笔记小节08_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（8） 8 微分中值定理（罗尔，拉格朗日，柯西）；泰勒公式；函数的单调 P83-91 性，极值，曲线的凹向、拐点及渐近线，导数在经济学中的应用 主讲 武忠祥 教授第三章 微分中值定理及导数应用 本节内容要点 一. 考试内容概要 （一）微分中值定理 （二）导数的应用二. 常考题型与典型例题 题型一 函数的极值和最值，曲线的凹向与拐点 题型二 曲线的渐近线 题型三 方程的根 题型四 不等式的证明 题型五 中值定理的证明题第三章 微分中值定理与导数的应用 考试内容概要 （一）微分中值定理 定理1（费马引理） 如果函数 在 处可导,且在 处取得极值,那么 f ( x) x x 0 0 f  (x )  0. 0 定理2（罗尔定理） 若 1） 在 上连续； f (x) [a,b] 2） 在 内可导； f (x) (a,b) 3） f (a)  f (b); 则  (a,b), 使 f  ()  0.定理3（拉格朗日中值定理） 若 1） 在 上连续； f (x) [a,b] 2） 在 内可导； f (x) (a,b) 则  (a,b), 使 f (b)  f (a)  f  (). b  a 定理4（柯西中值定理） 若 1） 在 上连续； f (x), F(x) [a,b] 2） 在 内可导,且 f (x), F(x) (a,b) F  (x)  0; 则  (a,b), 使 f (b)  f (a) f  ()  F (b)  F (a) F  ()定理5（皮亚诺型余项泰勒公式） 设 在 x 点 阶可导,那么 f ( x) n 0 (n) f (x ) f (x)  f (x )  f  (x )(x  x )    0 (x  x ) n  R (x) 0 0 0 0 n n! 其中 R (x)  (x  x ) n , (x  x ) n 0 0 若 x  0, 则得麦克劳林公式 0  (n) f (0) f (0) f (x)  f (0)  f  (0)x  x 2   x n  R (x) n 2! n! 定理6（拉格朗日型余项泰勒公式） 设 在含 的区间 内 阶可导, 那么对 f ( x) x (a,b) n  1 0 至少存在一个 使 x  (a,b), , (n) f (x ) f (x)  f (x )  f  (x )(x  x )    0 (x  x ) n  R (x) 0 0 0 0 n n! f (n1) () 其中 R (x)  (x  x ) n1 ,  在 x 与 x 之间. n (n  1)! 0 02 n x x (1) e x  1  x      o(x n ) 2! n! x 3 (1) n1 x 2n1 (2) sin x  x      o(x 2n1 ) 3! (2n  1)! x 2 (1) n x 2n (3) cos x  1      o(x 2n ) 2! (2n)! x 2 (1) n1 x n (4) ln(1  x)  x      o(x n ) 2 n ( 1) ( 1)( n  1) (5) (1  x)   1 x  x 2    x n (x n ) 2! n!（二）导数应用 1.函数的单调性 定理7 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 在 内可导。 (a,b) 1）若在 (a,b) 内 f  ( x)  0, 则 f ( x) 在 [a,b] 上单调增； 2）若在 (a,b) 内 f  ( x)  0, 则 f ( x) 在 [a,b] 上单调减； 2.函数的极值 ，使得 定义（极值）若   0 x U(x ,) 恒有 f (x)  f (x ) ，则称 在 取极小值. f ( x) x 0 0 0 x U(x ,) 恒有 f (x)  f (x )，则称 f ( x) 在 x 取极大值. 0 0 0定理8（极值的必要条件） 若 f ( x) 在 x 处可导，且在 x 处取得极值，则 0 0 f  ( x )  0 0定理9（极值的第一充分条件）  设 f ( x) 在 U(x ,) 内可导,且 f  ( x )  0 （或 f ( x) 在 x 处连续） 0 0 0 （1）若 x  x 时， f  ( x)  0; x  x 时， f  ( x)  0, 则 f 在 0 0 x 处取极大值. 0 （2）若 x  x 时， f  ( x )  0; x  x 时， f  ( x)  0, 则 f 在 0 0 x 处取极小值. 0 （3）若 f  ( x) 在 x 的两侧不变号，则 f 在 x 无极值. 0 0定理10（极值的第二充分条件）设 f  (x )  0, f  (x )  0 0 0 （1）当 f  (x )  0, f (x) 在 x 处取极大值. 0 0 （2）当 f  (x )  0, f (x) 在 x 处取极小值. 0 03.函数的最大最小值 （1）求连续函数 在 上的最值 f ( x) [a,b] 第一步：求出 在 内的驻点和不可导的点 f (x) (a,b) x , x , x ; 1 2 n 第二步：求出函数值 f (x ), f (x ), f (x ), f (a), f (b); 1 2 n 第三步：比较以上各点函数值. 【注】 若连续函数 在 内仅有唯一极值点， f (x) (a,b) （2）最大最小值的应用题 第一步：建立目标函数 第二步：4.曲线的凹凸性 x  x f (x )  f (x ) 定义 3 凹 f ( 1 2 )  1 2 2 2 x  x f (x )  f (x ) 凸 f ( 1 2 )  1 2 2 2 定理 11 若在区间 I 上 f  (x ） 0 ( 0) ，则曲线 在 上是凹（凸）的。 y  f (x) I 定义4（拐点） 判定（必要条件与充分条件） 5.曲线的渐近线 1)若 lim f ( x)  A ( lim f ( x)  A ,或 lim f ( x)  A ）那么 x x x 是曲线 的水平渐近线. y  A y  f (x)2) 若 lim f (x)   ,那么 x  x 是 y  f ( x) 的垂直渐近线. 0 xx 0 f (x) 3) 若 lim  a , b  lim  f (x)  ax  , 那么 y  ax  b 是 x x x y  f ( x) 的斜渐近线. 6.函数的作图 7.曲线的弧微分与曲率(数三不要求）  | y | 曲率 （直角） K  3 (1 y 2 )2 1 曲率半径 R  K8. 导数在经济学中的应用（仅数三要求） 1.经济学中常见的函数 1）需求函数： x ( p) x 为某产品的需求量，其 p 为价格.需求函数的反函数 p  1 (x) 称为价格函数. 2）供给函数： x  ( p) x 为某产品的供给量， p 为价格. 3）成本函数： C  C(x)  C  C (x). 1 2 C 为固定成本， C (x) 为可变成本，x 表示产量. 1 2 C C C (x) 平均成本 AC  C   1  2 x x x4）收益函数 R  R(x)  px 销售量 x 与销售单价 p 之积. 5）利润函数 L  L(x)  R(x)  C(x) (x ：销售量） . 2.边际函数与边际分析 1）边际函数：设 y  f (x) 可导，则称 f  (x) 为边际函数， f  (x ) 称为 f (x) 在 x  x 处的边际值. 0 0 （a）边际成本 MC  C  (q) q 是产量 （b）边际收益 MR  R  (q) q 是产量 （c）边际利润 ML  L  (q) q 是销售量3.弹性函数与弹性分析 ①弹性函数：设 y  f ( x) 可导， y / y x f  (x)  lim  f  (x)  x x0 x / x y f (x) p （a）需求的价格弹性：    ( p). (  0) d ( p) d p     ( p) (  0) d ( p) d （b）供给的价格弹性： p    ( p) s ( p)【例1】(2014)设某商品的需求函数为 Q  40  2 p（ p 为商品的 价格),则该商品的边际收益为 ____________ . 【解】由题设知收益函数为 40  Q R  pQ   Q 2 则边际收益为 dR  20  Q dQ 【注】边际收益是“当商品的需求量在Q 的基础上再增加一件所获得 dR dR 的收益”，所以边际收益为 部分考生错误的将 当作边际收益. . dQ dp【例2】(2017)设生产某产品的平均成本 C (Q)  1  e Q , 其中产 量为 Q, 则边际成本为 ______________ . 【解】成本 C(Q)  C (Q)Q  Q(1  e Q ) dC 边际成本为  (1  e Q )  Qe Q  1  (1  Q)e Q dQ【例3】(2009)设某产品的需求函数为 Q  Q( p) : 其对应 价格 的弹性 则当需求量为10000件时，价格 p   0.2, P 增加1元会使产品收益增加 元。 p dQ 【解】由题设知     0.2 p Q d p 收益函数 R  Qp 收益微分为 p dQ d R  pdQ  Qdp  Q(1  )dp  Q(1  )dp p Q dp 当 时,产品的收益增加 Q  10000,dp  1 d R  10000  (1  0.2)1  8000 (元)【例4】(2010）设某商品的收益函数为 收益弹性为 R( p), 1 p 3 , 其中 p 为价格, 且 R(1)  1, 则 R( p)  _____ . p d R 【解】 由题意知 ，即   1  p 3 R d p d R  1     p 2 d p R  p  1 ln R  ln p  p 3  C 3 1 p 3C 1 R( p)  pe3 ，由 得 ，故 R(1)  1 C   3 1 ( p 31) R( p)  pe3