笔记小节08_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（8）
8 微分中值定理（罗尔，拉格朗日，柯西）；泰勒公式；函数的单调 P83-91
性，极值，曲线的凹向、拐点及渐近线，导数在经济学中的应用
主讲 武忠祥 教授第三章 微分中值定理及导数应用
本节内容要点
一. 考试内容概要
（一）微分中值定理
（二）导数的应用二. 常考题型与典型例题
题型一 函数的极值和最值，曲线的凹向与拐点
题型二 曲线的渐近线
题型三 方程的根
题型四 不等式的证明
题型五 中值定理的证明题第三章 微分中值定理与导数的应用
考试内容概要
（一）微分中值定理
定理1（费马引理）
如果函数 在 处可导,且在 处取得极值,那么
f ( x) x x
0 0
f  (x )  0.
0
定理2（罗尔定理）
若 1） 在 上连续；
f (x) [a,b]
2） 在 内可导；
f (x) (a,b)
3） f (a)  f (b);
则  (a,b), 使 f  ()  0.定理3（拉格朗日中值定理）
若 1） 在 上连续；
f (x) [a,b]
2） 在 内可导；
f (x) (a,b)
则  (a,b), 使
f (b)  f (a)
 f  ().
b  a
定理4（柯西中值定理）
若 1） 在 上连续；
f (x), F(x) [a,b]
2） 在 内可导,且
f (x), F(x) (a,b) F  (x)  0;
则  (a,b), 使
f (b)  f (a) f  ()

F (b)  F (a) F  ()定理5（皮亚诺型余项泰勒公式）
设 在 x 点 阶可导,那么
f ( x) n
0
(n)
f (x )
f (x)  f (x )  f  (x )(x  x )    0 (x  x ) n  R (x)
0 0 0 0 n
n!
其中 R (x)  (x  x ) n , (x  x )
n 0 0
若 x  0, 则得麦克劳林公式
0
 (n)
f (0) f (0)
f (x)  f (0)  f  (0)x  x 2   x n  R (x)
n
2! n!
定理6（拉格朗日型余项泰勒公式）
设 在含 的区间 内 阶可导, 那么对
f ( x) x (a,b) n  1
0
至少存在一个 使
x  (a,b), ,
(n)
f (x )
f (x)  f (x )  f  (x )(x  x )    0 (x  x ) n  R (x)
0 0 0 0 n
n!
f (n1) ()
其中 R (x)  (x  x ) n1 ,  在 x 与 x 之间.
n (n  1)! 0 02 n
x x
(1) e x  1  x      o(x n )
2! n!
x 3 (1) n1 x 2n1
(2) sin x  x      o(x
2n1
)
3! (2n  1)!
x 2 (1) n x 2n
(3) cos x  1      o(x 2n )
2! (2n)!
x 2 (1) n1 x n
(4) ln(1  x)  x      o(x n )
2 n
( 1) ( 1)( n  1)
(5) (1  x)   1 x  x 2    x n (x n )
2! n!（二）导数应用
1.函数的单调性
定理7 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 在 内可导。
(a,b)
1）若在 (a,b) 内 f  ( x)  0, 则 f ( x) 在 [a,b] 上单调增；
2）若在 (a,b) 内 f  ( x)  0, 则 f ( x) 在 [a,b] 上单调减；
2.函数的极值
，使得
定义（极值）若
  0
x U(x ,) 恒有 f (x)  f (x ) ，则称 在 取极小值.
f ( x) x
0 0
0
x U(x ,) 恒有 f (x)  f (x )，则称
f ( x)
在
x
取极大值.
0 0
0定理8（极值的必要条件）
若 f ( x) 在 x 处可导，且在 x 处取得极值，则
0 0
f  ( x )  0
0定理9（极值的第一充分条件）

设 f ( x) 在 U(x ,) 内可导,且 f  ( x )  0 （或 f ( x) 在 x 处连续）
0 0
0
（1）若 x  x 时， f  ( x)  0; x  x 时， f  ( x)  0, 则 f 在
0 0
x 处取极大值.
0
（2）若 x  x 时， f  ( x )  0; x  x 时， f  ( x)  0, 则 f 在
0 0
x 处取极小值.
0
（3）若 f  ( x) 在 x 的两侧不变号，则 f 在 x 无极值.
0
0定理10（极值的第二充分条件）设 f  (x )  0, f  (x )  0
0 0
（1）当 f  (x )  0, f (x) 在 x 处取极大值.
0 0
（2）当 f  (x )  0, f (x) 在 x 处取极小值.
0 03.函数的最大最小值
（1）求连续函数 在 上的最值
f ( x) [a,b]
第一步：求出 在 内的驻点和不可导的点
f (x) (a,b)
x , x , x ;
1 2 n
第二步：求出函数值
f (x ), f (x ), f (x ), f (a), f (b);
1 2 n
第三步：比较以上各点函数值.
【注】 若连续函数 在 内仅有唯一极值点，
f (x) (a,b)
（2）最大最小值的应用题
第一步：建立目标函数
第二步：4.曲线的凹凸性
x  x f (x )  f (x )
定义 3
凹 f ( 1 2 )  1 2
2 2
x  x f (x )  f (x )
凸
f ( 1 2 )  1 2
2 2
定理 11 若在区间 I 上 f  (x ） 0 ( 0) ，则曲线
在 上是凹（凸）的。
y  f (x) I
定义4（拐点）
判定（必要条件与充分条件）
5.曲线的渐近线
1)若 lim f ( x)  A ( lim f ( x)  A ,或 lim f ( x)  A ）那么
x x x
是曲线 的水平渐近线.
y  A y  f (x)2) 若 lim f (x)   ,那么 x  x 是 y  f ( x) 的垂直渐近线.
0
xx
0
f (x)
3) 若 lim  a , b  lim  f (x)  ax  , 那么 y  ax  b 是
x x x
y  f ( x) 的斜渐近线.
6.函数的作图
7.曲线的弧微分与曲率(数三不要求）

| y |
曲率 （直角）
K 
3
(1 y 2 )2
1
曲率半径 R 
K8. 导数在经济学中的应用（仅数三要求）
1.经济学中常见的函数
1）需求函数： x ( p)
x 为某产品的需求量，其 p 为价格.需求函数的反函数
p  1 (x) 称为价格函数.
2）供给函数： x  ( p)
x 为某产品的供给量， p 为价格.
3）成本函数：
C  C(x)  C  C (x).
1 2
C
为固定成本，
C (x)
为可变成本，x 表示产量.
1 2
C C C (x)
平均成本 AC  C   1  2
x x x4）收益函数
R  R(x)  px
销售量 x 与销售单价 p 之积.
5）利润函数
L  L(x)  R(x)  C(x)
(x ：销售量）
.
2.边际函数与边际分析
1）边际函数：设 y  f (x) 可导，则称 f  (x) 为边际函数，
f  (x ) 称为 f (x) 在 x  x 处的边际值.
0 0
（a）边际成本
MC  C  (q) q 是产量
（b）边际收益 MR  R  (q) q 是产量
（c）边际利润
ML  L  (q) q 是销售量3.弹性函数与弹性分析
①弹性函数：设 y  f ( x) 可导，
y / y x f  (x)
 lim  f  (x)  x
x0 x / x y f (x)
p
（a）需求的价格弹性：    ( p). (  0)
d ( p) d
p
    ( p) (  0)
d ( p) d
（b）供给的价格弹性：
p
   ( p)
s
( p)【例1】(2014)设某商品的需求函数为 Q  40  2 p（ p 为商品的
价格),则该商品的边际收益为 ____________ .
【解】由题设知收益函数为
40  Q
R  pQ   Q
2
则边际收益为
dR
 20  Q
dQ
【注】边际收益是“当商品的需求量在Q 的基础上再增加一件所获得
dR dR
的收益”，所以边际收益为 部分考生错误的将 当作边际收益.
.
dQ dp【例2】(2017)设生产某产品的平均成本
C (Q)  1  e
Q
,
其中产
量为 Q, 则边际成本为 ______________ .
【解】成本
C(Q)  C (Q)Q  Q(1  e
Q
)
dC
边际成本为
 (1  e
Q
)  Qe
Q
 1  (1  Q)e
Q
dQ【例3】(2009)设某产品的需求函数为 Q  Q( p) : 其对应
价格 的弹性 则当需求量为10000件时，价格
p   0.2,
P
增加1元会使产品收益增加 元。
p dQ
【解】由题设知
    0.2
p
Q d p
收益函数
R  Qp
收益微分为
p dQ
d R  pdQ  Qdp  Q(1  )dp  Q(1  )dp
p
Q dp
当 时,产品的收益增加
Q  10000,dp  1
d R  10000  (1  0.2)1  8000 (元)【例4】(2010）设某商品的收益函数为 收益弹性为
R( p),
1 p 3 , 其中 p 为价格, 且 R(1)  1, 则 R( p)  _____ .
p d R
【解】 由题意知 ，即
  1  p 3
R d p
d R  1 
   p 2 d p
R  p 
1
ln R  ln p  p 3  C
3
1
p
3C
1
R( p)  pe3 ，由 得 ，故
R(1)  1 C  
3
1
( p
31)
R( p)  pe3