, y   )
dx
dp
3) y   f ( y, y  ) ( y   p, y   p )
dy（二）高阶线性方程
1.常系数齐次线性微分方程 y   py   qy  0
特征方程 r 2  pr  q  0
设 r ,r 是特征方程两个根
1 2
1）不等实根： r  r y  C e r 1 x  C e r 2 x
1 2 1 2
2）相等实根： r  r  r y  e rx (C  C x)
1 2 1 2
3）共轭复根： r  i y  e x (C cosx  C sinx)
1,2 1 2
2.常系数非齐次线性微分方程 y   py   qy  f (x)
1. f (x)  P (x)e x 令 y   x k Q (x)e x
m m
 
2. f (x)  e
x
P (x)cosx  P (x)sinx
l n
 
令 y   x k e x R (1) (x)cosx  R (2) (x)sinx . m  max{l, n}
m m【例1】(2002年2）设 y  y(x) 是二阶常系数微分方程 y   py   qy  e 3x
满足初始条件 y(0)  y  (0)  0 的特解,则当 x  0 时,函数
ln(1  x 2 )
的极限（ ）
(C)
y(x)
（A）不存在; （B）等于1; （C）等于2; （D）等于3
【解】由 y   py   qy   e 3x 知 y  (x) 连续且 y  (0)  1
ln(1  x 2 ) x 2 2x
lim  lim  lim
x0 y(x) x0 y(x) x0 y  (x)
2 2
 lim   2
 
x0 y (x) y (0)【例2】(2004年2)微分方程 y   y  x 2  1  sin x 的特解形式可设为（ ）.
（A） y   ax 2  bx  c  x(Asin x  B cos x)
(A)
（B） y   x(ax 2  bx  c  Asin x  B cos x)
（C） y   ax 2  bx  c  Asin x
（D） y   ax 2  bx  c  Acos x
【解】【例3】(2006年2)函数 y  C e x  C e 2x  xe x 满足的一个微分方程是（ ）.
1 2
（A） y   y   2 y  3xe x （B） y   y   2 y  3e x
(D)
（C） y   y   2 y  3xe x （D） y   y   2 y  3e x
【解】1 1
【例4】(2015年1）设 y  e 2x  (x  )e x 是二阶常系数非齐
2 3
次线性微分方程 y   ay   by  ce x 的一个特解，则( )
(A)
（A） a  3,b  2,c  1. （B） a  3,b  2,c  1.
（C） a  3,b  2,c  1. （D） a  3,b  2,c  1.
1 1
【解】由 y  e 2x  (x  )e x 是方程 y   ay   by  ce x 的一个特
2 3
解可知， y  e 2x , y  e x 是齐次方程的两个线性无关的解，
1 2
y   xe x 是非齐次方程的一个解.
齐次方程的特征方程为 (r  1)(r  2)  0
即 r 2  3r  2  0 则 a  3,b  2
将 y  xe x 代入方程 y   3 y   2 y  ce x
得 c  1. 故应选（A）.【例5】(2012年1)若函数 f (x) 满足方程 f  (x)  f  (x)  2 f (x)  0
及 f  (x)  f (x)  2e x，则 f (x)  ________ .
【解1】 f  (x)  f  (x)  2 f (x)  0 的通解为 f (x)  C e x  C e 2x
1 2
代入 f  (x)  f (x)  2e x 得 f (x)  e x
【解2】将 f  (x)  f (x)  2e x 代入 f  (x)  f  (x)  2 f (x)  0 得
f  (x)  3 f (x)  2e x f (x)  Ce 3x  e x
将 f (x)  Ce 3x  e x 代入 f  (x)  f (x)  2e x 得 f (x)  e x【例6】(2013年1)已知 y  e 3x  xe 2x , y  e x  xe 2x , y   xe 2x
1 2 3
是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为
y  _____________ . [y Cex C e3x xe2x]
1 2
【解】【例7】(2020年1)若函数
f (x) 满足 f  (x)  af  (x)  f (x)  0(a  0) ,且

f (0)  m, f  (0)  n, 则  f (x)dx  ___________ .
0
 a  a 2  4
【解】
r 2  ar  1  0 r 
1,2
2
0  a  2 f (x)  C e r 1 x  C e r 2 x (r  0, r  0)
1 2 1 2
a  2 f (x)  (C  C x)e  x
1 2
ax

a  2 f (x)  e 2 (C cosx  C sinx)
1 2
lim f (x)  0 lim f  (x)  0
x x
 
 f (x)dx    [ f  (x)  af  (x)]dx
0 0

 [ f  (x)  af (x)]  n  ma
0【例8】(2023年1,2,3)若微分方程 y   ay   by  0 的解在 (,) 上有界，则（ ）
A. a  0,b  0. B. a  0,b  0.
C.
C. a  0,b  0. D. a  0,b  0.
 a  a 2  4b
【解】
r 2  ar  b  0 r 
1,2
2
1）不等实根： r  r y  C e r 1 x  C e r 2 x
1 2 1 2
2）相等实根： r  r  r y  e rx (C  C x)
1 2 1 2
3）共轭复根： r  i y  e x (C cosx  C sinx)
1,2 1 2第五章 多元函数微分学
一. 多元函数连续 可导及可微
1）连续 lim f (x, y)  f (x , y )
0 0
(x,y)(x ,y )
0 0
f (x  x, y )  f (x , y ) d
2) 偏导数 f (x , y )  lim 0 0 0 0  f (x, y )
x 0 0 x0 x dx 0 xx 0
f (x , y  y)  f (x , y ) d
f (x , y )  lim 0 0 0 0  f (x , y)
y 0 0 y0 y dy 0 y y 0
3) 全微分 若 z  f (x  x, y  y)  f (x , y )  Ax  By  o()
0 0 0 04) 可微分性判定
(1) 必要条件 f (x , y ) 与 f ( x , y ) 都存在;
x 0 0 y 0 0
(2) 充分条件 和 在 连续;
f ( x, y) f ( x, y) (x , y ) 连续 可导
x y 0 0
(3) 用定义判定
可微
a) f (x , y ) 与 f ( x , y ) 是否都存在?
x 0 0 y 0 0
一阶偏导数连续
z  [ f (x , y )x  f (x y )y]
是否为零?
x 0 0 y 0, 0
b) lim
(x,y)(0,0) (x) 2  (y) 2【例1】(2008年3）已知 f (x, y)  e x 2 y 4 ,则（ ）. (B)
（A）   都存在 （B）  不存在，  存在
f (0,0), f (0,0) f (0,0) f (0,0)
x y x y
（C）  存在，  不存在 （ D）   都不存在.
f (0,0) f (0,0) f (0,0), f (0,0)
x y x y
【解】
【例】（2023年3）已知函数 则（ ）
f (x, y)  ln( y  x sin y ),
f f f f
A. 不存在， 存在. B. 存在， 不存在.
x y x y
(0,1) (0,1) (0,1) (0,1)
f f f f
C.
均存在. D.
, ,
x y x y
(0,1) (0,1) (0,1) (0,1)【例2】(2007年2）二元函数 在点 处可微的一个充分条件是
f ( x, y) (0,0)
（A） lim [ f (x, y)  f (0,0)]  0
(x,y)(0,0)
f (x,0)  f (0,0)] f (0, y)  f (0,0)]
且
（B） lim  0, lim  0;
x0 x y0 y
f (x, y)  f (0,0)
（C）
lim  0;
(x,y)(0,0) x 2  y 2
（D） lim[ f (x,0)  f (0,0)]  0, 且 lim[ f (0, y)  f (0,0)]  0.
x x y y
x0 y0
【解】 f (x  x, y  y)  f (x , y )  Ax  By ()
0 0 0 0
f (x, y)  f (0,0)  Ax  By ()
f (x, y)  f (0,0)  Ax  By ()【例3】(2012年1）如果函数 f ( x, y) 在 (0,0) 处连续，那么下列
命题正确的是
f ( x, y)
（A）若极限 存在，则 在 处可微.
lim f ( x, y) (0,0)
x0 x  y
y0
f (x, y)
（B）若极限 lim 存在，则 f ( x, y) 在 (0,0) 处可微.
x0 x 2  y 2
y0
f ( x, y)
（C）若 f ( x, y) 在 (0,0) 处可微，则极限 lim 存在.
x0 x  y
y0
f (x, y)
（D）若 f ( x, y) 在 (0,0) 处可微，则极限 lim 存在.
x0 x 2  y 2
y0
【解】
f (x, y)  f (0,0)  Ax  By ()【例4】(2020年1）设函数 f (x, y) 在点 (0,0) 处可微，
 f f 
f (0,0)  0, n   , ,1 ，非零向量  与 n 垂直，则【 】
(A)

x y

(0,0)
【解】
n  (x, y, f (x, y)
A. lim 存在
(x,y)(0,0) x 2  y 2
f (x, y)  f (0,0)  f  (0,0)x  f  (0,0) y ()
n (x, y, f (x, y) x y
B. lim 存在
(x,y)(0,0) x 2  y 2
f (x, y)  f  (0,0)x  f  (0,0) y ()
x y
 (x, y, f (x, y)
C. 存在
lim
f (x, y)  f  (0,0)x  f  (0,0) y
(x,y)(0,0) x 2  y 2 lim x y  0
(x,y)(0,0) x 2  y 2
 (x, y, f (x, y)
D. lim 存在
(x,y)(0,0) x 2  y 2xy, xy  0,

【例5】(2020年2）关于函数
f (x, y)   x, y  0, , 给出以下结论：

 y, x  0,
f 2
f
1  1 2  1 3 lim f (x, y)  0 4 lim lim f (x, y)  0
x xy (x,y)(0,0) y0 x0
(0,0）
(0,0）
其中正确的个数为【 】
(B)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
f f (x,0)  f (0,0) x  0 2 f f (0, y)  f (0,0)
【解】  lim  lim  1  lim x x
x x0 x x0 x xy y0 y
(0,0） (0,0）
f (x, y)  f (0, y) xy  y 2 f
y  0, f (0, y)  lim  lim 不存在 不存在
x
x0 x x0 x
xy
(0,0）
f (x, y)  x  y  xy【例6】(2012年2）设 具有一阶偏导数,且对任意的
f (x, y) (x, y)
f (x, y) f (x, y)
都有  0,  0, 则( )
(D)
x y
（A） f (0,0)  f (1,1). （B） f (0,0)  f (1,1).
（C） f (0,1)  f (1,0). （D） f (0,1)  f (1,0).
【解1】直接法
【解2】排除法
f (x, y)  x  yf (x, y)  x  2 y  2
【例7】已知函数 z  f (x, y) 连续且满足 lim  0 ,则
x1 (x  1) 2  y 2
y0
f (e 2t ,0)  f (1,2sin t)
lim  ________ . (6)
t0 t
【解1】推演法 f (1,0)  1, f (x, y)  f (1,0)  (x  1)  2 y ()
f  (1,0)  1, f  (1,0)  2.
x y
f (e 2t ,0)  f (1,2sin t)
lim
t0 t
f [1  (e 2t  1),0] f (1,0) e 2t  1 f (1,2sin t)  f (1,0) 2sin t
 lim   lim 
t0 e 2t  1 t t0 2sin t t
 1 2  (2) 2  6
【解2】具体函数法 f (x, y)  x  2 y  2【例8】下列4个函数中在 (0,0) 点可微的个数为（ ）
(B)
 x 2 y
 , (x, y)  (0,0)
1） f (x, y)  (x  y)( x  y ) 2） f (x, y)   x 2  y 2

 0, (x, y)  (0,0)
 (x  y) xy
 , (x, y)  (0,0)
3） f (x, y)   x 2  y 2

 0, (x, y)  (0,0) f (x, y)  f (0,0)
lim  0
x0 x 2  y 2
y0
 1
xy sin , (x, y)  (0,0)
4） f (x, y)   x 2  y 2

 0, (x, y)  (0,0)
(A）1； (B) 2; (C) 3; (D) 4.用定义判定 a) f (x , y ) 与 f ( x , y ) 是否都存在?
x 0 0 y 0 0
z  [ f (x , y )x  f (x y )y]
是否为零?
x 0 0 y 0, 0
b) lim
(x,y)(0,0) (x) 2  (y) 2
f (x, y) 在 (0,0) 点可微性判定
f (x, y)  f (0,0)
1） lim  0 f (x, y) 在 (0,0) 点可微；
x0 x 2  y 2
y0
2）若 则
f (0,0)  f (0,0)  0,
x y
f (x, y)  f (0,0)
f (x, y) 在 (0,0) 点可微  lim  0
x0 x 2  y 2
y0二. 偏导数与全微分的计算
（一）复合函数偏导数与全微分的计算
1) 复合函数求导法
设 u  u(x, y),v  v(x, y) 可导, z  f (u,v) 在相应点有连续
一阶偏导数,则
z f u f v z f u f v
   
x u x v x y u y v y
2) 全微分形式不变性
设 z  f (u,v), u  u( x, y),v  v( x, y) 都有连续一阶偏导数
z z z z
则 dz  dx  dy dz  du  dv
x y u v【例1】(2019年1) 设函数 f (u) 可导， z  f (sin y  sin x)  xy
1 z 1 z
则    ________ . y x

cos x x cos y y cosx cosy
【解】x  y
【例2】设 f (x, y)  e x y(x) , 其中 (x) 可导，且 f  (1,1)  1,
x
1  x 2
则
f

(1,1)
（ ）
D
y
1 1
(A) 1 (B) ; (C)  ; (D)  1;
2 2
x  1
【解】
f (x,1)  e
x(x)
1  x 2
f (x,1)  f (1,1) 1 1
f  (1,1)  lim  lim e x(x)  e 1(1)  1
x
x1 x  1 x1 1  x 2 2
1  y
f (1, y)  e
1 y(1)
2
f (1, y)  f (1,1) 1 1
f  (1,1)  lim   lim e 1 y(1)   e 1(1)  1
y
y1 y  1 y1 2 2y x z z
【例3】（2013年2）设 z  f (xy), 其中函数 f 可微，则  
x y x y
A
2 2
（A） 2 yf  (xy). （B） 2 yf  (xy). （C） f (xy ) . （D） f (xy).
x x
【解1】直接法
x z z
【解2】排除法 f (xy)  (xy) 2 z  xy 3   4xy 2
y x y【例4】（2009年1）设二元函数 f (u,v) 具有二阶连续偏导数，令
2
z
z  f (x, xy) ，则  __________ .
xf  f xyf
xy 12 2 22
【解】 2 f
xy
2
【例5】(2020年1）设函数 f (x, y)   e xt dt, 则  __________ .
[4e]
0
xy
(1,1)
【解】f (x, y)  2x  y  2
【例6】（2012年3）设连续函数 z  f (x, y) 满足 lim  0
x0 x 2  ( y  1) 2
y1
2dxdy
则 dz  ________ .
(0,1)
【解1】推演法
f (0,1)  1, f (x, y)  f (0,1)  2x  ( y  1) ()
f  (0,1)  2, f  (0,1)  1.
x y
【解2】具体函数法【例7】(2020年2,3）设 z  arctan[ xy  sin( x  y)], 则 dz  ________ .
(0,)
[(1)dxdy]
【解】【例8】(2021年1,2,3)
设函数 f (x, y) 可微且， f (x  1,e x )  x(x  1) 2 , f (x, x 2 )  2x 2 ln x, 则 df (1,1) 
（ A ） d x  d y （B）dx  dy （C）dy （D）  dy
(C)
【解1】直接法
【解2】排除法 f (x, y)  x 2 ln y【例9】(2022年1）
y z z
设 z  xyf ( ), 且 f (u) 可导，若 x  y  xy(ln y  ln x), 则（ ）
x x y
1 1
（A）f (1)  , f  (1)  0. （B）f (1)  0, f  (1)  . (B)
2 2
1
（C）f (1)  , f  (1)  1. （D） f (1)  0, f  (1)  1.
2
z y y 2 y
【解1】  yf ( )  f  ( )
x x x x
z z y y 1
x  y  2xyf ( )  xy ln f (x)  ln x
x y x x 2
z y y
 xf ( )  yf  ( )
y x x
f f
【解2】 f ( x, y) 是 n 次齐次函数  x  y  nf (x, y)
x y【例10】(2022年2,3）
x y
设函数 f (x) 连续，令 F(x, y)   (x  y  t) f (t)dt ，则（ ）
0
F F 2 F 2 F F F 2 F 2 F
（A）  ,  （B）  ,   (C)
x y x 2 y 2 x y x 2 y 2
F F 2 F 2 F F F 2 F 2 F
（C）   ,  （D）   ,  
x y x 2 y 2 x y x 2 y 2
【解1】直接法
1
【解2】排除法
f (x)  1 F(x, y)  (x  y) 2
2【例11】(2024年1）设函数 f (u,v) 具有二阶连续偏导数，且 df  3du  4dv,
(1,1)
2
d y
令 y  f (cos x,1  x 2 ), 则  ____________ .
2
dx
x0
dy
【解1】  f  ( sin x)  f  (2x)
u v
dx
2
d y
 ( f  )  ( sin x)  f  ( cos x)  ( f  )  (2x)  2 f 
2 u x u v x v
dx
2
d y
  f  (1,1)  2 f  (1,1)  5
2 u v
dx
x0
【解2】令
f (u,v)  3u  4v
y  f (cos x,1  x 2 )  3cos x  4(1  x 2 )（二）隐函数偏导数与全微分的计算
设 F ( x, y, z) 有连续一阶偏导数, F  0, z  z(x, y) 由
z
所确定.
F ( x, y, z)  0
z F z F
方法: (1) 公式   x ,   y ;
x F y F
z z
(2) 等式两边求导
z z
F  F  0, F  F  0,
x z x y z y
(3) 利用微分形式不变性
F dx  F dy  F dz  0
x y z【例1】(2005年1）设有三元方程 xy  z ln y  e xz  1, 根据隐
函数存在定理,存在点 的一个邻域,在此邻域内该方程（ ）.
(0,1,1)
(D)
（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z  z(x, y)
（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y  y(x, z) 和 z  z(x, y)
（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x  x( y, z) 和 z  z(x, y)
（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x  x( y, z) 和 y  y(x, z)
【解】【例2】(2018年2）设函数 z  z(x, y) 由方程 ln z  e z1  xy
z
所确定,则  __________ . 1
( )
x 4
1
(2, )
2
1
【 解 】 将 x  2, y  代入 ln z  e z1  xy 得, z  1.
2
方程
ln z  e
z1
 xy
两端对
x
求偏导得
1 z z
 e
z1
 y
z x x
1
将 y  , z  1 代入上式得
2
z 1

x 4
1
(2, )
2【例3】(2016年1,3）设函数 f (u,v) 可微, z  z(x, y) 由方程
(x  1)z  y 2  x 2 f (x  z, y) 确定，则 dz  _______ .
[dx2dy]
(0,1)
【解1】微分
【解2】先代后求x yz
【例4】设函数 z  z(x, y) 由方程 2z  3x  4 y   e t 2 cos( xyt)dt
0
所确定,则 dz  __________ .
(2dx3dy)
(0,0)
【解】先代后求【例5】(2017年2,3）设函数 具有一阶连续偏导数,且
f (x, y)
df (x, y)  ye y dx  x(1  y)e y dy, f (0,0)  0
则 f (x, y)  ___________ .
f(x,y)  xyey
【解1】偏积分
【解2】凑微分xdy  ydx 
【例6】（2023年3）已知函数 f (x, y) 满足 df (x, y)  , f (1,1)  ,
x 2  y 2 4
则 f ( 3,3)  ________ . 
3
【解1】偏积分
【解2】凑微分三. 多元函数的极值与最值
（一）无条件极值
1)必要条件 f (x , y )  0, f (x , y )  0 （可导）
x 0 0 y 0 0
2)充分条件
设 f (x , y )  0, 且 f ( x , y )  0
x 0 0 y 0 0
A  0 ;
极小值
（1）当 时,有极值
AC  B 2  0 
A  0 .
极大值
（2）当 AC  B 2  0 时,无极值.
（3）当 AC  B 2  0 时,不一定(一般用定义判定).
（二）条件极值
拉格朗日乘数法【例1】(2017年3） 二元函数 z  xy(3  x  y) 的极值点是（ ）
(D)
（A） （B） （C） （D）
(0,0), (0,3), (3,0), (1,1).
z  y(3  2x  y)  0
【解】由 x 得驻点
 (0,0), (0,3), (3,0), (1,1).
z  x(3  2 y  x)  0

y
z  2 y, z  2x, z  3  2x  2 y.
xx yy xy
在 (0,0) 点 A C  B 2  9  0, 无极值;
在 (0,3) 点 A C  B 2  9  0, 无极值;
在 (3,0) 点 A C  B 2  9  0, 无极值;
在 (1,1) 点 AC  B 2  3  0, 有极值;【例2】(2011年1）设函数 f (x) 具有二阶连续导数,且 f (x)  0, f  (0)  0,
则函数 在点 处取得极小值的一个充分条件是（ ）.
z  f (x)ln f ( y) (0,0)
(A)
（A） f (0)  1, f  (0)  0 （B） f (0)  1, f  (0)  0
（C） f (0)  1, f  (0)  0 （D） f (0)  1, f  (0)  0
z z f  ( y)
【解】
 f  (x)ln f ( y)  f (x)
x y f ( y)
2 z 2 z f  ( y)
 f  (x)ln f ( y)  f  (x)
x 2
xy f ( y)
2 z f  ( y) f ( y)  [ f  ( y)] 2
 f (x) 
y 2 f 2 ( y)
2
2 z 2 z  2 z 
在 处，      [ f  (0)] 2 ln f (0).
(0,0)  
x 2 y 2 xy
 【例3】(2009年,2)设函数 z  f (x, y) 的全微分为
则点
dz  xdx  ydy, (0,0)
(D)
（A）不是 f (x, y) 的连续点.
（B）不是 f (x, y) 的极值点.
（C）是 f (x, y) 的极大值点.
（D）是 f (x, y) 的极小值点.
【解1】直接法
【解2】排除法【例4】已知函数 在点(0,0)的某个邻域内连续,且
f ( x, y)
f (x, y)  xy
则
lim  1
(x,y)(0,0) (x 2  y 2 ) 2
A) 点(0,0)不是 的极值点;
f ( x, y)
B) 点(0,0)是 的极大值点;
f ( x, y)
C) 点(0,0)是 的极小值点;
f ( x, y)
D)根据所给条件无法判断点 (0,0)是否是 的极值点;
f ( x, y)
f (x, y)  xy
【解】由 知 且
lim  1 f (0,0)  0
(x,y)(0,0) (x 2  y 2 ) 2
f (x, y)  xy
 1  lim 0
(x 2  y 2 ) 2 x0
y0
则 f (x, y)  xy  (1)(x 2  y 2 ) 2
令 y  x 得： f (x, x)  x 2  4x 4  4x 4  x 2  o(x 2 )
令 y   x 得： f (x, x)   x 2  4x 4  4x 4   x 2  o(x 2 )【例5】(2014年2）设函数 在有界闭区域 上连续,在
u(x, y) D D
2
u
2
u
2
u
的内部具有2阶连续偏导数,且满足  0 及   0, 则
xy x 2 y 2
(A)
（A） 的最大值和最小值都在 的边界上取得
u(x, y)
D
（B） u(x, y) 的最大值和最小值都在 的内部取得
D
（C） 的最大值在 的内部取得,最小值都在 的边界上取得
u(x, y)
D D
（D） 的最小值在 的内部取得,最大值都在 的边界上取得
u(x, y) D D
【解】【例6】(2022年1）
设 x  0, y  0 满足 x 2  y 2  ke x y ，则 k 的取值范围为 . [k  4 ]
e2
【解】本题等价于 (x 2  y 2 )e (x y)  k
只要求 f (x, y)  (x 2  y 2 )e (x y) 的最大值
 f   e (x y) (2x  x 2  y 2 )  0
2
x
 f (1,1) 
f   e (x y) (2 y  x 2  y 2 )  0 2
 e
y第六章 多元函数积分学----二重积分
一. 累次积分交换次序及计算
常用方法
1.累次积分交换次序
1）画域 2）重新定限
2.累次积分计算
交换次序【例1】(2009年,2) 设函数 f (x, y) 连续, 则
2 2 2 4 y
 dx  f (x, y)dy   dy  f (x, y)dx ( ) (C)
1 x 1 y
（A） 2 4x （B） 2 4x
 dx f (x, y)dy.  dx f (x, y)dy.
1 1 1 x
（C）  2 dy 4y f (x, y)d x . （D） 2 2
 dy f (x, y)dx.
1 1
1 y
【解】【例2】(2007年2,3）设函数 连续，则二次积分
f (x, y)
 1
  等于（ ）.
d x f (x, y)d y (B)

sin x
2
1  1 
（A）  （B） 
d y f (x, y)d x d y f (x, y)d x
0 arcsin y 0 arcsin y
1 arcsin y 1 arcsin y
（C）  （D）  
d y f (x, y)d x d y f (x, y)d x
 
0 0
2 2
【解】
1
【例3】(2024年2,3）设 f (x, y) 是连续函数，则  2dx  f (x, y)dy  （ ）

sin x
6

1 arcsin y 1
（A） dy  f (x, y)dx. （B）  dy  2 f (x, y)dx.
1  1
arcsin y
2 6 2
1 1 
arcsin y
（C）2 dy  f (x, y)dx. （D） 2 dy  2 f (x, y)dx.

0 0 arcsin y
6
【解】1 1y
【例3】(2014年1）设 f (x, y) 是连续函数，则  dy  f (x, y)dx 
0  1y 2
1 x1 0 1x 2
（A） dx  f (x, y)dy   dx  f (x, y)dy
0 0 1 0 （D）.
1 1x 0 0
（B） dx  f (x, y)dy   dx  f (x, y)dy
0 0 1  1x 2
 1
 1
（C）
 2 d cossin f (r cos,r sin)dr   d f (r cos,r sin)dr

0 0 0
2
 1
（D）  1
 2 d cossin f (r cos,r sin)rdr   d f (r cos,r sin)rdr

0 0 0
2
【解】
2
【例4】（2012年3）设函数 连续，则二次积分  2 d f (r 2 )rdr （ ）
f (t)
0 2cos
2 4x 2
（A）  dx  x 2  y 2 f (x 2  y 2 )dy.
0 2xx 2
2 4x 2
（B）  dx  f (x 2  y 2 )dy. (B)
0 2xx 2
2 4 y 2
（C）  dy  x 2  y 2 f (x 2  y 2 )dx.
0 1 1 y 2
2 4 y 2
（D）  dy  f (x 2  y 2 )dx.
0 1 1 y 2
【解】1 1
【例5】  dy  x 2xy  y 2 dx  _________ . 
( )
16
0 y
1 1 1 x
【解】  dy  x 2xy  y 2 dx   dx  x 2xy  y 2 dy
0 y 0 01 1
【例6】  dy  [ 1  x 2  x 2  y 2 ]dx  _________ .
0 y
1 1 1 x 1 x
【解】  dy  [ 1  x 2  x 2  y 2 ]dx   dx  1  x 2 dy   dx  x 2  y 2 dy
0 y 0 0 0 0
 1
1
  x 1  x 2 dx   4 dcosr 2 dr
0 0 0
1
 [5 2  ln(1  2)  2]
6t
2
t
x 
【例7】（2021年2）已知函数 f (t)   dx  sin dy, 则 f     _______ .
1 x y  2 
2 x  2
t y ( cos )
【解】 f (t)   dy  sin dx, 2 
1 1 y
2 x
t
f  (t)   sin dx
1 t【例8】(2022年3)
e x , 0  x  1  
已知函数 f (x)   ，则  dx  f (x) f ( y  x)dy  _______ .
 
 0, qita
【解】 ( e  1) 2二. 二重积分计算
b y (x)
1. 利用直角坐标计算  f (x, y)d   dx  2 f (x, y)dy
a y (x)
1
D
d x ( y)
 f (x, y)d   dy  2 f (x, y)dx
c x ( y)
1
D
 r ()
2. 利用极坐标计算  f (x, y)d   d 2 f (r cos, r sin)rdr
 r ()
1
D
3.利用对称性和奇偶性计算
4.利用变量对称性计算
若 D 关于 y  x 对称, 则  f (x, y)d   f ( y, x)d.`
D D 
【例1】设区域 D (x, y) | x 2  y 2  4, x  0, y  0 , f ( x) 为 D 上正
a f (x)  b f ( y)
值连续函数, 为常数,则
a,b  d  ____ .
f (x)  f ( y)
D
ab a  b
A) ab  B)  C) (a  b) D) 
2 2
【解1】直接法
a f (x)  b f ( y) a f ( y)  b f (x)
 d   d
f (x)  f ( y) f ( y)  f (x)
D D
1 a f (x)  b f (y) a f (y)  b f (x)
原式
 [  d  d]
2 f (x)  f (y) f (y)  f (x)
D D
1 a  b
  (a  b)d  
2 2
D
1 a  b
【解2】排除法 取 f (x)  1 原式   (a  b)d  
2 2
D
【例2】(2012年2）设区域 D 由曲线 y  sin x, x   , y  1 围成,则  (xy 5  1)dxdy ( )
2
D
（A）
.
（B）2. （C）
2.
（D）.
(D)
【解】 
【例3】(2008年,3) 设 D  (x, y) x 2  y 2  1 , [  ]
4
则  (x 2  y)dxdy  _________ .
D
【解】【例4】(2016年3）设
D  {(x, y) | x  y  1,1  x  1},
则  x 2 e y 2 dxdy  _________ .
D
1 y
【解】  x 2 e  y 2 dxdy   dy  x 2 e  y 2 dx
0  y
D
2
1
  y 3 e y 2 dy
3 0
1
1
   y 2 de y 2
3 0
1 2
 
3 3e三. 二重积分比较大小
常用方法 (不等式性质)
若在 D 上 f (x, y)  g(x, y) ,则  f (x, y)d  g(x, y)d.
D D
【例1】(2019年2）已知平面域 D  {( x, y) | x  y  }, 记
2
I   x 2  y 2 d, I   sin x 2  y 2 d, I   (1  cos x 2  y 2 )d 则
1 2 3
D r D sin r D 1  cos r
(B)
√ (A) I  I  I I  I  I
3 2 1 1 2 3

(C) I  I  I (D) sin x  x  tan x (0  x  )
I  I  I .
2 1 3 2
3 1 2
 
【解 1 】令 x 2  y 2  r (0  r  ), 【解 2 】代点 r 
2 2
sin r  r   
sin  1 1  cos  1
2
2 2
sin r  sin 2 r  1  cos 2 r  1  cos r
【例1】(2019年2）已知平面域 D  {( x, y) | x  y  }, 记
2
I   x 2  y 2 d, I   sin x 2  y 2 d, I   (1  cos x 2  y 2 )d 则
1 2 3
D r D sin r D 1  cos r
(B)
√ (A) I  I  I I  I  I
3 2 1 1 2 3
I  I  I (D)
I  I  I .
2 1 3
3 1 2
【解 3 】代点 r  0 【解 4 】等价代换 【解 5 】泰勒展开
(r)   1 sin r  r r
3
r
sin r  r -  
(sin r)   cos r sin r ~ r
3
2 2 2
r r r
(1  cos r)   sin r 1  cos r ~ 1  cos r  1  [1   ]   
2 2 2 
【例2】(2013年2,3）设 是圆域
D D  (x, y) x 2  y 2  1
k
在第 k 象限的部分,记 I   ( y  x)dxdy (k  1,2,3,4), 则（ ）
(B)
k
D
k
（A） I  0 . （B） I  0 . （C） I  0 . （D） I  0.
1 2 3 4
【解】【例3】(2016年3）设 J   3 x  ydxdy (i  1,2,3), 其中
i
D
i
   
D  (x, y)0  x  1,0  y  1 , D  (x, y)0  x  1,0  y  x ,
1 2
 
则
D  (x, y)0  x  1, x 2  y  1 ,
3
（A） J  J  J . （B） J  J  J .
1 2 3 3 1 2
(B)
（C） J  J  J . （D） J  J  J .
2 3 1 2 1 3
【解】