基础习题册高数第九章详解_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_03.基础定制_01.高数_讲义

第九章 二重积分
9-1 基础过关
1.【答案】 D  { ( x , y ) | 1  2 x 2  y 2  0 }
【解析】二重积分  D ( 1  2 x 2  y 2 ) d x d y 表示以区域 D 为底，以曲面 z  1  2 x 2  y 2 为曲
顶的曲顶柱体的体积的代数和，所以要使二重积分达到最大值，需要被积函数
1  2 x 2  y 2  0 ，即积分区域为 D  { ( x , y ) | 1  2 x 2  y 2  0 } .
2.【答案】（1）
D
( x y ) 2 d
D
( x y ) 3 d          ；（2）(x y)2d(x y)3d；
D D
（3）ln(x y)d[ln(x y)]2d；（4）
D D D
l n ( x y ) d
D
[ l n ( x y ) ] 2 d          .
【解析】（1）积分区域 D 上， 0  x  y  1 ，此时 ( x  y ) 2  ( x  y ) 3 ，
所以
D
( x y ) 2 d
D
( x y ) 3 d          ；
（2）如图，当 ( x , y )  D 时， x  y  1 ，此时 ( x  y ) 2  ( x  y ) 3 ，
所以
D
( x y ) 2 d
D
( x y ) 3 d          ；
（3）如图，当 ( x , y )  D 时， 1  x  y  2 ，此时0ln(x y)1，
l n ( x  y )  [ l n ( x  y ) ] 2 ，所以
D
l n ( x y ) d
D
[ l n ( x y ) ] 2 d          ；
（4）当 ( x , y )  D 时， 3  x  y  6 ，此时 1  l n 3  l n ( x  y )  l n 6 ，
ln(x y)[ln(xy)]2，所以ln(x y)d[ln(x y)]2d.
D D3.【答案】A
【解析】
如图，当(x,y)D时， 0  x  y  4 ，即 0 
x 
4
y
 1 ，所以
x 
4
y

x 
4
y
 3
x 
4
y
，
故 I
1
 I
2
 I
3
.
4.【答案】A
【解析】记  D f ( u , v ) d u d v  A ，则 f ( x , y )  x 2  y 2  A ，代入上式得：
A
3
D
2
9
( x
A
2
π
y
9
2
(
3
1
A
2
)
π
d
)
x d y 2
π2
0
d
2
0
c o s
r r d r A S
D
π2
0
1 6
3
c o s 3 d A π

   

 





        
32
所以 f(x,y) x2  y2  ，故应选（A）.
9(1π)
5.【答案】（1）
8
3
；（2）
2
3
0
；（3） 1 ；（4） 
3 π
2
【解析】（1）积分区域 D 关于 x 轴及 y 轴均对称，设D {(x,y)|0 x1,0 y1}，
1
则
2 2 ( x y ) d
D
4
4
4
D
(
1
1
0
1
3
(
(
x
x
x
2
2
3
y
y
1
3
2
1
3
x
) d
y
)
3
1
0
)
1
0
d
8
3
4
x
1
0
d
4
x
1
0
1
(
0
(
x
x
2
2
1
3
y
)
2
d
) d
x
y      




 



 
 



（2）D
( 3 x 2 y ) d
(
2
0
2
0
4
d
(
x
x
4
2
0
2
2 x
x
x
( 3
2
3
x
2
x
x
3
2
2
)
y
) d
2
0
) d
x
y
2 0
3
2
0
( 3 x y y 2 )
2
0
x
d x     












  

（3）
3 2 3 ( x 3 x y y ) d
D
1
d
0
1
(
0
1
(
0
1
4
x
x
x
x
3
3
4
1
0
y
( x
3
2
1
2
3
3
2
x
x
x
2
3
3
2
2 x
2 y
1
4
1
4
y
) d
x
1
4
x
y
y
3
4
) d y
1
) d
0
x
     

















1
0
 1
（4）
xcos(x y)d

dx
x
xcos(x y)dy 
xsin(x y)x
dx
0 0 0 0
D
  1
 x(sin2xsinx)dx xd( cos2xcosx)
0 0 2

1  1
 x( cos2xcosx)  ( cos2xcosx)dx
2 0 2
0

3 1 3
  sin2xsinx)  
2 4 2
0
6．【答案】（1）
5
6
5
；（2）
6
1
4
5
；（3） e  e  1
13
；（4）
6
【解析】
（1）
 x 
1 x 1 2 3
x yd dx x ydy   xy2 dx
0 x2 03 
D  x2 
1
2 1 7 2 4 11 1  6
  (x4 x4)dx

x4  x5


3 0 311 5  55
0
（2）积分区域D关于x轴对称，被积函数关于y 为偶函数，所以D
x y 2 d 2 2
0
d
2
0
r c o s ·r 2 s i n 2 ·r d r
6
5
4
2
0
c o s s i n 2 d
6 4
5
1
3
s i n 3 20
6
1
4
5
          

  

 

 .
（3）
D
e x y d
e
0
1
0
1
1
2
d x
 2 x e
2 x e
1 e
x
x
1
1
1
1
x e
e
e
y d
 1
1 x
y
d x
0
1
1
d
0
1
0
x
 e
e x
1
x
x
1
e
1
2
e
2
x
x
e
y d
 1 d
2 x 1
y
x
1
0
    






































（4）
D
( x 2 y 2 x ) d
2
d y
0
1 2
3 0
1 2
2 0
1 9
9 6
y
y2
x
9
4
4 y
(
3
y
x
3
2
1
8
+
y
y
2
3
8
y
2
x
y
3
2
2
0
x
1
2
) d
x
d y
1
x
2
3
6
y
y2
d y
     



















7.【答案】（1） I  
4
0
d x 
2
x
x
f ( x , y ) d y  
4
0
d y 
y2
y4
f ( x , y ) d x
（2） I  
r
 r
d x 
0
r 2  x 2
f ( x , y ) d y  
r
0
d y 

2 2 r  y
2 2 r  y
f ( x , y ) d x
（3） I  
2
1
d x 
x
1x
f ( x , y ) d y  
1
12
d y 
2
1y
f ( x , y ) d x  
2
1
d y 
2
y
f ( x , y ) d x
（4） I
2
0
d
2
1
f ( r c o s , r s i n ) r d r
2
1
r d r
2
0
f ( r c o s , r s i n ) d        

   

【解析】提示：先画出对应的图像，然后对于直角坐标系，作出对应的坐标轴的平行线进
行定限，对于极坐标系，作出对应的射线以及圆弧进行定限. 更多详解请查看视频解析.
8.【答案】（1） 4
0
d
se
0
c
f ( r c o s , r s i n ) r d r 2
4
d
c
0
sc
f ( r c o s , r s i n ) r d r
 
      

  


 ；

2sec
（2）3d f(r)rdr；

0
4（3） 2
0
d
1
sin
1
c o s
f ( r c o s , r s i n ) r d r   
 




；

sec
（4）4d f(rcos,rsin)rdr
0 tansec
【解析】利用直角坐标和极坐标的转换公式，先还原出积分区域，再按照要求重新定限.
更多详解请查看视频解析.
3 1
9.【答案】（1） a4；（2） a3[ 2ln(1 2)]；（3）
4 6
2  1
1
；（4） a4
8
【解析】（1）
2
0
ad
x
0
2 a x x 2
( x 2 y 2 ) d y
4
2
0
a
d
4 2
0
2
0
c
a
o
co
s
s
4 d
r 2 r d
4
r
a 4
2
0
3
4
1
2
1
4
r
2
4
2
0
a co
3
4
s
a
d
4
 
 

 

 











 
 

 

（2）
a x

asec
a3  a3 
 dx x2  y2dy 4d rrdr  4 sec3d 4 secdtan
0 0 0 0 3 0 3 0
a3   π 
 sectan4 4 tan2secd
3  0 0 
a3  π π 
  24 sec3d4 secd
3  0 0 
a3 π a3
 [ 2ln(sectan) 4] [ 2ln( 21)]
6 0 61 x  1  sin 1 π π
（3）dx (x2  y2) 2dy=4dcos2 rdr 4tansecdsec4  21；
0 x2 0 0 r 0 0
a a2y2  a 1 a 
（4） dy (x2  y2)dx2d r2rdr   r4  a4
 
0 0 0 0 2 4 8
 0
10.【答案】  ( e 4  1 )
【解析】
D
e x 2 y 2 d 4 2
0
d 2
0
e r 2 r d r e r 2 2
0
) ( e 4 1 )       

        .
11.【答案】

4
( 2 l n 2  1 )
【解析】
D
l n (1 x 2 y 2 ) d
t
2
0
d
1
1
l
0
2 r
n
4
(1
2
1
r
l n
2 )
t d
r d
t =
r
4
( t
2
l n
2
t
1
l n
0
2 t )
1
(1
=
4
r
(
2
2
) d
l n
(1
2
r
1
2
)
)        

 

 
 






 



12.【答案】

6

4
2
【解析】原式 4
0
d
2
1
a r c t a n
r
r
s
c
i
o
n
s
r d r 4
0
d
2
1
r d r
2
2
4
0
r
2
2 2
1 6 4
2  
 

 


 
  

 
  

 

 
13.【答案】
9
4
【解析】
D
x
y
2
2
d
2
1
d x
x
1x
x
y
2
2
d y
2
1
x
y
2 x
1x
d x
2
1
( x x 3 ) d x
1
2
x 2
1
4
x 4
2
1
9
4
       



     



 .

14.【答案】 (2)
8
【解析】D
1
1
x
x
2
2
y
y
2
2
d
r
2
0
2
4
d
t
1
0
1
0
4
1
1
1
1
0
1
t
1
1
2
r
r
d
2
2
t
t
t
d
r d
t
r
1
0
4
1
2
t
1
0
t
1
2
1
1
d
2
t
1
0
t
t 2
1
1
d t
4
r
r
2
2
a
d
r
r
c s
2
i n t 1
0
d (1 t 2
   










4






2





1





2 t


1
0







4





2







1







8

(   2 )
  1
0 2 1

 t
)
2

15.【答案】 1 4 a 4
【解析】
2 2 ( x y ) d
D
3
a
3
a
3
a
2
3
a
a
a
d
a
y
1
3
2
y
y
a
3
y
y
3
y
(
a
2
a
2
x
a
2
2
y
a
y
2
2 y
2
y 2
1
3
)
1
3
d
(
x
y
a 3
a
d
3 a
a
3 )
y
d y
1
3
x 3 x y 2
y
y a
d y     


















1
3
a 3




y


3
a
a




1 4 a 4




16.【答案】
2
3
 ( b 3  a 3 )
【解析】
D
x 2 y 2 d
2
0
d
b
a
r r d r 2
1
3
r 3
b
a
2
3
( b 3 a 3 ) .       

       
4
17.【答案】
3
【解析】
 2y
1 2y 1 1 
m(x2  y2)d dy (x2  y2)dx  x3  y2x  dy
D
0 y 0 3 
y

1
11 7   1 2 7 


(2 y)3 2y2  y3

dy 

 (2 y)4  y3  y4

03 2   12 3 12 
0
4

3
7
18.【答案】
2【解析】记 D  { ( x , y )∣ 0  x  1 , 0  y  1 } ，由 2 x  3 y  z  6 可得 z  6  2 x  3 y ，则
V 


 D
1

0
9 
2 
( 6
( 6
x

y


2
x
x
2
2
x


y
1
0
3


y )
3
2
7
2
d x
y
d
2
y
)
1
0

d x

1
0

d
1
 x
0
 1


0 
(
9
2
6


2
2
x
x


d x
3 y ) d y
19.【答案】
1 7
6
【解析】记 D  { ( x , y )∣ x  y  1 , x  0 , y  0 } ，由 x 2  y 2  6  z 可得 z  6  x 2  y 2 ，
则
1x
1 1x 1 1
V (6x2  y2)dxdy  dx (6x2  y2)dy  (6yx2y y3) dx
0 0 0 3
D 0
1
1 1   1 1 1 
 6(1x)x2 x3  (x1)3 dx 3(1x)2  x3  x4  (x1)4
   
0 3   3 4 12 
0
17

6
9-2 基础真题
1.【答案】C
【解析】定积分是一常数，因此，令 f(u,v)dudv A，则 f(x,y) xy A
D
两边在 D 上取二重积分，则
A   D f ( x , y ) d x d y   D x y d x d y  A  D d x d y  
1
0
x d x 
x
0
2
y d y  A 
1
0
x 2 d x 
1
1
2

1
3
A
解得 A 
1
8
.
2.【答案】A
【解析】如图所示， OAB所围区域记为D ，
2
 O B C 所围区域记为D .
3由于 x y 关于x是奇函数，积分域 D
2
关于 y 轴对称，则 D 2 x y d x d y  0 ，同理
D 3 x y d x d y  0 . 从而  D x y d x d y  D 2 x y d x d y + D 3 x y d x d y  0 . 又 c o s x s i n y 是 y 的奇函数，
D 关于
3
x 轴对称，则cosxsin ydxdy 0，又cosxsin y 是
D
2
x 的偶函数，D 关于y 轴
2
对称，则 D 2 c o s x s i n y d x d y  2 D 3 c o s x s i n y d x d y ，从而有
 D c o s x s i n y d x d y  D 2 c o s x s i n y d x d y + D 3 c o s x s i n y d x d y  2 D 1 c o s x s i n y d x d y
故  D ( x y  c o s x s i n y ) d x d y  2 D 1 c o s x s i n y d x d y .
3.【答案】A
【解析】由于在区域D上，x2  y2 1，所以 1  x 2  y 2  x 2  y 2  ( x 2  y 2 ) 2  0 ，
又由于当 u  [ 0 , 1 ] 时，cosu是单调减少函数，所以
cos x2  y2 cos(x2  y2)cos(x2  y2)2
由二重积分的性质知
D
c o s x 2 y 2 d
D
c o s ( x 2 y 2 ) d
D
c o s ( x 2 y 2 ) 2 d               .
故选项（A）正确.
4.【答案】A
【解析】因为 F ( u , v )
D
uv
f ( x
x
2
2
y
y
2
2
)
d x d y
v
0
d
u
1
f ( r
r
2 )
r d r v
u
1
f ( r 2 ) d r    


     ，
F
故
vf(u2).
选项（A）正确.
u5.【答案】
e
2
 1
【解析】联立y  x和 y  x3 ，可解得两曲线的交点横坐标 x  0 和 x  1 ，于是
 D e x 2 d x d y   1
0
d x  x
3 x
e x 2 d y   1
0
( x  x 3 ) e x 2 d x  e
2
 1 .
6.【答案】
1
5
4 4
【解析】原式   
0
 e  y 2 d y  1213 y
y
x d x  1
2
 
0
  1
4
y  1
9
y  e  y 2 d y 
7
5
2
 
0
 y e  y 2 d y 
1
5
4 4
.
7.【答案】
a
3
b
0
2
【解析】由
x
a

y
b
 1 ，得 y  b

1 
x
a

2
. 因此
I   D y d x d y  
a
0
d x 
b
0
1  xa 2
y d y  
a
0
d x
 1
2
y 2
 b
0
1  xa 2

b
2
2

a
0

1 
x
a
 4
d x
x
令t 1 ，有
a
x  a (1  t ) 2 ， d x   2 a ( 1  t ) d t ，故
I 
b
2
2

0
1
t 4 2 a ( t  1 ) d t  a b 2 
1
0
( t 4  t 5 ) d t  a b 2
 5 t
5

6 t
6

1
0

a
3
b
0
2
.
8.【答案】
π
2

l n 2 
1
2

【解析】利用极坐标.
原式=
π2
0
d
1
0
1
1
r
r
2
2
r d r
π
2
1
0 1
2
r 2
1 r d r
π
2
l n ( 1 r 2 )
1
2
r 2 10
π
2
l n 2
1
2
  


 






 





9.【答案】
 1
a 2

1
b 2
 π R
4
4
【解析】方法一：利用极坐标进行计算.2 2 x y
d x d y
2 2 a b
D
2
0
R
4
π
4
d
2
0
π
R
0
1
a
r
a
2
2
2
c o
c o
2 s
s 2
1
b
r
b
2
2
2
s i
s
n
i n
2
2
d
r d r
1
a 2
1
b 2
π R
4
4
  
  
 


















【解析】方法二：由轮换对称性可知，
 x2 y2   y2 x2  1  x2 y2   y2 x2 
   dxdy     dxdy      dxdy
a2 b2  a2 b2  2 a2 b2  a2 b2 
D D D
1 1 1 




(x2  y2)dxdy
2a2 b2 
D
1 1 1  2π R  1 1 πR4
   d r3dr  
   
2a2 b2  0 0 a2 b2  4
10.【答案】
3
2
π
1 1
【解析】作平移变换，令u  x ,v y ，将偏心圆D：
2 2
2 2
 1  1 3
 x    y   ，
 2  2 2
转化为标准圆 D
u v
: u 2  v 2 
3
2
，于是
 D ( x  y ) d x d y  D uv ( u  v  1 ) d u d v  D uv ( u  v ) d u d v  D uv d u d v  0 
3
2
π 
3
2
π
11.【答案】
1 0
9
2
【解析】原式
0
π4
d
2
0
c o s
r r d r
8
3
π4
0
c o s 3 d
8
3
π4
0
( 1 s i n 2 ) d ( s i n )

      

      
8
3
s i n
1
3
s i n 3
π4
0
1 0
9
2   



 .
8
12.【答案】
15
【解析】
π cos π 1 cos 3 4 π 8
 xdxdy 2 d rcosrdr 2 cos2d r2dr  2cos3d
 π 0  π 0 5 0 15
D 2 2π
13.【答案】
2
【解析】
I 


  
 
1 
2
 
2  y e d
   e
 
   2 e
 
y  y
 
2  2 y d
2 x d x
x
y

e 


2 x
1
2
2
d

x 
  
 
  e
0

e

   x e
 
2  2 x d x
2 2 x d x
2 d x  x
 
y e  y 2 d y
令 2 x 2  t ，则 x 
1
2
t
12
， d x 
2
1
2
t
 12
d t ，故
I  
1
2


0

e  t  t
 12
d t  
1
2

 1
2

 
1
2
 π  
π
2
.
14.【答案】e1
【解析】设 D
1
 { ( x , y ) 0  x  1 , 0  y  x } ， D
2
 { ( x , y ) 0  x  1 , x  y  1 } ，
则
 D e m 2 a x { x 2 ,y } d x d y 



D
D


1
1
1
0
1
0
e
e
d
x
m
x
x
e
2 a x { x
2 d x d
x  e
0
2 x d x
2 ,y } d
y 
2 x d y
 
x d
 
D
2

1 y
0
y
e

e
2 m a x { x    e
D
2
2 y d x d y
1 y 2 y  d y e d x
0 0
2 y d y  e  1
,y 2 } d x d y
15.【答案】
3
8
【解析】
π
42
xy[1x2  y2]dxdy  2d r2sincos[1r2]rdr
0 0
D
π
42
 2sincosd r3[1r2]dr
0 0
π
1 2  1 42 
 sin2  r3dr 2r3dr
2  0 1 
0
11 1 3
  =
 
24 2 816.【答案】 
2
1
d x 
1
0
 x
f ( x , y ) d y
【解析】本题考查的知识点是将二次积分转换为二重积分，然后交换次序.

0
 1
d y 
1
2
 y
f ( x , y ) d x   
0
 1
d y 
2
1  y
f ( x , y ) d x    D f ( x , y ) d x d y ，
其中 D  { ( x , y ) 1  y  x  2 ,  1  y  0 }  { ( x , y ) 1  x  y  0 , 1  x  2 } .
故 
0
 1
d y 
1
2
 y
f ( x , y ) d x    D f ( x , y ) d x d y   
2
1
d x 
0
1  x
f ( x , y ) d y  
2
1
d x 
1
0
 x
f ( x , y ) d y .
17.【答案】 
12
0
d x 
x
2 x
f ( x , y ) d y
【解析】画出积分区域 D 的草图，如图所示，便可得到先对 y 积分，后对 x 积分的二次积
分.
18.【答案】D
【解析】因为从 x 2  y 2  2 y 解出 y  1  1  x 2 ，它们分别是内层积分的上、下限.故选
项（A）可排除；
把直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分时，面积元素drdrd，故选
项（C）可排除；
由于 f xy 关于 y 轴的奇偶性是位置的，故选项（B）可以排除，于是应选（D）.
当然，将二重积分化为极坐标系下的二次积分可直接得到（D）. 因为区域D：
π 2sin
02sin，0π，故 f(xy)dxdy d f(r2sincos)rdr.
0 0
D19.【答案】C
【解析】题中二重积分得积分区域 D 如图所示，
其在直角坐标系下， D 

( x , y ) y  x  1  y 2 , 0  y 
2
2 
，故应选（C）.
20.【答案】B
【解析】画出该二重积分所对应的积分区域 D :
π
2
 x  π ，sinx y1
交换为先x后 y ，则积分区域可化为： 0  y  1 ， π  a r c s i n y  x  π .
π 1 1 π
所以 dx f(x,y)dy  dy f(x,y)dx，因此选项（B）正确.
π
sinx 0 πarcsiny
2
9-3 拓展拔高
1.【答案】C
【解析】D关于 x 轴及 y 轴对称，若m为奇数，则xnym为关于 y 的奇函数，
 xnymd0；若n为奇数，则xnym为关于x的奇函数，  xnymd0；故
x2y21 x2y21
m,n中至少有一个为奇数即可，选（C）.
2.【答案】D
【解析】令 f(u)ueu，则当u1时， f(u)(1u)eu 0，故 f(u)在(,1]上单
O
y
1
x 
2
D
调增加；因为当(x,y)D时， x  1 , y  1 ，所以当 ( x , y )  D ，且 ( x , y )  ( 0 , 0 ) ，
x  y  1 时， x 3  y 3  x 2  y 2  | x |  | y | 1 ，从而
( x 3  y 3 ) e  x 3  y 3  ( x 2  y 2 ) e  x 2  y 2  ( x  y ) e  x  y ，即 I
3
 I
2
 I
1
，故应选（D）.
3.【答案】B
【解析】积分区域 D
1
, D
2
, D
3
如图所示，
显然， D
3
 D
2
 D
1
；由于 4 x 2  y 2  4  0  ( x , y )  D
2
且4x2  y2 4，故
D
 
D
2 3
( 4 x 2  y 2  4 ) d x d y  0 ，
从而 I
2
 D 3 ( 4 x 2  y 2  4 ) d x d y 
D
 
D
2 3
( 4 x 2  y 2  4 ) d x d y  D 3 ( 4 x 2  y 2  4 ) d x d y  I
3
，
由轮换对称性，得
D
1
D
3
( 4 x 2 y 2 4 ) d x d y
5
2
5
2
D
1
D
2 π
0
(
3
d
x 2
2
1
r
y
3 d
2 )
r
d x d
4
y
3 π
4
D
1
D
7 5
4
3
d
π
x d y
1 2 π
2 7
4
π 0 
    

 
 

 


 
  
故 I
1
 D 3 ( 4 x 2  y 2  4 ) d x d y 
D
 
D
1 3
( 4 x 2  y 2  4 ) d x d y  D 3 ( 4 x 2  y 2  4 ) d x d y  I
3
，于
是， I
2
 I
3
 I
1
，选（B）.
4.【答案】C
【解析】由题意画图，D
2
  ( x , y ) | x 2  ( y  1 ) 2  1  ， D
3
 { ( x , y ) | x 2  ( y  1 ) 2  2 } ，又
f ( x , y )  ( 2 y  x 2  y 2 ) e  x 2  y 2 ，于是点 ( x , y ) 在D 内部时，
2
f ( x , y )  0 ；点 ( x , y ) 在
D
2
外部且在 D
3
内部时， f ( x , y )  0 ；
所以 I
1
D
1
f ( x , y ) d
D
2
f ( x , y ) d
D
1
D
2
f ( x , y ) d
D
2
f ( x , y ) d I
2
                 ；
I   f(x,y)d  f(x,y)d  f(x,y)d  f(x,y)dI ；
3 1
D D D D D
3 1 3 1 1
故I I I ，选（C）.
3 1 2
5.【答案】D
【解析】 D
1
: x 2  y 2  1 ，D :x2  y2 ( 2)2为圆域，
2
D
3
:
(
x 2
2 ) 2
 y 2  1 ，
y2
D :x2  1为椭圆域，关系如图所示，
4 ( 2)2
 1 
被积函数 f(x,y)1  x2  y2 为连续函数，在
 2 
D
4
上 f ( x , y )  0 ，而 D
4
区域外
f ( x , y )  0 ，所以
I  f(x,y)d f(x,y)d  f(x,y)d  f(x,y)d I ；
4 1
D D D D D
4 1 4 1 1同理 I
4
D
4
f ( x , y ) d
D
2
f ( x , y ) d
D
2
D
4
f ( x , y ) d
D
2
f ( x , y ) d I
2
                 ；
D 与D 的公共部分记为
4 3
D * ，D 内的其余部分
4
f ( x , y )  0 ，而D 内的其余部分
3
f ( x , y )  0 ，所以I I ，故maxI ,I ,I ,I  I ，选（D）.
4 3 1 2 3 4 4
6.【答案】A
【解析】由于平面域D既关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称，且tanxy2是关于 x 的奇函
数， x 2 y 是关于 y 的奇函数，则  D t a n x y 2 d x d y  0 ，  D x 2 y d x d y  0 ，
I
1
  D 2 x 2 d x d y ， I
2
  D 2 t a n y 2 d x d y ，又由于平面域D关于 y  x 对称，则
I
2
  D 2 t a n y 2 d x d y   D 2 t a n x 2 d x d y   D 2 x 2 d x d y  I
1
；
I
3


 D
 D
(
2
x
x
y
2 d

x d
y
y
2 )

d x
I
d
1
y   D
 x 2 
2
y 2
 y 2

d x d y   D
 x 2 
2
x 2
 x 2

d x d y
则I I I ，故选（A）.
3 1 2
7.【答案】
3
4
x 2  y 2  y 2
【解析】因 f ( x , y ) 连续，从而 f ( x , y ) 在区域 x 2  y 2  1 上可积，设
x 2 y 2 1
f ( x , y )d A   

 ，
则 f ( x , y ) 
A
π
x 2  y 2  y 2 ，两边在D上积分得：
 A  A
A   x2  y2  y2 d  x2  y2d  y2d
   
x2y21 x2y21 x2y21
A 2 1 2 1 2  2 
  d r2dr d r3sin2dr  A2sin2d A
 0 0 0 0 3 0 3 4
得： A 
3
4

3
，故 f(x,y) x2  y2  y2.
4
8.【答案】C
1 1
【解析】由题意y  x 可写为
2 4
x  y 2  y ； y  x  1 可写为 x  y  1 ，积分区域如
1 y1
图所示，故交换积分次序后为 dy f(x,y)dx.
1 y2y9.【答案】
1
1
6
5
【解析】如图所示，令 D
1
 { ( x , y ) | 0  x  1 , 0  y  1 } ，由二重积分得对称性得：
I
D
x y d 2
D
1
x y d           .
再令 D
1 1
 { ( x , y ) | 0  x  1 , 0  y  x } ， D
1 2
  ( x , y ) | 0  x  1 , x  y  1  ，则
I 2
D
11
x y d
D
12
y x d 2 ( I
1
I
2
)   

      

 
而
x
1 x 1 x 1 2 1 3 2 1 3 4
I  dx x ydy dx (x y)2d(x y)  (x y)2 dx  x2dx
1 0 0 0 0 3 0 3 0 15
0
1
1 1 1 1
I  dx yxdy dx (yx)2d(yx)
2
0 x 0 x
1 1
2 1 3 2 1 3 4 5 4
  (yx)2 dx  (1x)2dx (1x)2 
3 0 3 0 15 15
x 0
16
故I 2(I I ) .
1 2 15
10.【答案】D
【解析】在积分区域内补充一条曲线: y   t a n x ，这样就使得积分区域被分为两个部分，5   ( x y  1 )d x d y
D


 D
 
D 上
x
x
5
5
y
y
d
d
x
x
d
d
y
y


 D
 
D 下
d
x
x
5
d
y
y
d

x d
D
y

上

D
下
 D
x
d
5
x
y
d
d
y
x d y   D d x d y
（其中 D
上
为区域 D 在 x 轴上方的部分， D
下
为区域 D 在 x 轴下方的部分），上面的部分关
于y轴对称，被积函数 x 5 y 是关于 x 的奇函数，所以 D 上 x 5 y d x d y  0 ，同理 D 下 x 5 y d x d y  0 ，
故  D ( x 5 y  1 )d x d y    D 1 d x d y  

2
，故选（D）.

11.【答案】
48
【解析】如图所示，用直线 y  x 将D划分为 D
1
和 D
2
两部分，则D 关于
1
y 轴对称， D
2
关
于x轴对称，于是
 D
 D
1
1

1
x

2 (
x
s
2
i n
( s
( x
i n
y
(
)
x

y )
x

y 2 )d
2 x y
x d
)d
y
x d y  D 2 1  x 2 ( s i n ( x y )  x y 2 )d x d y



0
2
3
2
3



  x
D
2
1
4 x
0

( s i 20
y
n
2
1
4

t
1
x


2
s
x
d x
i n
1
2  d x d y  2
0
x  s i n t
2 3 
6 t )d t  
3 4 
d

x


2
3
1
2
x
0


2 x y

s i 20


2
n
5
6
1
4

t c
3

4
2 x d
2 o s
1

2
y
td t


2



4 8
.
12.【答案】 a 3 
a
8
3

【解析】I(a)的积分区域如图阴影部分所示，设D 为由xa，x0，ya，
1
y axx2 所围成，因 D 关于 x 轴对称，则  D y d x d y  0 ，xdxdy2xdxdy，而
D D
1x d x d y
D
1
a
0
3 a
2
3 a
2
x d
a
x
0
c 20
3 a
3
d y
o s
3
4
1
2
d 2
0
3 r
3
2
a
0
a co
0
co s
3 a
2
s
r
d
a
1
2
3
6
c o s
a
2
3
d r
a
3
3
20 c o s 4 d

 

   
  























 

于是 I ( a )  2  D
1
x d x d y  0  a 3 
a
8
3
 .
13.【答案】
3 2
9
 2 3 
2
9

【解析】积分区域 D 关于 y 轴对称，设 D
1
为 D 在 y 轴右侧的部分，则由对称性可知
 D ( x 2  y 2  x )d x d y  2  D
1
x 2  y 2 d x d y
2
1
1
6
3
6
3
60 d
1
3
c
3
2 sin
0
3 o s
3
8
r 2
2
3
d
c
r
o s
2
2
9
2
6
6
0
d
2
9
3 2
9
1
0
r 2 d
2
r
3
1 6
3
2
9
60 s i n 3 d
2
9

   
 













 
















 
14.【答案】D
【解析】在二重积分I 中积分区域D被直线yx分割成关于yx对称的两个部分区域
D {(x,y)|0x1,0 yx}，
1D
2
 { ( x , y ) | 0  x  1 , x  y  1 }  { ( x , y ) | 0  y  1 , 0  x  y } ，被积函数 f ( x , y ) 关于变量
x , y 对称，即 f ( x , y )  f ( y , x ) ，从而
D 1 (1 x
d
2 y 2 )
32
D 2 (1 x
d
2 y 2 )
32
 
 
 
  
 
d d
故I  2 ；设
3 3
D (1x2  y2)2 D 1 (1x2  y2)2
x r c o s , y r s i n     ，在极坐标系 ( r , ) 
中 D
1
可表示为 ( r , ) 0
4
, 0 r
c o
1
s

 


∣    

，所以
I 2
2
2
40
2
d
40
2
2 a
1
co s
0
(1
1
2 1 r
d s
40
2
1
r c s i n
2
r d
r
1
co s
0
i n
s i n
r
2
2
2
)
d
32
3
d 40
2 40
2
2
6
1
a
1
co s
0
r c s i
d
(1
1
n
(1
r
c o s
c o
s i n
2
2 r )
3
2 ) 2
2 s
4
0
?d
   
 
 

 


































 







故选（D）.
15.【答案】C
【解析】
由于积分区域D分别关于 x 轴和 y 轴对称，而被积函数 f ( x , y )  x  y 分别是自变量
x 与 y 的偶函数，若记D 是D在第一象限的部分，即
1
D
1
 { ( x , y ∣) x  0 , y  0 , x  y  1 }  { ( x , y ∣) 0  x  1 , 0  y  (1  x ) 2 }
则( x  y )dxdy4( x  y )dxdy4( x y)dxdy，
D D D
1 1
又因积分区域D 关于直线
1
y  x 对称，从而又有 xdxdy ydxdy，
D1 D2
于是1 (1 x)2
( x  y )dxdy8 xdxdy8 dx xdy
0 0
D D
1
1 1
8 x(1 x)2dx8 x(12 x x)dx
0 0
1
1 3 2 3 2 5 
8 ( x 2xx2)dx8 x2 x2  x2
0  3 5 
0
2 2 2 1 8
8 1 8  
3 5 5 3 15
故选（C）.
16.【答案】
3
3

2
【解析】如图所示
D 关于 y  x 对称，则
D
( x y )d
D
( y x )d          ，
故
D
( x y )d
1
2
D
( x y y x )d 0            
于是
( x y 1 )d
D
3
1
D
0
s
2
20
d
i
s
n
i
3
n
td
4 t
1
0
( c o
(1
d x
3 s
s i
f
0
t )
2 n
(x )
t )
d
d
y
0
2
t
s i n
3
3
1
0
t
f ( x ) d
3 c o s
3 1
4 2
x
2 t
2
( s
5
6
i n
3
4
t ) d
1
2
t
2
3
      


 




 


 







 




  
 

3

2