笔记小节19_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（19） 19 二重积分（概念、性质、计算方法及举例） P213-222 主讲 武忠祥 教授第九章 二重积分 本章内容要点 一. 考试内容概要 (一）二重积分的概念与性质 （二）二重积分计算 二. 常考题型方法与技巧 题型一 累次积分交换次序及计算 题型二 二重积分计算考试内容概要 (一)二重积分的概念及性质 1.二重积分的概念 n 定义1  f (x, y)d  lim  f (x , y ) . i i i 0 D i1 几何意义 2.二重积分的性质 性质1（不等式） (1) 在 上若 f (x, y)  g(x, y) , 则 D  f (x, y)d   g(x, y)d, D D则 (2) 若在 上有 D m  f (x, y)  M , mS   f (x, y)d  MS, D 其中 为区域 的面积。 S D （ 3 ） f (x, y)d   | f (x, y) | d. D D 性质2（中值定理）设函数 f (x, y) 在闭区域 上连续， D S 为区域 D 的面积,则在 D 上至少存在一点 (,), 使得  f (x, y)d  f (,) S D （二) 二重积分的计算 1．利用直角坐标计算 b  (x) 1）先 y 后 x  f (x, y)d   dx  2 f (x, y)dy a  (x) 1 Dd  ( y) 2）先 x 后 y  f (x, y)d   dy  2 f (x, y)dx c  ( y) 1 D 2．利用极坐标计算   () 1）先  后   f (x, y)d   d 2 f (cos,sin)d   () 1 D 【注】适合用极坐标计算的二重积分的特征 （1）适合用极坐标计算的被积函数: y x f ( x 2  y 2 ), f ( ), f ( ); x y （2）适合用极坐标的积分域: 如 x 2  y 2  R 2 ; r 2  x 2  y 2  R 2 ; x 2  y 2  2ax; x 2  y 2  2by;3．利用对称性和奇偶性计算 1) 若积分域 关于 轴对称, 则: D y  2  f (x, y)d; f ( x, y)  f (x, y)   f (x, y)d   D x0 D   0; f ( x, y)   f (x, y) 2) 若积分域 关于 轴对称, 则: D x  2  f (x, y)d f (x, y)  f (x, y)   f (x, y)d   D y0  D  0 f (x, y)   f (x, y)4．利用变量对称性计算 若 关于 y  x 对称, 则  f (x, y)d   f ( y, x)d.` D D D常 考 题 型 与 典 型 例 题 常考题型 1.累次积分交换次序或计算 2.二重积分计算 一.累次积分交换次序或计算 1 2x 【例1】 交换累次积分 的次序  dx f (x, y)dy ___________. 2 0 x【例2】(2009年,2) 设函数 f (x, y) 连续, 则 2 2 2 4y  dx f (x, y)dy   dy f (x, y)dx  （ C ） 1 x 1 y （A） 2 4x （B） 2 4x  dx f (x, y)dy.  dx f (x, y)dy. 1 1 1 x （C）  2 dy 4y f (x, y)d x . （D） 2 2  dy f (x, y)dx. 1 1 1 y cos 【例3】(1996年,3) 累次积分  2 d f (cos,sin)d 0 0 可以写成 (D) 1 yy 2 1 1y 2 （A）  dy f (x, y)dx （B）  dy f (x, y)dx 0 0 0 0 1 1 1 xx 2 （C） （D）  dx f (x, y)dy  dx f (x, y)dy 0 0 0 0tan x 1 1 【例4】(2017年2) 积分  dy  dx  ___________ . 0 y x [lncos1]【例5】 积分  2 dx 2xx 2 x 2  y 2 dy 的值等于 ___________. 0 0 16 [ ] 9二. 二重积分计算   【例6】(2008年,3) 设 D  (x, y) x 2  y 2  1 , 则  (x 2  y)dxdy  _________ .  [ ] 4 D【例7】(1991年,1,2) 设 D 是 xOy 平面上以 (1,1),(1,1) 和 (1,1) 为顶点的三角形区域， D 是 D 在第一象限的部分,则 1  (xy  cos x sin y)dxdy  D （A） 2cos xsin ydxdy. （B） 2 xydxdy. D D 1 1 （C） 4 (xy  cos x sin y)dxdy . （D）0. D 1【例8】(2006年,3) 计算二重积分  y 2  xydxdy, 其中 D D 是由直线 y  x, y  1, x  0 所围成的平面区域. 1 y 【解】 原式   d y  y 2  xy d x 0 0 y 3 2 1   y( y  x)2 d y 0 3 0 2 2 1   y 2 d y  . 3 0 9【例】(2018年,3)设平面区域 D 由曲线 y  3(1  x 2 ) 与直线 y  3x 及 y 轴围成,计算二重积分  x 2 dxdy. [ 3 (  1)] 16 2 D 1 3(1x 2 ) 【解】  x 2 dxdy   2 dx  x 2 dy 0 3x D 1  3  2 x 2 ( 1  x 2  x)dx 0  【例9】(2017年2）已知平面域 D  (x, y) | x 2  y 2  2 y 计算二重积分 I   (x  1) 2 d xdy. D 【解】 I   (x 2  2x  1)d x d y D  2x d x d y  0 D  2sin I   (x 2  1)d x d y  2  2 d 2 cos 2d 0 0 D   8  2 sin 4cos 2d 0   8  2 sin 4(1  sin 2)d 0 3 1  5 3 1  5  8(       )    4 2 2 6 4 2 2 4【例10】(2005年,2,3) 计算二重积分  x 2  y 2  1d, D 其中 D  {(x, y)0  x  1,0  y  1}. 【解】 如图所示，将 分成 与 D D 1 两部分. D 2  | x 2  y 2  1| d   (1  x 2  y 2 )d D D 1   (x 2  y 2  1)d. D 2   (1  x 2  y 2 )d [  (x 2  y 2  1)d  (x 2  y 2  1)d] D D D 1 1  2  (1  x 2  y 2 )d  (x 2  y 2  1)d] D D 1   1  (1  x 2  y 2 )d   2 d (1  2 )d , 0 0 8 D 11 1  (x 2  y 2  1)d   d x  (x 2  y 2  1)d y 0 0 D  2 1 1    x 2  d x   0 3 3  1 因此  | x 2  y 2  1| d   . 4 3 D  【例11】(14年2,3) 设平面域 D  (x, y)1  x 2  y 2  4, x  0, y  0 , xsin( x 2  y 2 ) 计算  dxdy. x  y D 【解1】由于积分域 关于直线 y  x 对称，则 D x sin( x 2  y 2 ) ysin( x 2  y 2 )  dxdy   dxdy x  y x  y D D 1 x sin( x 2  y 2 ) ysin( x 2  y 2 )  [  dxdy   dxdy] 2 x  y x  y D D 1    s i n ( x 2  y 2 )dxdy 2 D  1 2   2 d sin()d 2 0 1 1 3 2    d cos()   4 1 4x sin( x 2  y 2 )  cos 2 【解2】 dxdy   2 d sin()d x  y 0 cos sin 1 D   cos sin 由于  2 d   2 d 0 cos sin 0 cos sin  1 cos sin    2 d 2 0 cos sin 4 2 1 1 3 2  sin()d (cos sin)      1 1 x sin( x 2  y 2 ) 3 故  dxdy   x  y 4 D  【例12】(13年2,3）设 是圆域 在第 D D  (x, y) x 2  y 2  1 k k 象限的部分，记 I   ( y  x)dxdy (k  1,2,3,4), 则（ ） k D k （A） I  0 . （B） I  0 . （C） I  0 . （D） I  0. 1 2 3 4 【例】(2019年2）已知平面域 D  {( x, y) | x  y  }, 记 2 I   x 2  y 2 d, I   sin x 2  y 2 d, I   (1  cos x 2  y 2 )d 则 1 2 3 D r D sin r D 1  cos r (B) √ (A) I  I  I I  I  I 3 2 1 1 2 3  (C) I  I  I (D) sin x  x  tan x (0  x  ) I  I  I . 2 1 3 2 3 1 2   【解 1 】令 x 2  y 2  r (0  r  ), 【解 2 】代点 r  2 2 sin r  r    sin  1 1  cos  1 2 2 2 sin r  sin 2 r  1  cos 2 r  1  cos r 【例】(2019年2）已知平面域 D  {( x, y) | x  y  }, 记 2 I   x 2  y 2 d, I   sin x 2  y 2 d, I   (1  cos x 2  y 2 )d 则 1 2 3 D r D sin r D 1  cos r (B) √ (A) I  I  I I  I  I 3 2 1 1 2 3 I  I  I (D) I  I  I . 2 1 3 3 1 2 【解 3 】代点 r  0 【解 4 】等价代换 【解 5 】泰勒展开 (r)   1 sin r  r r 3 r sin r  r -   (sin r)   cos r sin r ~ r 3 2 2 2 r r r (1  cos r)   sin r 1  cos r ~ 1  cos r  1  [1   ]    2 2 2